Como calcular a área de uma pirâmide: base, lado e cheio?

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2023-12-17 05:39

Ao se preparar para o exame de matemática, os alunos precisam sistematizar seus conhecimentos de álgebra e geometria. Gostaria de combinar todas as informações conhecidas, por exemplo, como calcular a área de uma pirâmide. Além disso, partindo da base e das faces laterais para toda a superfície. Se a situação é clara com as faces laterais, já que são triângulos, então a base é sempre diferente.

Como encontrar a área da base da pirâmide?

Pode ser absolutamente qualquer forma: de um triângulo arbitrário a um n-gon. E essa base, além da diferença no número de ângulos, pode ser uma figura regular ou incorreta. Nas tarefas USE de interesse dos escolares, existem apenas tarefas com os números corretos na base. Portanto, falaremos apenas sobre eles.

Triângulo Regular

Isso é equilátero. Aquele em que todos os lados são iguais e denotados pela letra "a". Nesse caso, a área da base da pirâmide é calculada pela fórmula:

S=(a2√3) / 4.

Quadrado

A fórmula para calcular sua área é a mais simples,aqui "a" é o lado novamente:

S=a2.

n-gon regular arbitrário

O lado de um polígono tem a mesma designação. Para o número de cantos, a letra latina n é usada.

S=(na2) / (4tg (180º/n)).

Como calcular a área de superfície lateral e total?

Como a base é uma figura regular, todos os lados da pirâmide são iguais. Além disso, cada um deles é um triângulo isósceles, pois as arestas laterais são iguais. Então, para calcular a área lateral da pirâmide, você precisa de uma fórmula que consiste na soma de monômios idênticos. O número de termos é determinado pelo número de lados da base.

A área de um triângulo isósceles é calculada pela fórmula em que a metade do produto da base é multiplicada pela altura. Essa altura na pirâmide é chamada de apótema. Sua designação é "A". A fórmula geral para a área de superfície lateral é:

S=½ PA, onde P é o perímetro da base da pirâmide.

Existem situações em que os lados da base não são conhecidos, mas as arestas laterais (c) e o ângulo plano em seu vértice (α) são dados. Então é suposto usar esta fórmula para calcular a área lateral da pirâmide:

S=n/2in2 sin α.

Problema 1

Condição. Encontre a área total da pirâmide se sua base for um triângulo equilátero com um lado de 4 cm e o apótema for √3 cm.

Decisão. DeleVocê precisa começar calculando o perímetro da base. Como este é um triângulo regular, então P \u003d 34 \u003d 12 cm. Como o apótema é conhecido, você pode calcular imediatamente a área de toda a superfície lateral: ½12√3=6 √3 cm 2.

Para um triângulo na base, você obtém o seguinte valor de área: (4²√3) / 4=4√3 cm^2.

Para determinar a área total, você precisa adicionar os dois valores resultantes: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.

Resposta. 10√3cm2.

Problema 2

Condição. Existe uma pirâmide quadrangular regular. O comprimento do lado da base é de 7 mm, a borda lateral é de 16 mm. Você precisa conhecer sua área de superfície.

Decisão. Como o poliedro é quadrangular e regular, então sua base é um quadrado. Tendo aprendido as áreas da base e das faces laterais, será possível calcular a área da pirâmide. A fórmula para o quadrado é dada acima. E nas faces laterais, todos os lados do triângulo são conhecidos. Portanto, você pode usar a fórmula de Heron para calcular suas áreas.

Os primeiros cálculos são simples e levam a este número: 49 mm². Para o segundo valor, você precisará calcular o semiperímetro: (7 + 162): 2=19,5 mm. Agora você pode calcular a área de um triângulo isósceles: √(19,5(19,5-7)(19,5-16)²)=√2985,9375=54,644 mm ^{2. Existem apenas quatro desses triângulos, portanto, ao calcular o número final, você precisará multiplicá-lo por 4.}

Acontece: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.

Resposta. Valor desejado 267, 576mm2.

Problema 3

Condição. Para uma pirâmide quadrangular regular, você precisa calcular a área. Ele conhece o lado do quadrado - 6 cm e a altura - 4 cm.

Decisão. A maneira mais fácil é usar a fórmula com o produto do perímetro e o apótema. O primeiro valor é fácil de encontrar. A segunda é um pouco mais difícil.

Teremos que lembrar do teorema de Pitágoras e considerar um triângulo retângulo. É formado pela altura da pirâmide e pelo apótema, que é a hipotenusa. A segunda perna é igual à metade do lado do quadrado, pois a altura do poliedro cai no meio.

O apótema desejado (a hipotenusa de um triângulo retângulo) é √(3² + 4^{2)=5 (cm).}

Agora você pode calcular o valor necessário: ½(46)5+6²=96 (veja^2).

Resposta. 96 cm2.

Problema 4

Condição. Dada uma pirâmide hexagonal regular. Os lados de sua base são de 22 mm, as nervuras laterais são de 61 mm. Qual é a área da superfície lateral deste poliedro?

Decisão. O raciocínio nele é o mesmo descrito no problema nº 2. Só que foi dada uma pirâmide com um quadrado na base, e agora é um hexágono.

Primeiro de tudo, a área da base é calculada usando a fórmula acima: (622²) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm^2.

Agora você precisa descobrir o semiperímetro de um triângulo isósceles, que é a face lateral. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm. Resta calcular a área de cada praiatriângulo e, em seguida, multiplique-o por seis e adicione-o ao que resultou na base.

Cálculo pela fórmula de Heron: √(72(72-22)(72-61)²)=√435600=660 cm² . Cálculos que darão a área da superfície lateral: 6606=3960 cm². Resta somá-los para descobrir toda a superfície: 5217, 47≈5217 cm^2.

Resposta. Base - 726√3cm², superfície lateral - 3960cm², área total - 5217cm^2.