Série de Fourier é uma representação de uma função tomada arbitrariamente com um período específico como uma série. Em termos gerais, essa solução é chamada de decomposição de um elemento em uma base ortogonal. A expansão de funções em uma série de Fourier é uma ferramenta bastante poderosa para resolver vários problemas devido às propriedades dessa transformação ao integrar, diferenciar, bem como deslocar uma expressão em um argumento e convolução.
Uma pessoa que não está familiarizada com matemática superior, bem como com os trabalhos do cientista francês Fourier, provavelmente não entenderá o que são essas “linhas” e para que servem. Enquanto isso, essa transformação se tornou bastante densa em nossas vidas. Ele é usado não apenas por matemáticos, mas também por físicos, químicos, médicos, astrônomos, sismólogos, oceanógrafos e muitos outros. Vamos dar uma olhada mais de perto nas obras do grande cientista francês, que fez uma descoberta à frente de seu tempo.
O Homem e a Transformada de Fourier
As séries de Fourier são um dos métodos (junto com a análise e outros) da transformada de Fourier. Esse processo ocorre toda vez que uma pessoa ouve um som. Nosso ouvido converte automaticamente o somondas. Os movimentos oscilatórios de partículas elementares em um meio elástico são decompostos em linhas (ao longo do espectro) de valores sucessivos do nível de volume para tons de diferentes alturas. Em seguida, o cérebro transforma esses dados em sons familiares para nós. Tudo isso acontece em adição ao nosso desejo ou consciência, por si só, mas para entender esses processos, levará vários anos para estudar matemática superior.
Mais sobre a Transformada de Fourier
A transformada de Fourier pode ser realizada por métodos analíticos, numéricos e outros. As séries de Fourier referem-se à maneira numérica de decompor quaisquer processos oscilatórios - de marés oceânicas e ondas de luz a ciclos de atividade solar (e outros objetos astronômicos). Usando essas técnicas matemáticas, é possível analisar funções, representando quaisquer processos oscilatórios como uma série de componentes senoidais que vão do mínimo ao máximo e vice-versa. A transformada de Fourier é uma função que descreve a fase e a amplitude das senoides correspondentes a uma frequência específica. Este processo pode ser usado para resolver equações muito complexas que descrevem processos dinâmicos que ocorrem sob a influência de energia térmica, luminosa ou elétrica. Além disso, as séries de Fourier permitem isolar os componentes constantes em sinais oscilatórios complexos, o que permitiu interpretar corretamente as observações experimentais obtidas em medicina, química e astronomia.
Histórico
Pai fundador desta teoriaJean Baptiste Joseph Fourier é um matemático francês. Esta transformação foi posteriormente nomeada em sua homenagem. Inicialmente, o cientista aplicou seu método para estudar e explicar os mecanismos de condução de calor - a propagação do calor em sólidos. Fourier sugeriu que a distribuição irregular inicial de uma onda de calor pode ser decomposta nas senóides mais simples, cada uma das quais terá sua própria temperatura mínima e máxima, bem como sua própria fase. Nesse caso, cada um desses componentes será medido do mínimo ao máximo e vice-versa. A função matemática que descreve os picos superior e inferior da curva, bem como a fase de cada um dos harmônicos, é chamada de transformada de Fourier da expressão de distribuição de temperatura. O autor da teoria reduziu a função de distribuição geral, que é difícil de descrever matematicamente, a uma série muito fácil de manusear de funções periódicas cosseno e seno que somam à distribuição original.
O princípio da transformação e a visão dos contemporâneos
Os contemporâneos do cientista - os principais matemáticos do início do século XIX - não aceitaram essa teoria. A principal objeção foi a afirmação de Fourier de que uma função descontínua descrevendo uma linha reta ou uma curva descontínua pode ser representada como uma soma de expressões senoidais que são contínuas. Como exemplo, considere o "passo" de Heaviside: seu valor é zero à esquerda da lacuna e um à direita. Esta função descreve a dependência da corrente elétrica na variável tempo quando o circuito é fechado. Contemporâneos da teoria naquela época nunca haviam encontrado taluma situação em que a expressão descontínua seria descrita por uma combinação de funções ordinárias e contínuas, como exponencial, senoidal, linear ou quadrática.
