O problema de Goldbach é um dos problemas mais antigos e mais badalados da história de toda a matemática.
Esta conjectura provou ser verdadeira para todos os inteiros menores que 4 × 1018, mas permanece não comprovada apesar dos esforços consideráveis dos matemáticos.
Número
O número de Goldbach é um número inteiro par positivo que é a soma de um par de primos ímpares. Outra forma da conjectura de Goldbach é que todos os inteiros pares maiores que quatro são números de Goldbach.
A separação de tais números é chamada de partição de Goldbach (ou partição). Abaixo estão exemplos de seções semelhantes para alguns números pares:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Descoberta da hipótese
Goldbach tinha um colega chamado Euler, que gostava de contar, escrever fórmulas complexas e apresentar teorias insolúveis. Nisso eles eram semelhantes a Goldbach. Euler fez um enigma matemático semelhante antes mesmo de Goldbach, com quemcorrespondência constante. Ele então propôs uma segunda sugestão na margem de seu manuscrito, segundo a qual um inteiro maior que 2 poderia ser escrito como a soma de três primos. Ele considerou 1 um número primo.
As duas hipóteses são agora conhecidas por serem semelhantes, mas isso não parecia ser um problema na época. A versão moderna do problema de Goldbach afirma que todo inteiro maior que 5 pode ser escrito como a soma de três primos. Euler respondeu em uma carta datada de 30 de junho de 1742, e lembrou Goldbach de uma conversa anterior que tiveram ("… então estamos falando da hipótese original (e não marginal) decorrente da seguinte declaração")..
Problema de Euler-Goldbach
2 e seus números pares podem ser escritos como a soma de dois primos, que também é a conjectura de Goldbach. Em carta datada de 30 de junho de 1742, Euler afirmou que todo inteiro par é resultado da adição de dois primos, que ele considera um teorema bem definido, embora não possa prová-lo.
Terceira versão
A terceira versão do problema de Goldbach (equivalente às outras duas versões) é a forma em que a conjectura é normalmente dada hoje. Também é conhecida como a conjectura de Goldbach "forte", "par" ou "binária" para distingui-la da hipótese mais fraca conhecida hoje como a conjectura de Goldbach "fraca", "ímpar" ou "ternária". A conjectura fraca afirma que todos os números ímpares maiores que 7 são a soma de três primos ímpares. A conjectura fraca foi comprovada em 2013. A hipótese fraca éconsequência de uma hipótese forte. O corolário inverso e a forte conjectura de Goldbach permanecem sem comprovação até hoje.
Cheque
Para pequenos valores de n, o problema de Goldbach (e, portanto, a conjectura de Goldbach) pode ser verificado. Por exemplo, Nils Pipping em 1938 testou cuidadosamente a hipótese até n ≦ 105. Com o advento dos primeiros computadores, muitos outros valores de n foram calculados.
Oliveira Silva realizou uma pesquisa computacional distribuída que confirmou a hipótese para n ≦ 4 × 1018 (e dupla verificação até 4 × 1017) a partir de 2013. Uma entrada desta pesquisa é que 3.325.581.707.333.960.528 é o menor número que não tem uma divisão de Goldbach com um primo abaixo de 9781.
Heurística
A versão para a forma forte da conjectura de Goldbach é a seguinte: como a quantidade tende ao infinito à medida que n aumenta, esperamos que todo inteiro par grande tenha mais de uma representação como a soma de dois primos. Mas, na verdade, existem muitas dessas representações. Quem resolveu o problema de Goldbach? Infelizmente, ainda ninguém.
Esse argumento heurístico é na verdade um tanto impreciso, pois assume que m é estatisticamente independente de n. Por exemplo, se m é ímpar, então n - m também é ímpar, e se m é par, então n - m é par, e esta é uma relação não trivial (complexa), porque além do número 2, apenas ímpar números podem ser primos. Da mesma forma, se n é divisível por 3 e m já era primo diferente de 3, então n - m também é mutuamenteprimo com 3, então é mais provável que seja um número primo em oposição a um número total. Realizando esse tipo de análise com mais cuidado, Hardy e Littlewood, em 1923, como parte de sua famosa conjectura de tupla simples de Hardy-Littlewood, fizeram o refinamento acima de toda a teoria. Mas não ajudou a resolver o problema até agora.
Forte hipótese
A conjectura de Goldbach forte é muito mais complicada do que a conjectura de Goldbach fraca. Shnirelman provou mais tarde que qualquer número natural maior que 1 pode ser escrito como a soma de no máximo C primos, onde C é uma constante efetivamente computável. Muitos matemáticos tentaram resolvê-lo, contando e multiplicando números, oferecendo fórmulas complexas, etc. Mas eles nunca conseguiram, porque a hipótese é muito complicada. Nenhuma fórmula ajudou.
