Desigualdades e sistemas de desigualdades é um dos tópicos que é ensinado na álgebra do ensino médio. Em termos de dificuldade, não é o mais difícil, pois possui regras simples (sobre elas um pouco mais adiante). Como regra, os alunos aprendem a solução de sistemas de desigualdades com bastante facilidade. Isso também se deve ao fato de que os professores simplesmente “treinam” seus alunos neste tópico. E eles não podem deixar de fazer isso, porque é estudado no futuro com o uso de outras grandezas matemáticas, e também é verificado para o OGE e o Exame Estadual Unificado. Nos livros escolares, o tópico das desigualdades e sistemas de desigualdades é abordado em grande detalhe; portanto, se você for estudá-lo, é melhor recorrer a eles. Este artigo é apenas uma paráfrase de muito material e pode conter algumas omissões.
O conceito de um sistema de desigualdades
Se nos voltarmos para a linguagem científica, podemos definir o conceito de "sistemaEste é um modelo matemático que representa várias desigualdades. Claro, este modelo requer uma solução, e será a resposta geral para todas as desigualdades do sistema proposto na tarefa (geralmente é escrito assim, para exemplo: "Resolva o sistema de desigualdades 4 x + 1 > 2 e 30 - x > 6… ").
Sistemas de inequações e sistemas de equações
No processo de aprendizagem de um novo tópico, muitas vezes surgem mal-entendidos. Por um lado, tudo está claro e prefiro começar a resolver as tarefas, mas por outro lado, alguns momentos ficam na “sombra”, não são bem compreendidos. Além disso, alguns elementos do conhecimento já adquirido podem ser entrelaçados com os novos. Os erros geralmente ocorrem como resultado dessa sobreposição.
Portanto, antes de prosseguir com a análise do nosso tópico, devemos relembrar as diferenças entre equações e desigualdades, seus sistemas. Para isso, é necessário esclarecer mais uma vez quais são esses conceitos matemáticos. Uma equação é sempre uma igualdade e é sempre igual a alguma coisa (em matemática, esta palavra é denotada pelo sinal "="). A desigualdade é um modelo em que um valor é maior ou menor que outro, ou contém a afirmação de que eles não são iguais. Assim, no primeiro caso, é apropriado falar de igualdade, e no segundo, por mais óbvio que pareçao próprio nome, sobre a desigualdade dos dados iniciais. Os sistemas de equações e desigualdades praticamente não diferem entre si e os métodos para sua solução são os mesmos. A única diferença é que o primeiro usa igualdades enquanto o último usa desigualdades.
Tipos de desigualdades
Existem dois tipos de desigualdade: numérica e com variável desconhecida. O primeiro tipo fornece valores (números) que não são iguais entre si, por exemplo, 8 > 10. O segundo tipo são desigualdades contendo uma variável desconhecida (indicada por alguma letra do alfabeto latino, na maioria das vezes X). Essa variável precisa ser encontrada. Dependendo de quantas são, o modelo matemático distingue entre desigualdades com uma (compõem um sistema de desigualdades com uma variável) ou várias variáveis (compõem um sistema de desigualdades com várias variáveis).
Os dois últimos tipos, de acordo com o grau de construção e o nível de complexidade da solução, são divididos em simples e complexos. As simples também são chamadas de desigualdades lineares. Eles, por sua vez, são divididos em estritos e não estritos. Estrito especificamente "dizer" que um valor deve ser menor ou maior, então isso é pura desigualdade. Existem vários exemplos: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, etc. Os não estritos também incluem igualdade. Ou seja, um valor pode ser maior ou igual a outro valor (sinal "≧") ou menor ou igual a outro valor (sinal "≦"). Ainda na filaNas desigualdades, a variável não fica na raiz, quadrado, não é divisível por nada, por isso são chamadas de "simples". Os complexos incluem variáveis desconhecidas, cuja descoberta requer mais operações matemáticas. Eles estão muitas vezes em um quadrado, cubo ou sob a raiz, podem ser modulares, logarítmicos, fracionários, etc. Mas como nossa tarefa é entender a solução de sistemas de inequações, falaremos de um sistema de inequações lineares. No entanto, antes disso, algumas palavras devem ser ditas sobre suas propriedades.
