Um dos ramos da matemática com os quais os alunos enfrentam maiores dificuldades é a trigonometria. Não é à toa: para dominar livremente essa área do conhecimento, você precisa de pensamento espacial, capacidade de encontrar senos, cossenos, tangentes, cotangentes usando fórmulas, simplificar expressões e poder usar o número pi nos cálculos. Além disso, você precisa ser capaz de aplicar trigonometria ao provar teoremas, e isso requer uma memória matemática desenvolvida ou a capacidade de deduzir cadeias lógicas complexas.
As Origens da Trigonometria
A introdução a esta ciência deve começar com a definição do seno, cosseno e tangente de um ângulo, mas primeiro você precisa descobrir o que a trigonometria faz em geral.
Historicamente, os triângulos retângulos têm sido o principal objeto de pesquisa nesta seção da ciência matemática. A presença de um ângulo de 90 graus permite realizar várias operações que permitem duaslados e um canto ou dois cantos e um lado para determinar os valores de todos os parâmetros da figura em questão. No passado, as pessoas notaram esse padrão e começaram a usá-lo ativamente na construção de edifícios, navegação, astronomia e até arte.
Inception
Inicialmente, as pessoas falavam sobre a relação de ângulos e lados exclusivamente no exemplo de triângulos retângulos. Então fórmulas especiais foram descobertas, o que tornou possível expandir os limites de uso na vida cotidiana desta seção da matemática.
O estudo da trigonometria na escola hoje começa com triângulos retângulos, após os quais o conhecimento adquirido é usado pelos alunos em física e na resolução de equações trigonométricas abstratas, cujo trabalho começa no ensino médio.
trigonometria esférica
Mais tarde, quando a ciência atingiu o próximo nível de desenvolvimento, fórmulas com seno, cosseno, tangente, cotangente começaram a ser usadas na geometria esférica, onde outras regras se aplicam, e a soma dos ângulos em um triângulo é sempre mais do que 180 graus. Esta seção não é estudada na escola, mas é necessário saber sobre sua existência, pelo menos porque a superfície da Terra, e a superfície de qualquer outro planeta, é convexa, o que significa que qualquer marcação da superfície será "em forma de arco " no espaço tridimensional.
Pegue um globo e um fio. Prenda o fio a quaisquer dois pontos no globo para que fique esticado. Preste atenção - adquiriu a forma de um arco. Ele lida com essas formasgeometria esférica usada em geodésia, astronomia e outros campos teóricos e aplicados.
Triângulo retângulo
Tendo aprendido um pouco sobre as formas de usar a trigonometria, vamos voltar à trigonometria básica para entender melhor o que são seno, cosseno, tangente, quais cálculos podem ser realizados com a ajuda deles e quais fórmulas usar.
Primeiro de tudo, você precisa entender os conceitos relacionados a um triângulo retângulo. Primeiro, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90 graus. Ela é a mais longa. Lembramos que de acordo com o teorema de Pitágoras, seu valor numérico é igual à raiz da soma dos quadrados dos outros dois lados.
Por exemplo, se dois lados têm 3 e 4 centímetros respectivamente, o comprimento da hipotenusa será de 5 centímetros. A propósito, os antigos egípcios sabiam disso cerca de quatro mil e quinhentos anos atrás.
Os dois lados restantes que formam um ângulo reto são chamados de pernas. Além disso, devemos lembrar que a soma dos ângulos em um triângulo em um sistema de coordenadas retangulares é 180 graus.
Definição
Finalmente, tendo uma sólida compreensão da base geométrica, podemos nos voltar para a definição de seno, cosseno e tangente de um ângulo.
O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto (ou seja, o lado oposto ao ângulo desejado) para a hipotenusa. O cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
Lembre-se que nem seno nem cosseno podem ser maiores que um! Por quê?Porque a hipotenusa é, por padrão, o lado mais longo de um triângulo retângulo. Não importa o comprimento da perna, ela será mais curta que a hipotenusa, o que significa que sua proporção sempre será menor que um. Assim, se você obtiver um seno ou cosseno com valor maior que 1 na resposta do problema, procure um erro nos cálculos ou raciocínio. Esta resposta está claramente errada.
Finalmente, a tangente de um ângulo é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente. O mesmo resultado dará a divisão do seno pelo cosseno. Veja: de acordo com a fórmula, dividimos o comprimento do lado pela hipotenusa, depois dividimos pelo comprimento do segundo lado e multiplicamos pela hipotenusa. Assim, obtemos a mesma razão que na definição da tangente.
Cotangente, respectivamente, é a razão entre o lado adjacente ao canto e o lado oposto. Obtemos o mesmo resultado dividindo a unidade pela tangente.
Então, consideramos as definições do que é seno, cosseno, tangente e cotangente, e podemos lidar com fórmulas.
Fórmulas simples
Em trigonometria não se pode prescindir de fórmulas - como encontrar seno, cosseno, tangente, cotangente sem elas? Mas isso é exatamente o que é necessário ao resolver problemas.
A primeira fórmula que você precisa saber ao começar a estudar trigonometria diz que a soma dos quadrados do seno e do cosseno de um ângulo é igual a um. Esta fórmula é uma consequência direta do teorema de Pitágoras, mas economiza tempo se você precisar descobrir o valor do ângulo, não do lado.