O que confundiu os matemáticos franceses na teoria de Fourier?
Afinal, se o matemático estiver certo em suas afirmações, então resumindo a série de Fourier trigonométrica infinita, você pode obter uma representação exata da expressão do degrau mesmo que tenha muitos passos semelhantes. No início do século XIX, tal afirmação parecia absurda. Mas apesar de todas as dúvidas, muitos matemáticos ampliaram o escopo do estudo desse fenômeno, levando-o além do escopo dos estudos de condutividade térmica. No entanto, a maioria dos cientistas continuou agonizando com a pergunta: "A soma de uma série senoidal pode convergir para o valor exato de uma função descontínua?"
Convergência da série de Fourier: exemplo
A questão da convergência é levantada sempre que é necessário somar séries infinitas de números. Para entender esse fenômeno, considere um exemplo clássico. Você pode alcançar a parede se cada passo sucessivo for metade do tamanho do anterior? Suponha que você esteja a dois metros do gol, o primeiro passo o aproxima da metade do caminho, o próximo da marca de três quartos e, após o quinto, você percorrerá quase 97% do caminho. No entanto, não importa quantos passos você dê, você não alcançará o objetivo pretendido em um sentido matemático estrito. Usando cálculos numéricos, pode-se provar que, no final, pode-se chegar o mais próximo possível.pequena distância especificada. Esta prova é equivalente a demonstrar que o valor da soma de metade, um quarto, etc. tenderá a um.
Questão de Convergência: A Segunda Vinda, ou Aparelho de Lorde Kelvin
Repetidamente esta questão foi levantada no final do século XIX, quando se tentou usar séries de Fourier para prever a intensidade do fluxo e refluxo. Neste momento, Lord Kelvin inventou um dispositivo, que é um dispositivo de computação analógico que permitia aos marinheiros da frota militar e mercante rastrear esse fenômeno natural. Esse mecanismo determinava os conjuntos de fases e amplitudes a partir de uma tabela de alturas de maré e seus momentos de tempo correspondentes, cuidadosamente medidos em um determinado porto durante o ano. Cada parâmetro era um componente senoidal da expressão da altura da maré e era um dos componentes regulares. Os resultados das medições foram inseridos na calculadora de Lord Kelvin, que sintetizou uma curva que previa a altura da água em função do tempo para o próximo ano. Muito em breve curvas semelhantes foram traçadas para todos os portos do mundo.
E se o processo for interrompido por uma função descontínua?
Naquela época, parecia óbvio que um preditor de ondas de maré com um grande número de elementos de contagem poderia calcular um grande número de fases e amplitudes e, assim, fornecer previsões mais precisas. No entanto, verificou-se que esta regularidade não é observada nos casos em que a expressão de maré, que seguesintetizar, continha um s alto brusco, ou seja, era descontínuo. Caso os dados sejam inseridos no dispositivo a partir da tabela de momentos de tempo, ele calcula vários coeficientes de Fourier. A função original é restaurada graças aos componentes senoidais (de acordo com os coeficientes encontrados). A discrepância entre a expressão original e a restaurada pode ser medida em qualquer ponto. Ao realizar cálculos e comparações repetidos, pode-se observar que o valor do maior erro não diminui. No entanto, eles estão localizados na região correspondente ao ponto de descontinuidade e tendem a zero em qualquer outro ponto. Em 1899, este resultado foi teoricamente confirmado por Joshua Willard Gibbs da Universidade de Yale.