Propriedades das desigualdades
As propriedades das desigualdades incluem as seguintes disposições:
- O sinal de desigualdade é invertido se a operação para alterar a sequência de lados for aplicada (por exemplo, se t1 ≦ t2, então t 2 ≧ t1).
- As duas partes da desigualdade permitem que você adicione o mesmo número a si mesmo (por exemplo, se t1 ≦ t2, então t 1 + número ≦ t2 + número).
- Duas ou mais desigualdades com o sinal da mesma direção permitem adicionar suas partes esquerda e direita (por exemplo, se t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, então t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Ambas as partes da inequação podem ser multiplicadas ou divididas pelo mesmo número positivo (por exemplo, se t1 ≦ t2e número ≦ 0, então número t1 ≧ número t2).
- Duas ou mais desigualdades que têm termos positivos e um sinal de mesma direção permitemmultiplique um ao outro (por exemplo, se t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 então t1 t3 ≦ t2 t4).
- Ambas as partes da inequação podem ser multiplicadas ou divididas pelo mesmo número negativo, mas o sinal da inequação muda (por exemplo, se t1 ≦ t2 e número ≦ 0, então número t1 ≧ número t2).
- Todas as desigualdades são transitivas (por exemplo, se t1 ≦ t2 e t2≦ t3, então t1 ≦ t3).
Agora, após estudar as principais disposições da teoria relacionadas às desigualdades, podemos passar diretamente à consideração das regras para a resolução de seus sistemas.
Solução de sistemas de inequações. Informação geral. Soluções
Como mencionado acima, a solução são os valores da variável que se encaixam em todas as desigualdades do sistema dado. A solução de sistemas de inequações é a implementação de operações matemáticas que levam à solução de todo o sistema ou provam que ele não tem soluções. Neste caso, diz-se que a variável se refere ao conjunto de números vazio (escrito da seguinte forma: a letra que denota a variável ∈ (o sinal "pertence") ø (o sinal "conjunto vazio"), por exemplo, x ∈ ø (lê-se assim: "A variável "x" pertence ao conjunto vazio"). Existem várias maneiras de resolver sistemas de desigualdades:método gráfico, algébrico, de substituição. Vale a pena notar que eles se referem àqueles modelos matemáticos que possuem várias variáveis desconhecidas. No caso de haver apenas um, o método de espaçamento servirá.
Método gráfico
Permite resolver um sistema de desigualdades com várias incógnitas (de duas ou mais). Graças a este método, o sistema de desigualdades lineares é resolvido com bastante facilidade e rapidez, por isso é o método mais comum. Isso ocorre porque a plotagem reduz a quantidade de operações matemáticas de escrita. Torna-se especialmente agradável fazer uma pequena pausa na caneta, pegar um lápis com uma régua e prosseguir com outras ações com a ajuda deles quando muito trabalho foi feito e você deseja um pouco de variedade. No entanto, alguns não gostam desse método devido ao fato de você ter que se afastar da tarefa e mudar sua atividade mental para desenhar. No entanto, é uma maneira muito eficaz.
Para resolver um sistema de inequações usando um método gráfico, é necessário transferir todos os membros de cada inequação para o seu lado esquerdo. Os sinais serão invertidos, zero deve ser escrito à direita, então cada desigualdade deve ser escrita separadamente. Como resultado, as funções serão obtidas a partir de desigualdades. Depois disso, você pode pegar um lápis e uma régua: agora você precisa desenhar um gráfico de cada função obtida. Todo o conjunto de números que estará no intervalo de sua interseção será a solução do sistema de inequações.
Maneira Algébrica
Permite resolver um sistema de desigualdades com duas variáveis desconhecidas. As desigualdades também devem ter o mesmo sinal de desigualdade (ou seja, devem conter apenas o sinal "maior que", ou apenas o sinal "menor que", etc.) Apesar de suas limitações, esse método também é mais complicado. É aplicado em duas etapas.
A primeira envolve se livrar de uma das variáveis desconhecidas. Primeiro você precisa selecioná-lo e, em seguida, verifique a presença de números na frente dessa variável. Se não houver nenhum (então a variável parecerá uma única letra), não alteramos nada, se houver (o tipo da variável será, por exemplo, 5y ou 12y), é necessário ter certeza que em cada desigualdade o número na frente da variável selecionada é o mesmo. Para fazer isso, você precisa multiplicar cada membro das desigualdades por um fator comum, por exemplo, se 3y estiver escrito na primeira desigualdade e 5y na segunda, você precisará multiplicar todos os membros da primeira desigualdade por 5, e o segundo por 3. Você obtém 15y e 15y, respectivamente.
