Problemas matemáticos são usados em muitas ciências. Estes incluem não apenas física, química, engenharia e economia, mas também medicina, ecologia e outras disciplinas. Um conceito importante para dominar a fim de encontrar soluções para dilemas importantes é a derivada de uma função. O significado físico disso não é tão difícil de explicar quanto pode parecer aos não iniciados na essência da questão. Basta encontrar exemplos adequados disso na vida real e em situações cotidianas comuns. De fato, qualquer motorista lida com uma tarefa semelhante todos os dias quando olha para o velocímetro, determinando a velocidade de seu carro em um determinado instante de tempo fixo. Afinal, é nesse parâmetro que reside a essência do significado físico da derivada.
Como encontrar a velocidade
Determinar a velocidade de uma pessoa na estrada, sabendo a distância percorrida e o tempo de viagem, qualquer aluno da quinta série pode facilmente. Para fazer isso, o primeiro dos valores fornecidos é dividido pelo segundo. Masnem todo jovem matemático sabe que está atualmente encontrando a razão de incrementos de uma função e um argumento. De fato, se imaginarmos o movimento na forma de um gráfico, traçando o caminho ao longo do eixo y e o tempo ao longo da abcissa, será exatamente assim.
No entanto, a velocidade de um pedestre ou qualquer outro objeto que determinamos em uma grande parte do caminho, considerando o movimento uniforme, pode mudar. Existem muitas formas de movimento na física. Pode ser realizado não apenas com uma aceleração constante, mas desacelerar e aumentar de maneira arbitrária. Deve-se notar que, neste caso, a linha que descreve o movimento não será mais uma linha reta. Graficamente, pode assumir as configurações mais complexas. Mas para qualquer um dos pontos do gráfico, sempre podemos desenhar uma tangente representada por uma função linear.
Para esclarecer o parâmetro de mudança de deslocamento em função do tempo, é necessário encurtar os segmentos medidos. Quando eles se tornarem infinitamente pequenos, a velocidade calculada será instantânea. Essa experiência nos ajuda a definir a derivada. Seu significado físico também decorre logicamente desse raciocínio.
Em termos de geometria
Sabe-se que quanto maior a velocidade do corpo, mais inclinado é o gráfico da dependência do deslocamento no tempo e, portanto, o ângulo de inclinação da tangente ao gráfico em um determinado ponto. Um indicador de tais mudanças pode ser a tangente do ângulo entre o eixo x e a linha tangente. Ele apenas determina o valor da derivada e é calculado pela razão dos comprimentosoposto ao cateto adjacente em um triângulo retângulo formado por uma perpendicular lançada de algum ponto ao eixo x.
Este é o significado geométrico da primeira derivada. A física se revela no fato de que o valor da perna oposta no nosso caso é a distância percorrida, e a adjacente é o tempo. Sua proporção é a velocidade. E novamente chegamos à conclusão de que a velocidade instantânea, determinada quando ambas as lacunas tendem a infinitamente pequenas, é a essência do conceito de derivada, indicando seu significado físico. A segunda derivada neste exemplo será a aceleração do corpo, que por sua vez demonstra a taxa de variação da velocidade.
Exemplos para encontrar derivadas em física
A derivada é um indicador da taxa de variação de qualquer função, mesmo quando não estamos falando de movimento no sentido literal da palavra. Para demonstrar isso claramente, vamos dar alguns exemplos concretos. Suponha que a intensidade da corrente, dependendo do tempo, mude de acordo com a seguinte lei: I=0, 4t2. É necessário encontrar o valor da taxa na qual esse parâmetro muda no final do 8º segundo do processo. Observe que o próprio valor desejado, como pode ser julgado pela equação, está aumentando constantemente.
Para resolvê-lo, você precisa encontrar a primeira derivada, cujo significado físico foi considerado anteriormente. Aqui dI/dt=0,8t. Em seguida, encontramos em t \u003d 8, obtemos que a taxa na qual a força atual muda é de 6,4 A / c. Aqui se considera quea corrente é medida em amperes e o tempo, respectivamente, em segundos.
Tudo muda
O mundo circundante visível, constituído de matéria, está em constante mudança, estando em movimento de vários processos que nele ocorrem. Uma variedade de parâmetros pode ser usada para descrevê-los. Se eles estão unidos por dependência, então eles são escritos matematicamente como uma função que mostra claramente suas mudanças. E onde há movimento (seja qual for a forma em que é expresso), também existe um derivado, cujo significado físico estamos considerando no momento.
Nesta ocasião, o exemplo a seguir. Suponha que a temperatura do corpo mude de acordo com a lei T=0, 2 t 2. Você deve encontrar a taxa de seu aquecimento no final do 10º segundo. O problema é resolvido de maneira semelhante à descrita no caso anterior. Ou seja, encontramos a derivada e substituímos o valor de t \u003d 10 nela, obtemos T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Isso significa que a resposta final é de 4 graus por segundo, ou seja, o processo de aquecimento e a mudança de temperatura, medida em graus, ocorre precisamente nessa velocidade.
