A área da superfície lateral de uma pirâmide quadrangular regular: fórmulas e exemplos de problemas

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2024-01-02 17:54

Problemas geométricos típicos no plano e no espaço tridimensional são os problemas de determinação das áreas de superfície de diferentes formas. Neste artigo, apresentamos a fórmula para a área da superfície lateral de uma pirâmide quadrangular regular.

O que é uma pirâmide?

Vamos dar uma definição geométrica estrita de uma pirâmide. Suponha que haja algum polígono com n lados e n vértices. Escolhemos um ponto arbitrário no espaço que não estará no plano do n-gon especificado e o conectamos a cada vértice do polígono. Vamos obter uma figura que tem algum volume, que é chamada de pirâmide n-gonal. Por exemplo, vamos mostrar na figura abaixo como é uma pirâmide pentagonal.

Dois elementos importantes de qualquer pirâmide são sua base (n-gon) e seu topo. Esses elementos estão conectados entre si por n triângulos, que em geral não são iguais entre si. Perpendicular caiu dede cima para baixo é chamado de altura da figura. Se cruzar a base no centro geométrico (coincide com o centro de massa do polígono), essa pirâmide é chamada de linha reta. Se, além dessa condição, a base for um polígono regular, toda a pirâmide será chamada de regular. A figura abaixo mostra como são as pirâmides regulares com bases triangulares, quadrangulares, pentagonais e hexagonais.

Superfície da pirâmide

Antes de nos voltarmos para a questão da área da superfície lateral de uma pirâmide quadrangular regular, devemos nos deter no conceito da própria superfície.

Como mencionado acima e mostrado nas figuras, qualquer pirâmide é formada por um conjunto de faces ou lados. Um lado é a base e n lados são triângulos. A superfície de toda a figura é a soma das áreas de cada um de seus lados.

É conveniente estudar a superfície no exemplo de desdobramento de uma figura. Uma varredura para uma pirâmide quadrangular regular é mostrada nas figuras abaixo.

Vemos que sua área de superfície é igual à soma de quatro áreas de triângulos isósceles idênticos e a área de um quadrado.

A área total de todos os triângulos que formam os lados da figura é chamada de área da superfície lateral. A seguir, mostraremos como calculá-lo para uma pirâmide quadrangular regular.

A área da superfície lateral de uma pirâmide quadrangular regular

Para calcular a área da lateralsuperfície da figura especificada, voltamos novamente para a varredura acima. Suponha que conhecemos o lado da base quadrada. Vamos denotar pelo símbolo a. Pode-se ver que cada um dos quatro triângulos idênticos tem uma base de comprimento a. Para calcular sua área total, você precisa saber esse valor para um triângulo. Sabe-se do curso de geometria que a área de um triângulo S_{t é igual ao produto da base pela altura, que deve ser dividida ao meio. Ou seja:}

S_t=1/2h_ba.

Onde h_b é a altura de um triângulo isósceles desenhado na base a. Para uma pirâmide, esta altura é o apótema. Agora resta multiplicar a expressão resultante por 4 para obter a área S_{bda superfície lateral da pirâmide em questão:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Esta fórmula contém dois parâmetros: o apótema e o lado da base. Se o último é conhecido na maioria das condições dos problemas, então o primeiro deve ser calculado conhecendo outras quantidades. Aqui estão as fórmulas para calcular apotema h_{b para dois casos:}

• quando o comprimento da nervura lateral é conhecido;
• quando a altura da pirâmide é conhecida.

Se denotarmos o comprimento da aresta lateral (o lado de um triângulo isósceles) com o símbolo L, então o apotema h_{b é determinado pela fórmula:}

h_b=√(L² -a^2/4).

Esta expressão é o resultado da aplicação do teorema de Pitágoras para o triângulo da superfície lateral.

Se conhecidoa altura h da pirâmide, então o apotema h_{b pode ser calculado da seguinte forma:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Obter esta expressão também não é difícil se considerarmos dentro da pirâmide um triângulo retângulo formado pelos catetos h e a/2 e a hipotenusa h_b.

Vamos mostrar como aplicar essas fórmulas resolvendo dois problemas interessantes.

Problema com área de superfície conhecida

Sabe-se que a área da superfície lateral de uma pirâmide quadrangular regular é 108 cm². É necessário calcular o valor do comprimento de seu apótema h_{b, se a altura da pirâmide for 7 cm.}

Vamos escrever a fórmula da área S_{bda superfície lateral pela altura. Temos:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Aqui acabamos de substituir a fórmula apotema correspondente na expressão para S_{b. Vamos elevar ao quadrado ambos os lados da equação:}

S_b²=4a²h² + a^4.

Para encontrar o valor de a, vamos fazer uma mudança de variáveis:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Agora substituímos os valores conhecidos e resolvemos a equação quadrática:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Escrevemos apenas a raiz positiva desta equação. Então os lados da base da pirâmide serão:

a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 cm.

Para obter o comprimento do apotema,basta usar a fórmula:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 veja}

Superfície lateral da pirâmide de Quéops

Determine o valor da área da superfície lateral da maior pirâmide egípcia. Sabe-se que na sua base encontra-se um quadrado com 230,363 metros de lado. A altura da estrutura era originalmente de 146,5 metros. Substituindo esses números na fórmula correspondente para S_{b, obtemos:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

O valor encontrado é um pouco maior que a área de 17 campos de futebol.