A segunda etapa da decisão. É necessário transferir o lado esquerdo de cada desigualdade para o lado direito com uma mudança no sinal de cada termo para o oposto, escreva zero à direita. Depois vem a parte divertida: livrar-se da variável escolhida (também conhecida como "redução") enquanto soma as desigualdades. Você obterá uma desigualdade com uma variável que precisa ser resolvida. Depois disso, você deve fazer o mesmo, apenas com outra variável desconhecida. Os resultados obtidos serão a solução do sistema.
Método de substituição
Permite que você resolva um sistema de desigualdades quando tiver a oportunidade de introduzir uma nova variável. Normalmente este método é usado quando a variável desconhecida em um termo da desigualdade é elevada à quarta potência e no outro termo é elevada ao quadrado. Assim, este método visa reduzir o grau de desigualdades no sistema. A desigualdade amostral x4 - x2 - 1 ≦ 0 é resolvida desta forma, como segue. Uma nova variável é introduzida, por exemplo t. Eles escrevem: "Deixe t=x2", então o modelo é reescrito em uma nova forma. No nosso caso, obtemos t2 - t - 1 ≦0. Essa desigualdade precisa ser resolvida pelo método intervalar (sobre isso um pouco mais tarde), depois volte para a variável X e faça o mesmo com outra desigualdade. As respostas recebidas serão a decisão do sistema.
Método de intervalo
Esta é a maneira mais fácil de resolver sistemas de desigualdades e, ao mesmo tempo, é universal e difundida. É usado no ensino médio e até mesmo no ensino médio. Sua essência está no fato de que o aluno está procurando intervalos de desigualdade na reta numérica, que é desenhada em um caderno (isso não é um gráfico, mas apenas uma linha reta comum com números). Onde os intervalos de desigualdades se cruzam, a solução do sistema é encontrada. Para usar o método de espaçamento, siga estas etapas:
- Todos os membros de cada desigualdade são transferidos para o lado esquerdo com uma mudança de sinal para o oposto (zero é escrito à direita).
- As desigualdades são escritas separadamente, a solução de cada uma delas é determinada.
- As interseções de desigualdades no númeroEm linha reta. Todos os números nessas interseções serão a solução.
Qual forma de usar?
Obviamente o que parece mais fácil e conveniente, mas há momentos em que as tarefas exigem um determinado método. Na maioria das vezes, eles dizem que você precisa resolver usando um gráfico ou usando o método de intervalo. O método algébrico e a substituição são usados muito raramente ou nada, pois são bastante complexos e confusos e, além disso, são mais usados para resolver sistemas de equações do que desigualdades, portanto, você deve recorrer ao desenho de gráficos e intervalos. Eles trazem visibilidade, o que não pode deixar de contribuir para a condução eficiente e rápida das operações matemáticas.
Se algo não funcionar
Durante o estudo de um determinado tópico em álgebra, é claro, pode haver problemas com sua compreensão. E isso é normal, porque nosso cérebro é projetado de tal forma que não é capaz de entender material complexo de uma só vez. Muitas vezes você precisa reler um parágrafo, ter a ajuda de um professor ou praticar a resolução de problemas típicos. No nosso caso, eles se parecem, por exemplo, assim: "Resolva o sistema de desigualdades 3 x + 1 ≧ 0 e 2 x - 1 > 3". Assim, o esforço pessoal, a ajuda de pessoas de fora e a prática ajudam na compreensão de qualquer tópico complexo.
Reshebnik?
E o livro de soluções também é muito bom, mas não para enganar a lição de casa, mas para auto-ajuda. Neles você pode encontrar sistemas de desigualdades com solução, veja(como modelos), tente entender exatamente como o autor da solução lidou com a tarefa e, em seguida, tente fazê-lo por conta própria.
Conclusões
Álgebra é uma das matérias mais difíceis da escola. Bem, o que você pode fazer? A matemática sempre foi assim: para uns vem fácil, para outros é difícil. Mas, em qualquer caso, deve-se lembrar que o programa de educação geral é projetado de forma que qualquer aluno possa lidar com isso. Além disso, você precisa ter em mente um grande número de assistentes. Alguns deles foram mencionados acima.
