Mesmo na escola, cada um de nós estudava equações e, com certeza, sistemas de equações. Mas muitas pessoas não sabem que existem várias maneiras de resolvê-los. Hoje vamos analisar detalhadamente todos os métodos para resolver um sistema de equações algébricas lineares, que consistem em mais de duas igualdades.
Histórico
Hoje sabe-se que a arte de resolver equações e seus sistemas teve origem na antiga Babilônia e no Egito. No entanto, as igualdades em sua forma usual apareceram após o aparecimento do sinal de igual "=", que foi introduzido em 1556 pelo matemático inglês Record. A propósito, esse sinal foi escolhido por um motivo: significa dois segmentos paralelos iguais. De fato, não há melhor exemplo de igualdade.
Fundador das modernas designações de letras de incógnitas e sinais de graus é o matemático francês François Viet. No entanto, suas designações diferiam significativamente das de hoje. Por exemplo, ele denotava o quadrado de um número desconhecido com a letra Q (lat. "quadratus"), e o cubo com a letra C (lat. "cubus"). Essas designações agora parecem inconvenientes, masera a maneira mais compreensível de escrever sistemas de equações algébricas lineares.
No entanto, a desvantagem dos métodos de solução então era que os matemáticos consideravam apenas raízes positivas. Talvez isso se deva ao fato de que os valores negativos não tiveram uso prático. De uma forma ou de outra, foram os matemáticos italianos Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano e Rafael Bombelli os primeiros a considerar as raízes negativas no século XVI. E no visual moderno, o principal método de resolução de equações quadráticas (através do discriminante) foi criado apenas no século XVII graças ao trabalho de Descartes e Newton.
Em meados do século 18, o matemático suíço Gabriel Cramer encontrou uma nova maneira de facilitar a resolução de sistemas de equações lineares. Este método foi posteriormente nomeado em sua homenagem e até hoje o usamos. Mas falaremos sobre o método de Cramer um pouco mais tarde, mas por enquanto discutiremos equações lineares e métodos para resolvê-las separadamente do sistema.
Equações lineares
Equações lineares são as igualdades mais simples com variável(eis). Eles são classificados como algébricos. As equações lineares são escritas na forma geral como segue: 2+…a x =b. Precisaremos de sua representação nesta forma ao compilar sistemas e matrizes.
Sistemas de equações algébricas lineares
A definição deste termo é esta: é um conjunto de equações que possuem incógnitas comuns e uma solução comum. Via de regra, na escola tudo era decidido por sistemascom duas ou mesmo três equações. Mas existem sistemas com quatro ou mais componentes. Vamos primeiro descobrir como escrevê-los para que seja conveniente resolvê-los mais tarde. Primeiro, os sistemas de equações algébricas lineares ficarão melhores se todas as variáveis forem escritas como x com o índice apropriado: 1, 2, 3 e assim por diante. Em segundo lugar, todas as equações devem ser reduzidas à forma canônica: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Após todos esses passos, podemos começar a falar sobre como encontrar uma solução para sistemas de equações lineares. As matrizes serão muito úteis para isso.
Matrizes
Uma matriz é uma tabela que consiste em linhas e colunas, e seus elementos estão localizados em sua interseção. Estes podem ser valores específicos ou variáveis. Na maioria das vezes, para designar elementos, subscritos são colocados abaixo deles (por exemplo, a11 ou a23). O primeiro índice significa o número da linha e o segundo o número da coluna. Em matrizes, assim como em qualquer outro elemento matemático, você pode realizar várias operações. Então você pode:
1) Subtraia e adicione tabelas do mesmo tamanho.
2) Multiplique uma matriz por algum número ou vetor.
3) Transposição: transforma as linhas da matriz em colunas e as colunas em linhas.
4) Multiplique matrizes se o número de linhas de uma delas for igual ao número de colunas da outra.
Discutiremos todas essas técnicas com mais detalhes, pois elas serão úteis para nós no futuro. Subtrair e adicionar matrizes é muito fácil. entãocomo tomamos matrizes do mesmo tamanho, então cada elemento de uma tabela corresponde a cada elemento de outra. Assim, somamos (subtraímos) esses dois elementos (é importante que estejam nos mesmos lugares em suas matrizes). Ao multiplicar uma matriz por um número ou vetor, basta multiplicar cada elemento da matriz por esse número (ou vetor). A transposição é um processo muito interessante. Às vezes é muito interessante vê-lo na vida real, por exemplo, ao alterar a orientação de um tablet ou telefone. Os ícones na área de trabalho são uma matriz e, quando você altera a posição, ela se transpõe e fica mais larga, mas diminui em altura.