Muitos alunos não se lembram da segunda fórmula, também muitopopular na resolução de problemas escolares: a soma de um e o quadrado da tangente de um ângulo é igual a um dividido pelo quadrado do cosseno do ângulo. Dê uma olhada mais de perto: afinal, esta é a mesma afirmação da primeira fórmula, apenas os dois lados da identidade foram divididos pelo quadrado do cosseno. Acontece que uma simples operação matemática torna a fórmula trigonométrica completamente irreconhecível. Lembre-se: sabendo o que é um seno, cosseno, tangente e cotangente, as regras de conversão e algumas fórmulas básicas, você pode, a qualquer momento, derivar independentemente as fórmulas mais complexas necessárias em um pedaço de papel.
Fórmulas de ângulo duplo e adição de argumentos
Mais duas fórmulas para aprender estão relacionadas aos valores de seno e cosseno para a soma e diferença de ângulos. Eles são mostrados na figura abaixo. Observe que, no primeiro caso, o seno e o cosseno são multiplicados ambas as vezes e, no segundo caso, o produto aos pares do seno e do cosseno é adicionado.
Também existem fórmulas associadas a argumentos de ângulo duplo. Eles são completamente derivados dos anteriores - como prática, tente obtê-los você mesmo, tomando o ângulo de alfa igual ao ângulo de beta.
Finalmente, observe que as fórmulas de ângulo duplo podem ser convertidas para reduzir o grau de seno, cosseno, tangente alfa.
Teoremas
Os dois principais teoremas da trigonometria básica são o teorema do seno e o teorema do cosseno. Com a ajuda desses teoremas, você pode entender facilmente como encontrar o seno, o cosseno e a tangente e, portanto, a área da figura e a magnitudecada lado, etc.
O teorema do seno afirma que, como resultado da divisão do comprimento de cada um dos lados de um triângulo pelo valor do ângulo oposto, obtemos o mesmo número. Além disso, este número será igual a dois raios do círculo circunscrito, ou seja, o círculo contendo todos os pontos do triângulo dado.
O teorema do cosseno generaliza o teorema de Pitágoras, projetando-o em quaisquer triângulos. Acontece que da soma dos quadrados dos dois lados, subtraia seu produto, multiplicado pelo duplo cosseno do ângulo adjacente a eles - o valor resultante será igual ao quadrado do terceiro lado. Assim, o teorema de Pitágoras acaba sendo um caso especial do teorema do cosseno.
Erros por desatenção
Mesmo sabendo o que são seno, cosseno e tangente, é fácil errar por distração ou erro nos cálculos mais simples. Para evitar esses erros, vamos dar uma olhada nos mais populares.
Primeiro de tudo, não converta frações comuns em decimais antes de obter o resultado final - você pode deixar a resposta como uma fração comum, salvo indicação em contrário na condição. Tal transformação não pode ser chamada de erro, mas deve-se lembrar que a cada etapa da tarefa podem surgir novas raízes, que, segundo a ideia do autor, devem ser reduzidas. Nesse caso, você perderá tempo com operações matemáticas desnecessárias. Isso é especialmente verdadeiro para valores como a raiz de três ou dois, porque eles ocorrem em tarefas a cada etapa. O mesmo vale para o arredondamento. Números "feios".
Em seguida, observe que o teorema do cosseno se aplica a qualquer triângulo, mas não o teorema de Pitágoras! Se você erroneamente esquecer de subtrair duas vezes o produto dos lados multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles, você não apenas obterá um resultado completamente errado, mas também demonstrará um completo mal-entendido sobre o assunto. Isso é pior do que um erro descuidado.
Terceiro, não confunda os valores para ângulos de 30 e 60 graus para senos, cossenos, tangentes, cotangentes. Lembre-se desses valores, pois o seno de 30 graus é igual ao cosseno de 60 e vice-versa. É fácil misturá-los e você inevitavelmente obterá um resultado errado.
Aplicativo
Muitos alunos não têm pressa em começar a estudar trigonometria, porque não entendem seu significado aplicado. O que é seno, cosseno, tangente para um engenheiro ou astrônomo? Estes são conceitos graças aos quais você pode calcular a distância de estrelas distantes, prever a queda de um meteorito, enviar uma sonda de pesquisa para outro planeta. Sem eles, é impossível construir um edifício, projetar um carro, calcular a carga na superfície ou a trajetória de um objeto. E estes são apenas os exemplos mais óbvios! Afinal, a trigonometria de uma forma ou de outra é usada em todos os lugares, da música à medicina.
Em conclusão
Então, você sabe o que são seno, cosseno e tangente. Você pode usá-los em cálculos e resolver problemas escolares com sucesso.
O ponto inteiroa trigonometria é reduzida ao fato de que, de acordo com os parâmetros conhecidos do triângulo, é necessário calcular as incógnitas. Existem seis parâmetros no total: os comprimentos de três lados e as magnitudes de três ângulos. Toda a diferença nas tarefas está no fato de que diferentes dados de entrada são fornecidos.
Como encontrar o seno, cosseno, tangente com base nos comprimentos conhecidos dos catetos ou da hipotenusa, agora você sabe. Como esses termos significam nada mais do que uma razão, e uma razão é uma fração, o objetivo principal do problema trigonométrico é encontrar as raízes de uma equação ordinária ou de um sistema de equações. E aqui a matemática escolar usual irá ajudá-lo.
