Muitos, diante do conceito de "teoria da probabilidade", ficam assustados, achando que isso é algo avassalador, muito complexo. Mas realmente não é tão trágico. Hoje vamos considerar o conceito básico da teoria da probabilidade, aprender a resolver problemas usando exemplos específicos.
Ciência
O que um ramo da matemática como a "teoria da probabilidade" estuda? Ele observa padrões de eventos e quantidades aleatórios. Pela primeira vez, cientistas se interessaram por essa questão no século XVIII, quando estudavam jogos de azar. O conceito básico da teoria da probabilidade é um evento. É qualquer fato comprovado pela experiência ou observação. Mas o que é experiência? Outro conceito básico da teoria da probabilidade. Isso significa que essa composição de circunstâncias não foi criada por acaso, mas para um propósito específico. Quanto à observação, aqui o próprio pesquisador não participa do experimento, mas é simplesmente uma testemunha desses eventos, ele não influencia em nada o que está acontecendo.
Eventos
Aprendemos que o conceito básico da teoria da probabilidade é um evento, mas não consideramos a classificação. Todos eles são divididos nas seguintes categorias:
- Confiável.
- Impossível.
- Aleatório.
Não importaque tipo de eventos são observados ou criados no decorrer da experiência, todos eles estão sujeitos a essa classificação. Oferecemos conhecer cada uma das espécies separadamente.
Certo evento
Esta é uma circunstância antes da qual o conjunto de medidas necessárias foi tomado. Para entender melhor a essência, é melhor dar alguns exemplos. Física, química, economia e matemática superior estão sujeitas a esta lei. A teoria da probabilidade inclui um conceito tão importante como um determinado evento. Aqui estão alguns exemplos:
- Trabalhamos e recebemos remuneração em forma de salário.
- Passamos bem nos exames, passamos na competição, por isso recebemos uma recompensa na forma de admissão em uma instituição de ensino.
- Investimos dinheiro no banco, se necessário, recuperaremos.
Tais eventos são confiáveis. Se cumprirmos todas as condições necessárias, certamente obteremos o resultado esperado.
Eventos impossíveis
Agora estamos considerando elementos da teoria da probabilidade. Propomos passar para uma explicação do próximo tipo de evento, a saber, o impossível. Primeiro, vamos especificar a regra mais importante - a probabilidade de um evento impossível é zero.
Você não pode se desviar deste texto ao resolver problemas. Para esclarecer, aqui estão alguns exemplos de tais eventos:
- A água congelou em mais dez (isso é impossível).
- A f alta de energia elétrica não afeta em nada a produção (tão impossível quanto no exemplo anterior).
Mais exemplosNão vale a pena citar, pois os descritos acima refletem muito claramente a essência desta categoria. O evento impossível nunca acontecerá durante a experiência em nenhuma circunstância.
Eventos aleatórios
Estudando os elementos da teoria das probabilidades, atenção especial deve ser dada a esse tipo particular de evento. É isso que a ciência está estudando. Como resultado da experiência, algo pode ou não acontecer. Além disso, o teste pode ser repetido um número ilimitado de vezes. Exemplos vívidos são:
- Jogar uma moeda é uma experiência, ou um teste, cabecear é um evento.
- Retirar uma bola cegamente de uma sacola é um teste, uma bola vermelha é pega é um evento e assim por diante.
Pode haver um número ilimitado de exemplos, mas, em geral, a essência deve ser clara. Para resumir e sistematizar o conhecimento adquirido sobre os eventos, é fornecida uma tabela. A teoria da probabilidade estuda apenas o último tipo de todos os apresentados.
| título | definição | exemplo |
| Confiável | Eventos que ocorrem com 100% de garantia sob certas condições. | Admissão em instituição de ensino com bom vestibular. |
| Impossível | Eventos que nunca acontecerão em nenhuma circunstância. | Está nevando a uma temperatura de mais de trinta graus Celsius. |
| Aleatório | Um evento que pode ou não ocorrer durante um experimento/teste. | Acerte ou erre ao jogar uma bola de basquete na cesta. |
Leis
Teoria da probabilidade é uma ciência que estuda a possibilidade de um evento ocorrer. Como os outros, tem algumas regras. Existem as seguintes leis da teoria da probabilidade:
- Convergência de sequências de variáveis aleatórias.
- A lei dos grandes números.