Mas vale a pena se afastar um pouco da questão de provar um pouco o problema de Goldbach. A constante de Shnirelman é o menor número C com esta propriedade. O próprio Shnirelman obteve C <800 000. Este resultado foi posteriormente complementado por muitos autores, como Olivier Ramaret, que mostrou em 1995 que todo número par n ≧ 4 é na verdade a soma de no máximo seis primos. O resultado mais famoso atualmente associado à teoria de Goldbach por Harald Helfgott.
Desenvolvimento adicional
Em 1924, Hardy e Littlewood assumiram G. R. H. mostrou que o número de números pares até X, violando o problema binário de Goldbach, é muito menor do que para c.
Em 1973 Chen JingyunTentei resolver esse problema, mas não funcionou. Ele também era um matemático, então gostava muito de resolver enigmas e provar teoremas.
Em 1975, dois matemáticos americanos mostraram que existem constantes positivas c e C - aquelas para as quais N é suficientemente grande. Em particular, o conjunto dos inteiros pares tem densidade zero. Tudo isso foi útil para trabalhar na solução do problema ternário de Goldbach, que ocorrerá no futuro.
Em 1951, Linnik provou a existência de uma constante K tal que todo número par suficientemente grande é o resultado da adição de um número primo e outro número primo um ao outro. Roger Heath-Brown e Jan-Christoph Schlage-Puchta descobriram em 2002 que K=13 funciona. Isso é muito interessante para todas as pessoas que gostam de somar uns aos outros, somar números diferentes e ver o que acontece.
Solução do problema de Goldbach
Como acontece com muitas conjecturas bem conhecidas em matemática, há uma série de supostas provas da conjectura de Goldbach, nenhuma das quais é aceita pela comunidade matemática.
Embora a conjectura de Goldbach implique que todo inteiro positivo maior que um possa ser escrito como a soma de no máximo três números primos, nem sempre é possível encontrar tal soma usando um algoritmo guloso que usa o maior número primo possível a cada passo. A sequência de Pillai registra os números que exigem mais primos em suas representações gulosas. Portanto, a solução do problema de Goldbachainda em questão. No entanto, mais cedo ou mais tarde provavelmente será resolvido.
Existem teorias semelhantes ao problema de Goldbach em que números primos são substituídos por outros conjuntos específicos de números, como quadrados.
Christian Goldbach
Christian Goldbach foi um matemático alemão que também estudou direito. Ele é lembrado hoje pela conjectura de Goldbach.
Ele trabalhou como matemático toda a sua vida - ele gostava muito de somar números, inventar novas fórmulas. Ele também conhecia vários idiomas, em cada um dos quais mantinha seu diário pessoal. Esses idiomas eram alemão, francês, italiano e russo. Além disso, de acordo com algumas fontes, ele falava inglês e latim. Ele era conhecido como um matemático bastante conhecido durante sua vida. Goldbach também estava intimamente ligado à Rússia, porque tinha muitos colegas russos e o favor pessoal da família real.
Ele continuou a trabalhar na recém-inaugurada Academia de Ciências de São Petersburgo em 1725 como professor de matemática e historiador da academia. Em 1728, quando Pedro II se tornou czar da Rússia, Goldbach tornou-se seu mentor. Em 1742 ele entrou no Ministério das Relações Exteriores da Rússia. Ou seja, ele realmente trabalhou em nosso país. Naquela época, muitos cientistas, escritores, filósofos e militares vieram para a Rússia, porque a Rússia naquela época era um país de oportunidades como a América. Muitos fizeram carreira aqui. E nosso herói não é exceção.
Christian Goldbach era multilíngue - ele escrevia um diário em alemão e latim, suas cartasforam escritos em alemão, latim, francês e italiano, e para documentos oficiais ele usou russo, alemão e latim.
Ele morreu em 20 de novembro de 1764 aos 74 anos em Moscou. O dia em que o problema de Goldbach for resolvido será uma justa homenagem à sua memória.
Conclusão
Goldbach foi um grande matemático que nos deu um dos maiores mistérios desta ciência. Não se sabe se será resolvido ou não. Sabemos apenas que sua suposta resolução, como no caso do teorema de Fermat, abrirá novas perspectivas para a matemática. Os matemáticos gostam muito de resolvê-lo e analisá-lo. É muito interessante e curioso do ponto de vista heurístico. Até os estudantes de matemática gostam de resolver o problema de Goldbach. De que outra forma? Afinal, os jovens são constantemente atraídos por tudo o que é brilhante, ambicioso e não resolvido, porque superando as dificuldades pode-se afirmar. Vamos torcer para que em breve esse problema seja resolvido por mentes jovens, ambiciosas e curiosas.