Resolução de problemas práticos
Claro, na vida real tudo é muito mais complicado do que nos problemas teóricos. Na prática, o valor das quantidades geralmente é determinado durante o experimento. Neste caso, são utilizados instrumentos que fornecem leituras durante as medições com um certo erro. Portanto, nos cálculos, é preciso lidar com valores aproximados dos parâmetros e recorrer ao arredondamento de números inconvenientes,além de outras simplificações. Levando isso em conta, voltaremos aos problemas sobre o significado físico da derivada, visto que eles são apenas uma espécie de modelo matemático dos processos mais complexos que ocorrem na natureza.
Erupção do Vulcão
Vamos imaginar que um vulcão entra em erupção. Quão perigoso ele pode ser? Para responder a essa pergunta, muitos fatores precisam ser considerados. Tentaremos acomodar um deles.
Da boca do "monstro de fogo" as pedras são lançadas verticalmente para cima, tendo uma velocidade inicial a partir do momento em que saem para o exterior de 120 m/s. É necessário calcular o que eles podem atingir a altura máxima.
Para encontrar o valor desejado, vamos compor uma equação para a dependência da altura H, medida em metros, de outros valores. Estes incluem velocidade inicial e tempo. O valor da aceleração é considerado conhecido e aproximadamente igual a 10 m/s2.
Derivada parcial
Agora vamos considerar o significado físico da derivada de uma função de um ângulo ligeiramente diferente, porque a equação em si pode conter não uma, mas várias variáveis. Por exemplo, no problema anterior, a dependência da altura das pedras ejetadas do respiradouro do vulcão foi determinada não apenas pela mudança nas características do tempo, mas também pelo valor da velocidade inicial. Este último foi considerado um valor constante e fixo. Mas em outras tarefas com condições completamente diferentes, tudo pode ser diferente. Se as quantidades sobre as quais o complexofunção, vários, os cálculos são feitos de acordo com as fórmulas abaixo.
O significado físico da derivada frequente deve ser determinado como no caso usual. Esta é a taxa na qual a função muda em algum ponto particular à medida que o parâmetro da variável aumenta. É calculado de tal forma que todos os outros componentes são tomados como constantes, apenas um é considerado como variável. Então tudo acontece de acordo com as regras usuais.
Conselheiro indispensável em muitos assuntos
Compreendendo o significado físico da derivada, não é difícil dar exemplos de resolução de problemas intrincados e complexos, em que a resposta pode ser encontrada com tal conhecimento. Se tivermos uma função que descreva o consumo de combustível em função da velocidade do carro, podemos calcular em quais parâmetros deste último o consumo de gasolina será o menor.
Na medicina, você pode prever como o corpo humano reagirá a um medicamento prescrito por um médico. Tomar a droga afeta uma variedade de parâmetros fisiológicos. Estes incluem alterações na pressão arterial, frequência cardíaca, temperatura corporal e muito mais. Todos eles dependem da dose do medicamento tomado. Esses cálculos ajudam a prever o curso do tratamento, tanto em manifestações favoráveis quanto em acidentes indesejáveis que podem afetar fatalmente alterações no corpo do paciente.
Sem dúvida, é importante entender o significado físico da derivada em técnicasquestões, em particular em engenharia elétrica, eletrônica, design e construção.
Distância de frenagem
Vamos considerar o próximo problema. Movendo-se em velocidade constante, o carro, ao se aproximar da ponte, teve que desacelerar 10 segundos antes da entrada, pois o motorista notou uma placa de trânsito proibindo a circulação a uma velocidade superior a 36 km/h. O motorista violou as regras se a distância de frenagem pode ser descrita pela fórmula S=26t - t2?
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Calculando a primeira derivada, encontramos a fórmula da velocidade, obtemos v=28 – 2t. Em seguida, substitua o valor t=10 na expressão especificada.
Como este valor foi expresso em segundos, a velocidade é de 8 m/s, o que significa 28,8 km/h. Isso permite entender que o motorista começou a desacelerar a tempo e não infringiu as regras de trânsito e, portanto, o limite indicado no sinal de velocidade.
Isso prova a importância do significado físico da derivada. Um exemplo de solução desse problema demonstra a amplitude do uso desse conceito em várias esferas da vida. Inclusive em situações cotidianas.
Derivada em economia
Até o século 19, os economistas operavam principalmente em médias, fosse a produtividade do trabalho ou o preço da produção. Mas, a partir de algum momento, os valores limitantes se tornaram mais necessários para fazer previsões eficazes nessa área. Estes incluem utilidade marginal, receita ou custo. Compreender isso deu impulso à criação de uma ferramenta completamente nova na pesquisa econômica,que existe e se desenvolveu há mais de cem anos.
Para fazer tais cálculos, onde predominam os conceitos de mínimo e máximo, basta entender o significado geométrico e físico da derivada. Entre os criadores da base teórica dessas disciplinas, podemos citar proeminentes economistas ingleses e austríacos como US Jevons, K. Menger e outros. Obviamente, os valores limitantes nos cálculos econômicos nem sempre são convenientes de usar. E, por exemplo, relatórios trimestrais não necessariamente se encaixam no esquema existente, mas ainda assim, a aplicação de tal teoria em muitos casos é útil e eficaz.