Ao calcular a possibilidade de um complexo, você pode usar um complexo de eventos simples para obter o resultado de maneira mais fácil e rápida. Observe que as leis da teoria da probabilidade são facilmente provadas com a ajuda de alguns teoremas. Vamos começar com a primeira lei.
Convergência de sequências de variáveis aleatórias
Observe que existem vários tipos de convergência:
- A sequência de variáveis aleatórias converge em probabilidade.
- Quase impossível.
- Convergência RMS.
- Convergência na distribuição.
Então, na hora, é muito difícil chegar ao fundo disso. Aqui estão algumas definições para ajudá-lo a entender este tópico. Vamos começar com o primeiro olhar. Uma sequência é chamada de convergente em probabilidade se a seguinte condição for atendida: n tende ao infinito, o número para o qual a sequência tende é maior que zero e próximo a um.
Indo para a próxima visualização, quase certamente. Eles disseram aquiloa sequência converge quase certamente para uma variável aleatória com n tendendo ao infinito e P tendendo a um valor próximo a um.
O próximo tipo é a convergência quadrática média. Ao usar a convergência SC, o estudo de processos aleatórios vetoriais é reduzido ao estudo de seus processos aleatórios coordenados.
Resta o último tipo, vamos dar uma breve olhada nele para prosseguir diretamente na resolução de problemas. A convergência de distribuição tem outro nome - “fraca”, explicaremos o porquê abaixo. A convergência fraca é a convergência das funções de distribuição em todos os pontos de continuidade da função de distribuição limite.
Certifique-se de cumprir a promessa: a convergência fraca difere de todas as opções acima, pois a variável aleatória não é definida no espaço de probabilidade. Isso é possível porque a condição é formada exclusivamente usando funções de distribuição.
Lei dos grandes números
Excelentes ajudantes para provar esta lei serão os teoremas da teoria da probabilidade, tais como:
- Desigualdade de Chebyshev.
- Teorema de Chebyshev.
- Teorema de Chebyshev generalizado.
- Teorema de Markov.
Se considerarmos todos esses teoremas, essa questão pode se arrastar por várias dezenas de folhas. Nossa principal tarefa é aplicar a teoria da probabilidade na prática. Convidamos você a fazer isso agora mesmo. Mas antes disso, vamos considerar os axiomas da teoria das probabilidades, eles serão os principais auxiliares na resolução de problemas.
Axiomas
Já conhecemos o primeiro quando falamos sobre o evento impossível. Vamos lembrar: a probabilidade de um evento impossível é zero. Demos um exemplo muito vívido e memorável: nevou a uma temperatura do ar de trinta graus Celsius.
O segundo soa assim: um evento confiável ocorre com probabilidade igual a um. Agora vamos mostrar como escrever usando linguagem matemática: P(B)=1.
Terceiro: Um evento aleatório pode ou não ocorrer, mas a possibilidade sempre varia de zero a um. Quanto mais próximo o valor estiver de um, maior a chance; se o valor se aproximar de zero, a probabilidade é muito baixa. Vamos escrever isso em linguagem matemática: 0<Р(С)<1.
Vamos considerar o último, quarto axioma, que soa assim: a probabilidade da soma de dois eventos é igual à soma de suas probabilidades. Escrevemos em linguagem matemática: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Os axiomas da teoria da probabilidade são as regras mais simples e fáceis de lembrar. Vamos tentar resolver alguns problemas, com base no conhecimento já adquirido.
Bilhete de loteria
Primeiro, considere o exemplo mais simples - a loteria. Imagine que você comprou um bilhete de loteria para dar sorte. Qual é a probabilidade de você ganhar pelo menos vinte rublos? No total, mil bilhetes participam da circulação, um dos quais tem um prêmio de quinhentos rublos, dez de cem rublos, cinquenta de vinte rublos e cento e cinco. Problemas na teoria da probabilidade são baseados em encontrar a possibilidadeboa sorte. Agora juntos vamos analisar a solução da tarefa apresentada acima.
Se denotarmos pela letra A uma vitória de quinhentos rublos, então a probabilidade de obter A será de 0,001. Como conseguimos isso? Você só precisa dividir o número de bilhetes "sortudos" pelo número total (neste caso: 1/1000).
B é uma vitória de cem rublos, a probabilidade será de 0,01. Agora agimos com o mesmo princípio da ação anterior (10/1000)
C - os ganhos são iguais a vinte rublos. Encontre a probabilidade, ela é igual a 0,05.
