Cinemática é uma parte da física que considera as leis do movimento dos corpos. Sua diferença da dinâmica é que ela não considera as forças que atuam sobre um corpo em movimento. Este artigo é dedicado à questão da cinemática do movimento rotacional.
Movimento rotacional e sua diferença do movimento para frente
Se você prestar atenção aos objetos em movimento ao redor, poderá ver que eles se movem em linha reta (o carro está dirigindo na estrada, o avião está voando no céu) ou em círculo (o mesmo carro entrando em uma curva, a rotação da roda). Tipos mais complexos de movimento de objetos podem ser reduzidos, como primeira aproximação, a uma combinação dos dois tipos mencionados.
O movimento progressivo envolve a mudança das coordenadas espaciais do corpo. Neste caso, muitas vezes é considerado como um ponto material (as dimensões geométricas não são levadas em consideração).
Movimento rotacional é um tipo de movimento no qualo sistema se move em um círculo em torno de algum eixo. Além disso, o objeto neste caso raramente é considerado um ponto material, na maioria das vezes é usada outra aproximação - um corpo absolutamente rígido. Este último significa que as forças elásticas que atuam entre os átomos do corpo são desprezadas e assume-se que as dimensões geométricas do sistema não mudam durante a rotação. O caso mais simples é um eixo fixo.
A cinemática do movimento de translação e rotação obedece às mesmas leis de Newton. Quantidades físicas semelhantes são usadas para descrever os dois tipos de movimento.
Quais quantidades descrevem o movimento na física?
A cinemática do movimento de rotação e translação usa três quantidades básicas:
- O caminho percorrido. Vamos denotar pela letra L para translação e θ - para movimento rotacional.
- Velocidade. Para um caso linear, geralmente é escrito com a letra latina v, para movimento ao longo de um caminho circular - com a letra grega ω.
- Aceleração. Para um caminho linear e circular, os símbolos a e α são usados, respectivamente.
O conceito de trajetória também é muito utilizado. Mas para os tipos de movimento de objetos em consideração, esse conceito se torna trivial, pois o movimento de translação é caracterizado por uma trajetória linear e rotacional - por um círculo.
Velocidades lineares e angulares
Vamos começar a cinemática do movimento rotacional de um ponto materialvisto a partir do conceito de velocidade. Sabe-se que para o movimento translacional de corpos, esse valor descreve qual caminho será percorrido por unidade de tempo, ou seja:
v=L / t
V é medido em metros por segundo. Para rotação, é inconveniente considerar essa velocidade linear, pois depende da distância ao eixo de rotação. Uma característica ligeiramente diferente é introduzida:
ω=θ / t
Esta é uma das principais fórmulas da cinemática do movimento rotacional. Mostra em que ângulo θ todo o sistema irá girar em torno de um eixo fixo no tempo t.
Ambas as fórmulas acima refletem o mesmo processo físico de velocidade de movimento. Apenas para o caso linear, a distância é importante, e para o caso circular, o ângulo de rotação.
Ambas as fórmulas interagem entre si. Vamos fazer essa conexão. Se expressarmos θ em radianos, então um ponto material girando a uma distância R do eixo, tendo feito uma revolução, percorrerá o caminho L=2piR. A expressão para a velocidade linear terá a forma:
v=L / t=2piR / t
Mas a razão de 2pi radianos para o tempo t nada mais é do que velocidade angular. Então temos:
v=ωR
Daqui pode-se ver que quanto maior a velocidade linear v e quanto menor o raio de rotação R, maior a velocidade angular ω.
Aceleração linear e angular
Outra característica importante na cinemática do movimento de rotação de um ponto material é a aceleração angular. Antes de conhecê-lo, vamosfórmula para um valor linear semelhante:
1) a=dv/dt
2) a=Δv / Δt
A primeira expressão reflete a aceleração instantânea (dt ->0), enquanto a segunda fórmula é apropriada se a velocidade mudar uniformemente ao longo do tempo Δt. A aceleração obtida na segunda variante é chamada de média.
Dada a semelhança das quantidades que descrevem o movimento linear e rotacional, para aceleração angular podemos escrever:
1) α=dω / dt
2) α=Δω / Δt
A interpretação dessas fórmulas é exatamente a mesma do caso linear. A única diferença é que a mostra quantos metros por segundo a velocidade muda por unidade de tempo, e α mostra quantos radianos por segundo a velocidade angular muda no mesmo período de tempo.
Vamos encontrar a conexão entre essas acelerações. Substituindo o valor de v, expresso em termos de ω, em qualquer uma das duas igualdades de α, obtemos:
α=Δω / Δt=Δv / Δt1 / R=a / R
Segue que quanto menor o raio de rotação e maior a aceleração linear, maior o valor de α.
Distância percorrida e ângulo de giro
Resta dar fórmulas para a última das três quantidades básicas na cinemática do movimento rotacional em torno de um eixo fixo - para o ângulo de rotação. Como nos parágrafos anteriores, primeiro escrevemos a fórmula para o movimento retilíneo uniformemente acelerado, temos:
L=v0 t + a t2 / 2
A analogia completa com o movimento rotacional leva à seguinte fórmula:
θ=ω0 t + αt2 / 2
A última expressão permite obter o ângulo de rotação para qualquer tempo t. Observe que a circunferência é 2pi radianos (≈ 6,3 radianos). Se, como resultado da resolução do problema, o valor de θ for maior que o valor especificado, então o corpo deu mais de uma volta em torno do eixo.
A fórmula da relação entre L e θ é obtida substituindo os valores correspondentes para ω0e α por características lineares:
θ=v0 t/R + at2 / (2R)=L /R
A expressão resultante reflete o significado do próprio ângulo θ em radianos. Se θ=1 rad, então L=R, ou seja, um ângulo de um radiano repousa sobre um arco de comprimento um raio.
Exemplo de resolução de problemas
Vamos resolver o seguinte problema de cinemática rotacional: sabemos que o carro está se movendo a uma velocidade de 70 km/h. Sabendo que o diâmetro de sua roda é D=0,4 metros, é necessário determinar o valor de ω para ela, bem como o número de voltas que fará quando o carro percorrer uma distância de 1 quilômetro.
Para encontrar a velocidade angular, basta substituir os dados conhecidos na fórmula para relacioná-lo com a velocidade linear, temos:
ω=v / R=7104 / 3600 / 0, 2=97, 222 rad/s.
Da mesma forma para o ângulo θ para o qual a roda irá girar após passar1 km, temos:
θ=L / R=1000 / 0, 2=5000 rad.
Dado que uma revolução é 6,2832 radianos, obtemos o número de revoluções da roda que corresponde a este ângulo:
n=θ / 6, 2832=5000 / 6, 2832=795, 77 voltas.
Respondemos as perguntas usando as fórmulas do artigo. Também foi possível resolver o problema de outra forma: calcular o tempo que o carro percorrerá 1 km e substituí-lo na fórmula do ângulo de rotação, a partir do qual podemos obter a velocidade angular ω. Resposta encontrada.
