Área da superfície de um prisma reto: fórmulas e um exemplo de problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2024-01-02 17:54

Volume e área de superfície são duas características importantes de qualquer corpo que tenha dimensões finitas no espaço tridimensional. Neste artigo, consideramos uma classe bem conhecida de poliedros - prismas. Em particular, a questão de como encontrar a área da superfície de um prisma reto será revelada.

O que é um prisma?

Um prisma é qualquer poliedro que é limitado por vários paralelogramos e dois polígonos idênticos localizados em planos paralelos. Esses polígonos são considerados as bases da figura, e seus paralelogramos são os lados. O número de lados (cantos) da base determina o nome da figura. Por exemplo, a figura abaixo mostra um prisma pentagonal.

A distância entre as bases é chamada de altura da figura. Se a altura for igual ao comprimento de qualquer aresta lateral, esse prisma será reto. A segunda característica suficiente para um prisma reto é que todos os seus lados são retângulos ou quadrados. Se, porémSe um lado for um paralelogramo geral, a figura será inclinada. Abaixo você pode ver como os prismas retos e oblíquos diferem visualmente no exemplo de figuras quadrangulares.

Área da superfície de um prisma reto

Se uma figura geométrica tem uma base n-gonal, então ela consiste em n+2 faces, das quais n são retângulos. Vamos denotar os comprimentos dos lados da base como a_i, onde i=1, 2, …, n, e denotar a altura da figura, que é igual ao comprimento da borda lateral, como h. Para determinar a área (S) da superfície de todas as faces, some a área S_{o de cada uma das bases e todas as áreas dos lados (retângulos). Assim, a fórmula para S na forma geral pode ser escrita da seguinte forma:}

S=2S_o+ S_b

Onde S_{b é a área da superfície lateral.}

Como a base de um prisma reto pode ser absolutamente qualquer polígono plano, então uma única fórmula para calcular S_{onão pode ser fornecida, e para determinar esse valor, em geral caso, a análise geométrica deve ser realizada. Por exemplo, se a base for um n-gon regular com lado a, sua área será calculada pela fórmula:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

Quanto ao valor de S_{b, a expressão para seu cálculo pode ser dada. A área da superfície lateral de um prisma reto é:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

Ou seja, o valorS_{b é calculado como o produto da altura da figura pelo perímetro de sua base.}

Exemplo de resolução de problemas

Vamos aplicar os conhecimentos adquiridos para resolver o seguinte problema geométrico. Dado um prisma, cuja base é um triângulo retângulo com lados em ângulo reto de 5 cm e 7 cm. A altura da figura é de 10 cm. É necessário encontrar a área da superfície de um prisma triangular reto.

Primeiro, vamos calcular a hipotenusa do triângulo. Será igual a:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 cm}

Agora vamos fazer mais uma operação matemática preparatória - calcular o perímetro da base. Será:

P=5 + 7 + 8,6=20,6cm

A área da superfície lateral da figura é calculada como o produto do valor P pela altura h=10 cm, ou seja, S_b=206 cm ^2.

Para encontrar a área de toda a superfície, duas áreas de base devem ser adicionadas ao valor encontrado. Como a área de um triângulo retângulo é determinada pela metade do produto dos catetos, obtemos:

2S_o=257/2=35cm²

Então temos que a área da superfície de um prisma triangular reto é 35 + 206=241 cm2.