Os restantes bilhetes não nos interessam, uma vez que o seu fundo de prémios é inferior ao especificado na condição. Vamos aplicar o quarto axioma: A probabilidade de ganhar pelo menos vinte rublos é P(A)+P(B)+P(C). A letra P denota a probabilidade de ocorrência desse evento, já as encontramos nas etapas anteriores. Resta apenas adicionar os dados necessários, na resposta obtemos 0, 061. Este número será a resposta para a pergunta da tarefa.
Baralho de cartas
Problemas da teoria da probabilidade podem ser mais complexos, por exemplo, faça a seguinte tarefa. Diante de você está um baralho de trinta e seis cartas. Sua tarefa é tirar duas cartas seguidas sem misturar a pilha, a primeira e a segunda cartas devem ser ases, o naipe não importa.
Primeiro, vamos encontrar a probabilidade de que a primeira carta seja um ás, para isso dividimos quatro por trinta e seis. Eles o colocaram de lado. Tiramos a segunda carta, será um ás com probabilidade de três trinta e cinco avos. A probabilidade do segundo evento depende de qual carta tiramos primeiro, estamos interessados emera um ás ou não. Segue que o evento B depende do evento A.
O próximo passo é encontrar a probabilidade de implementação simultânea, ou seja, multiplicamos A e B. Seu produto é encontrado da seguinte forma: a probabilidade de um evento é multiplicada pela probabilidade condicional de outro, que calculamos, assumindo que ocorreu o primeiro evento, ou seja, com a primeira carta tiramos um ás.
Para deixar tudo claro, vamos designar um elemento como a probabilidade condicional de um evento. É calculado assumindo que o evento A ocorreu. Calculado da seguinte forma: P(B/A).
Continue resolvendo nosso problema: P(AB)=P(A)P(B/A) ou P (AB)=P(B)P(A/B). A probabilidade é (4/36)((3/35)/(4/36). Calcule arredondando para centésimos. Temos: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. A probabilidade de tirarmos dois ases seguidos é de nove centésimos. O valor é muito pequeno, segue que a probabilidade de ocorrência do evento é extremamente pequena.
Número esquecido
Propomos analisar mais algumas opções de tarefas que são estudadas pela teoria das probabilidades. Você já viu exemplos de como resolver alguns deles neste artigo, vamos tentar resolver o seguinte problema: o menino esqueceu o último dígito do telefone do amigo, mas como a ligação era muito importante, ele começou a discar tudo de uma vez. Precisamos calcular a probabilidade de que ele não ligue mais do que três vezes. A solução para o problema é a mais simples se as regras, leis e axiomas da teoria das probabilidades forem conhecidos.
Antes de assistirsolução, tente resolvê-lo sozinho. Sabemos que o último dígito pode ser de zero a nove, ou seja, são dez valores no total. A probabilidade de acertar é 1/10.
Em seguida, precisamos considerar as opções para a origem do evento, suponha que o menino acertou e imediatamente acertou o certo, a probabilidade de tal evento é 1/10. A segunda opção: a primeira chamada é um erro e a segunda está no alvo. Calculamos a probabilidade de tal evento: multiplique 9/10 por 1/9, como resultado, também obtemos 1/10. A terceira opção: a primeira e a segunda ligação acabaram sendo no endereço errado, só a partir da terceira o menino chegou onde queria. Calculamos a probabilidade de tal evento: multiplicamos 9/10 por 8/9 e por 1/8, obtemos 1/10 como resultado. De acordo com a condição do problema, não estamos interessados em outras opções, então nos resta somar os resultados, como resultado temos 3/10. Resposta: A probabilidade de o menino não pagar mais de três vezes é 0,3.
Cartões com números
Há nove cartas à sua frente, em cada uma das quais está escrito um número de um a nove, os números não se repetem. Eles foram colocados em uma caixa e misturados cuidadosamente. Você precisa calcular a probabilidade de que
- surge um número par;
- dois dígitos.
Antes de prosseguir com a solução, vamos estipular que m é o número de casos de sucesso e n é o número total de opções. Encontre a probabilidade de que o número seja par. Não será difícil calcular que existem quatro números pares, este será o nosso m, são nove opções no total, ou seja, m=9. Então a probabilidadeé igual a 0, 44 ou 4/9.
Considere o segundo caso: o número de opções é nove, e não pode haver nenhum resultado bem-sucedido, ou seja, m é igual a zero. A probabilidade de a carta sorteada conter um número de dois dígitos também é zero.
