O que são variáveis? Variável em matemática

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2024-01-02 17:54

A importância das variáveis na matemática é grande, pois durante sua existência, os cientistas conseguiram fazer muitas descobertas nessa área, e para afirmar de forma breve e clara este ou aquele teorema, usamos variáveis para escrever as fórmulas correspondentes. Por exemplo, o teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo: a² =b² + c^{2. Como escrever sempre ao resolver um problema: de acordo com o teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos - escrevemos isso com uma fórmula e tudo fica imediatamente claro.}

Então, este artigo irá discutir o que são variáveis, seus tipos e propriedades. Várias expressões matemáticas também serão consideradas: desigualdades, fórmulas, sistemas e algoritmos para sua solução.

Conceito de variável

Primeiro de tudo, o que é uma variável? Este é um valor numérico que pode assumir muitos valores. Não pode ser constante, pois em diferentes problemas e equações, por conveniência, tomamos as soluções comovariável números diferentes, ou seja, por exemplo, z é uma designação geral para cada uma das quantidades para as quais é tomada. Geralmente eles são indicados por letras do alfabeto latino ou grego (x, y, a, b, e assim por diante).

Existem diferentes tipos de variáveis. Eles definem algumas quantidades físicas - caminho (S), tempo (t) e valores simplesmente desconhecidos em equações, funções e outras expressões.

Por exemplo, existe uma fórmula: S=Vt. Aqui, as variáveis denotam certas quantidades relacionadas ao mundo real - o caminho, a velocidade e o tempo.

E existe uma equação da forma: 3x - 16=12x. Aqui, x já é tomado como um número abstrato que faz sentido nesta notação.

Tipos de quantidades

Quantidade significa algo que expressa as propriedades de um determinado objeto, substância ou fenômeno. Por exemplo, temperatura do ar, peso de um animal, porcentagem de vitaminas em um comprimido - todas são quantidades cujos valores numéricos podem ser calculados.

Cada quantidade tem suas próprias unidades de medida, que juntas formam um sistema. É chamado de sistema numérico (SI).

O que são variáveis e constantes? Considere-os com exemplos específicos.

Vamos pegar o movimento uniforme retilíneo. Um ponto no espaço se move com a mesma velocidade todas as vezes. Ou seja, o tempo e a distância mudam, mas a velocidade permanece a mesma. Neste exemplo, tempo e distância são variáveis e a velocidade é constante.

Ou, por exemplo, “pi”. Este é um número irracional que continua sem se repetiruma sequência de dígitos e não pode ser escrito por completo, então em matemática é expresso por um símbolo geralmente aceito que assume apenas o valor de uma dada fração infinita. Ou seja, “pi” é um valor constante.

Histórico

A história da notação de variáveis começa no século XVII com o cientista René Descartes.

Ele designou os valores conhecidos com as primeiras letras do alfabeto: a, b e assim por diante, e para os desconhecidos sugeriu usar as últimas letras: x, y, z. Vale ress altar que Descartes considerava tais variáveis como números não negativos e, diante de parâmetros negativos, colocava um sinal de menos na frente da variável ou, caso não se soubesse qual era o sinal do número, uma reticência. Mas com o tempo, os nomes das variáveis começaram a denotar números de qualquer signo, e isso começou com o matemático Johann Hudde.

Com variáveis, os cálculos em matemática são mais fáceis de resolver, porque, por exemplo, como resolvemos equações biquadráticas agora? Entramos em uma variável. Por exemplo:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

Para x2 pegamos alguns k, e a equação fica clara:

x2=k, para k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

É isso que a introdução de variáveis traz para a matemática.

Desigualdades, exemplos de soluções

Uma desigualdade é um registro no qual duas expressões matemáticas ou dois números são conectados por sinais de comparação:, ≦, ≧. Eles são estritos e são indicados por sinais ou não estritos com sinais ≦, ≧.

