A derivada do cosseno é encontrada por analogia com a derivada do seno, a base da prova é a definição do limite da função. Você pode usar outro método, usando as fórmulas de redução trigonométricas para o cosseno e o seno dos ângulos. Expresse uma função em termos de outra - cosseno em termos de seno e diferencie o seno com um argumento complexo.
Considere o primeiro exemplo de derivação da fórmula (Cos(x))'
Dê um incremento insignificantemente pequeno Δx para o argumento x da função y=Cos(x). Com um novo valor do argumento х+Δх, obtemos um novo valor da função Cos(х+Δх). Então o incremento da função Δy será igual a Cos(х+Δx)-Cos(x).
A razão do incremento da função para Δх será: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Vamos realizar transformações idênticas no numerador da fração resultante. Lembre-se da fórmula para a diferença dos cossenos dos ângulos, o resultado será o produto -2Sin (Δx / 2) vezes Sin (x + Δx / 2). Encontramos o limite do quociente lim deste produto em Δx quando Δx tende a zero. Sabe-se que o primeiro(é chamado maravilhoso) o limite lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) é igual a 1, e o limite -Sin(x+Δx/2) é igual a -Sin(x) como Δx tende a zero. Escreva o resultado: a derivada de (Cos(x))' é igual a - Sin(x).
Algumas pessoas preferem a segunda forma de derivar a mesma fórmula
Sabe-se do curso de trigonometria: Cos(x) é igual a Sin(0, 5 ∏-x), da mesma forma Sin(x) é igual a Cos(0, 5 ∏-x). Então derivamos uma função complexa - o seno do ângulo adicional (ao invés do cosseno x).
Recebemos o produto Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', porque a derivada do seno x é igual ao cosseno X. Voltamos para a segunda fórmula Sin(x)=Cos(0,5 ∏-x) de substituir cosseno por seno, levando em conta que (0,5 ∏-x)'=-1. Agora temos -Sin(x). Então, a derivada do cosseno é encontrada, y'=-Sin(x) para a função y=Cos(x).
Derivada de cosseno ao quadrado
Um exemplo comumente usado onde a derivada do cosseno é usada. A função y=Cos2(x) é difícil. Primeiro encontramos a diferencial da função potência com expoente 2, será 2·Cos(x), depois multiplicamos pela derivada (Cos(x))', que é igual a -Sin(x). Obtemos y'=-2 Cos(x) Sin(x). Quando aplicamos a fórmula Sin(2x), o seno de um ângulo duplo, obtemos o final simplificadoanswer y'=-Sin(2x)
Funções hiperbólicas
São usados no estudo de muitas disciplinas técnicas: em matemática, por exemplo, facilitam o cálculo de integrais, a solução de equações diferenciais. Eles são expressos em termos de funções trigonométricas comargumento, então o cosseno hiperbólico ch(x)=Cos(i x), onde i é a unidade imaginária, o seno hiperbólico sh(x)=Sin(i x).
A derivada do cosseno hiperbólico é calculada de forma bastante simples.
Considere a função y=(ex+e-x) /2, este e é o cosseno hiperbólico ch(x). Usamos a regra para encontrar a derivada da soma de duas expressões, a regra para tirar o fator constante (Const) do sinal da derivada. O segundo termo 0,5 e-x é uma função complexa (sua derivada é -0,5 e-x), 0,5 eх - o primeiro mandato. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' pode ser escrito de outra forma: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, porque a derivada (e - x)' é igual a -1 vezes e-x. O resultado é uma diferença, e este é o seno hiperbólico sh(x).Saída: (ch(x))'=sh(x).
Vejamos um exemplo de como calcule a derivada da função y=ch(x
3+1).De acordo com a regra de diferenciação de cosseno hiperbólico com argumento complexo y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', onde (x3+1)'=3 x 2+0. Resposta: a derivada desta função é 3 x
2sh(x3+1).
Derivadas tabulares das funções consideradas y=ch(x) ey=Cos(x)
Na resolução de exemplos, não há necessidade de diferenciá-los a cada vez de acordo com o esquema proposto, basta usar a inferência.
Exemplo. Diferencie a função y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Fácil de calcular (use dados tabulares), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