Vamos dar outra olhada em um processo como a multiplicação de matrizes. Embora não seja útil para nós, ainda será útil conhecê-lo. Você pode multiplicar duas matrizes somente se o número de colunas em uma tabela for igual ao número de linhas na outra. Agora vamos pegar os elementos de uma linha de uma matriz e os elementos da coluna correspondente de outra. Nós os multiplicamos um pelo outro e depois os somamos (isto é, por exemplo, o produto dos elementos a11 e a12 por b 12e b22 será igual a: a11b12 + a 12 b22). Assim, um elemento da tabela é obtido e preenchido por um método semelhante.
Agora podemos começar a ver como o sistema de equações lineares é resolvido.
método Gauss
Esse tópico começa a passar mesmo na escola. Conhecemos bem o conceito de "sistema de duas equações lineares" e sabemos como resolvê-los. Mas e se o número de equações for maior que dois? O método de Gauss nos ajudará com isso.
Claro, este método é conveniente de usar se você fizer uma matriz fora do sistema. Mas você não pode transformá-lo e resolvê-lo em sua forma mais pura.
Então, como esse método resolve o sistema de equações gaussianas lineares? A propósito, embora esse método tenha o nome dele, foi descoberto nos tempos antigos. Gauss propõe o seguinte: realizar operações com equações para eventualmente reduzir todo o conjunto a uma forma escalonada. Ou seja, é necessário que de cima para baixo (se colocado corretamente) da primeira equação à última, uma incógnita diminua. Em outras palavras, precisamos ter certeza de obter, digamos, três equações: na primeira - três incógnitas, na segunda - duas, na terceira - uma. Então, da última equação, encontramos a primeira incógnita, substituímos seu valor na segunda ou na primeira equação e, em seguida, encontramos as duas variáveis restantes.
método Cramer
Para dominar este método, é vital dominar as habilidades de adição, subtração de matrizes, e você também precisa ser capaz de encontrar determinantes. Portanto, se você fizer tudo isso mal ou não souber como fazer, terá que aprender e praticar.
Qual é a essência deste método, e como fazê-lo para que um sistema de equações lineares de Cramer seja obtido? Tudo é muito simples. Temos que construir uma matriz a partir de coeficientes numéricos (quase sempre) de um sistema de equações algébricas lineares. Para fazer isso, basta pegar os números na frente das incógnitas e organizá-los emtabela na ordem em que são registrados no sistema. Se o número for precedido por um sinal "-", escrevemos um coeficiente negativo. Assim, compilamos a primeira matriz a partir dos coeficientes das incógnitas, não incluindo os números após os sinais de igual (naturalmente, a equação deve ser reduzida à forma canônica, quando apenas o número está à direita e todas as incógnitas com coeficientes à esquerda). Então você precisa criar várias outras matrizes - uma para cada variável. Para fazer isso, substituímos cada coluna por coeficientes na primeira matriz por uma coluna de números após o sinal de igual. Assim, obtemos várias matrizes e depois encontramos seus determinantes.
Depois de encontrarmos os determinantes, a questão é pequena. Temos uma matriz inicial e existem várias matrizes resultantes que correspondem a diferentes variáveis. Para obter as soluções do sistema, dividimos o determinante da tabela resultante pelo determinante da tabela inicial. O número resultante é o valor de uma das variáveis. Da mesma forma, encontramos todas as incógnitas.
Outros métodos
Existem vários outros métodos para obter a solução de sistemas de equações lineares. Por exemplo, o chamado método de Gauss-Jordan, que é usado para encontrar soluções para um sistema de equações quadráticas e também está associado ao uso de matrizes. Existe também um método de Jacobi para resolver um sistema de equações algébricas lineares. É o mais fácil de se adaptar a um computador e é usado em computação.
Casos difíceis
A complexidade geralmente ocorre quando o número de equações é menor que o número de variáveis. Então podemos dizer com certeza que ou o sistema é inconsistente (ou seja, não tem raízes), ou o número de suas soluções tende ao infinito. Se tivermos o segundo caso, precisamos escrever a solução geral do sistema de equações lineares. Ele conterá pelo menos uma variável.
Conclusão
Aqui chegamos ao fim. Para resumir: analisamos o que são um sistema e uma matriz, aprendemos como encontrar uma solução geral para um sistema de equações lineares. Além disso, outras opções foram consideradas. Descobrimos como o sistema de equações lineares é resolvido: o método de Gauss e o método de Cramer. Conversamos sobre casos difíceis e outras formas de encontrar soluções.
Na verdade, este tópico é muito mais extenso, e se você quiser entendê-lo melhor, aconselhamos a leitura de literatura mais especializada.
