O surgimento do conceito de integral se deu pela necessidade de encontrar a função antiderivada por sua derivada, bem como determinar a quantidade de trabalho, a área de figuras complexas, a distância percorrida, com parâmetros descritos por curvas descritas por fórmulas não lineares.
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e a física sabe que o trabalho é igual ao produto da força pela distância. Se todos os movimentos ocorrerem a uma velocidade constante ou a distância for superada com a aplicação da mesma força, tudo ficará claro, basta multiplicá-los. O que é integral de uma constante? Esta é uma função linear da forma y=kx+c.
Mas a força durante o trabalho pode mudar, e em algum tipo de dependência natural. A mesma situação ocorre com o cálculo da distância percorrida se a velocidade não for constante.
Então, está claro para que serve a integral. Sua definição como a soma dos produtos dos valores da função por um incremento infinitesimal do argumento descreve plenamente o significado principal deste conceito como a área de uma figura delimitada de cima pela linha da função, e em as arestas pelos limites da definição.
Jean Gaston Darboux, matemático francês, na segunda metade do século XIXséculo explicou muito claramente o que é uma integral. Ele deixou tão claro que, em geral, não seria difícil nem mesmo para um estudante do ensino médio entender essa questão.
Digamos que existe uma função de qualquer forma complexa. O eixo y, no qual os valores do argumento são plotados, é dividido em pequenos intervalos, idealmente são infinitamente pequenos, mas como o conceito de infinito é bastante abstrato, basta imaginar apenas pequenos segmentos, o valor dos quais é geralmente denotado pela letra grega Δ (delta).
A função acabou sendo "cortada" em pequenos tijolos.
Cada valor de argumento corresponde a um ponto no eixo y, no qual os valores da função correspondente são plotados. Mas como a área selecionada possui duas bordas, também haverá dois valores da função, mais e menos.
A soma dos produtos de valores maiores pelo incremento Δ é chamada de grande soma de Darboux, e é denotada como S. Assim, os menores valores em uma área limitada, multiplicados por Δ, todos juntos formam uma pequena soma de Darboux s. A seção em si se assemelha a um trapézio retangular, pois a curvatura da linha da função com seu incremento infinitesimal pode ser desprezada. A maneira mais fácil de encontrar a área de tal figura geométrica é somar os produtos do maior e menor valor da função pelo incremento Δ e dividir por dois, ou seja, determiná-lo como a média aritmética.
Isto é o que é a integral de Darboux:
s=Σf(x) Δ é uma pequena quantidade;
S=Σf(x+Δ)Δ é uma grande soma.
Então, o que é uma integral? A área delimitada pela linha da função e os limites de definição serão:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Ou seja, a média aritmética das somas de Darboux grandes e pequenas.c é um valor constante que é definido como zero durante a diferenciação.
Com base na expressão geométrica deste conceito, fica claro o significado físico da integral. A área da figura, delineada pela função velocidade, e limitada pelo intervalo de tempo ao longo do eixo das abcissas, será o comprimento do caminho percorrido.
L=∫f(x)dx no intervalo de t1 a t2, Onde
f(x) – função de velocidade, ou seja, a fórmula pela qual ela muda ao longo do tempo;
L – comprimento do caminho;
t1 – hora de início;
t2 – hora final da viagem.
Exatamente de acordo com o mesmo princípio, a quantidade de trabalho é determinada, apenas a distância será plotada ao longo da abcissa, e a quantidade de força aplicada em cada ponto específico será plotada ao longo da ordenada.