Convergência das séries de Fourier e o desenvolvimento da matemática em geral
A análise de Fourier não é aplicável a expressões contendo um número infinito de rajadas em um determinado intervalo. Em geral, as séries de Fourier, se a função original for o resultado de uma medida física real, sempre convergem. Questões sobre a convergência desse processo para classes específicas de funções levaram ao surgimento de novas seções em matemática, por exemplo, a teoria das funções generalizadas. Está associado a nomes como L. Schwartz, J. Mikusinsky e J. Temple. Dentro da estrutura dessa teoria, uma base teórica clara e precisa foi criada para expressões como a função delta de Dirac (ela descreve uma área de uma única área concentrada em uma vizinhança infinitamente pequena de um ponto) e o Heaviside “Passo . Graças a este trabalho, a série de Fourier tornou-se aplicável aresolução de equações e problemas que envolvem conceitos intuitivos: carga pontual, massa pontual, dipolos magnéticos, bem como uma carga concentrada em uma viga.
Método de Fourier
As séries de Fourier, de acordo com os princípios da interferência, começam com a decomposição de formas complexas em formas mais simples. Por exemplo, uma mudança no fluxo de calor é explicada por sua passagem através de vários obstáculos feitos de material isolante de calor de forma irregular ou uma mudança na superfície da terra - um terremoto, uma mudança na órbita de um corpo celeste - a influência de planetas. Como regra, equações semelhantes que descrevem sistemas clássicos simples são resolvidas elementarmente para cada onda individual. Fourier mostrou que soluções simples também podem ser somadas para dar soluções a problemas mais complexos. Na linguagem da matemática, a série de Fourier é uma técnica para representar uma expressão como uma soma de harmônicos - cossenos e senoides. Portanto, esta análise também é conhecida como "análise harmônica".
Série de Fourier - a técnica ideal antes da "era do computador"
Antes da criação da informática, a técnica de Fourier era a melhor arma do arsenal dos cientistas quando trabalhavam com a natureza ondulatória do nosso mundo. A série de Fourier de forma complexa permite resolver não apenas problemas simples que podem ser aplicados diretamente às leis da mecânica de Newton, mas também equações fundamentais. A maioria das descobertas da ciência newtoniana no século XIX só foi possível pela técnica de Fourier.
Série de Fourier hoje
Com o desenvolvimento dos computadores de transformada de Fourierelevado a um nível totalmente novo. Esta técnica está firmemente enraizada em quase todas as áreas da ciência e tecnologia. Um exemplo é um sinal de áudio e vídeo digital. Sua realização só foi possível graças à teoria desenvolvida por um matemático francês no início do século XIX. Assim, a série de Fourier em uma forma complexa tornou possível fazer um avanço no estudo do espaço sideral. Além disso, influenciou o estudo da física de materiais semicondutores e plasma, acústica de microondas, oceanografia, radar, sismologia.
Série de Fourier trigonométrica
Em matemática, uma série de Fourier é uma forma de representar funções complexas arbitrárias como a soma de outras mais simples. Em casos gerais, o número de tais expressões pode ser infinito. Além disso, quanto mais seu número for levado em consideração no cálculo, mais preciso será o resultado final. Na maioria das vezes, as funções trigonométricas de cosseno ou seno são usadas como as mais simples. Nesse caso, as séries de Fourier são chamadas de trigonométricas, e a solução de tais expressões é chamada de expansão do harmônico. Este método desempenha um papel importante na matemática. Em primeiro lugar, a série trigonométrica fornece um meio para a imagem, assim como o estudo de funções, é o principal aparato da teoria. Além disso, permite resolver uma série de problemas de física matemática. Finalmente, esta teoria contribuiu para o desenvolvimento da análise matemática, deu origem a uma série de seções muito importantes da ciência matemática (a teoria das integrais, a teoria das funções periódicas). Além disso, serviu como ponto de partida para o desenvolvimento das seguintes teorias: conjuntos, funçõesvariável real, análise funcional e também lançou as bases para a análise harmônica.