Pela primeira vez esses sinais foram introduzidosThomas Harriot. Após a morte de Thomas, seu livro com essas notações foi publicado, os matemáticos gostaram delas e, com o tempo, elas se tornaram amplamente utilizadas em cálculos matemáticos.

Existem várias regras a serem seguidas ao resolver inequações de uma única variável:

Ao transferir um número de uma parte da inequação para outra, mude seu sinal para o oposto.
Ao multiplicar ou dividir partes de uma inequação por um número negativo, seus sinais são invertidos.
Se você multiplicar ou dividir ambos os lados da inequação por um número positivo, obterá uma inequação igual à original.

Resolver uma inequação significa encontrar todos os valores válidos para uma variável.

Exemplo de variável única:

10x - 50 > 150

Resolvemos como uma equação linear normal - movemos os termos com uma variável para a esquerda, sem uma variável - para a direita e fornecemos termos semelhantes:

10x > 200

Dividimos ambos os lados da inequação por 10 e obtemos:

x > 20

Para maior clareza, no exemplo de resolução de uma inequação com uma variável, desenhe uma reta numérica, marque o ponto perfurado 20 nela, pois a inequação é estrita e esse número não está incluído no conjunto de suas soluções.

A solução para esta desigualdade é o intervalo (20; +∞).

A solução de uma desigualdade não estrita é realizada da mesma forma que uma estrita:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Mas há uma exceção. Um registro da forma x ≧ 5 deve ser entendido da seguinte forma: x é maior ou igual a cinco, o que significao número cinco está incluído no conjunto de todas as soluções da inequação, ou seja, ao escrever a resposta, colocamos um colchete na frente do número cinco.

x ∈ [5; +∞)

Inequações quadradas

Se tomarmos uma equação quadrática da forma ax2 + bx +c=0 e mudarmos o sinal de igual para o sinal de desigualdade, então obteremos um desigualdade quadrática.

Para resolver uma inequação quadrática, você precisa ser capaz de resolver equações quadráticas.

y=ax2 + bx + c é uma função quadrática. Podemos resolvê-lo usando o discriminante ou usando o teorema de Vieta. Lembre-se de como essas equações são resolvidas:

1) y=x2 + 12x + 11 - a função é uma parábola. Seus ramos são direcionados para cima, pois o sinal do coeficiente "a" é positivo.

2) x2 + 12x + 11=0 - iguala a zero e resolve usando o discriminante.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 raízes

De acordo com a fórmula das raízes da equação quadrática, temos:

x₁ =-1, x_2=-11

Ou você pode resolver esta equação usando o teorema de Vieta:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Usando o método de seleção, obtemos as mesmas raízes da equação.

Parabola

Então, a primeira maneira de resolver uma desigualdade quadrática é uma parábola. O algoritmo para resolvê-lo é o seguinte:

1. Determine para onde os ramos da parábola são direcionados.

2. Iguale a função a zero e encontre as raízes da equação.

3. Construímos uma reta numérica, marcamos as raízes nela, desenhamos uma parábola e encontramos a lacuna que precisamos, dependendo do sinal da desigualdade.

Resolva a desigualdade x2 + x - 12 > 0

Escreva como uma função:

1) y=x2 + x - 12 - parábola, ramifica para cima.

Definir como zero.

2) x2 + x -12=0

A seguir, resolvemos como uma equação quadrática e encontramos os zeros da função:

x₁ =3, x_2=-4

3) Desenhe uma reta numérica com os pontos 3 e -4 nela. A parábola passará por eles, se ramificará e a resposta da inequação será um conjunto de valores positivos, ou seja, (-∞; -4), (3; +∞).

Método de intervalo

A segunda maneira é o método de espaçamento. Algoritmo para resolvê-lo:

1. Encontre as raízes da equação para a qual a desigualdade é igual a zero.

2. Nós os marcamos na reta numérica. Assim, ele é dividido em vários intervalos.

3. Determine o sinal de qualquer intervalo.

4. Colocamos os sinais nos intervalos restantes, mudando-os após um.

Resolva a desigualdade (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Desigualdade zeros: 4, 5 e -7.

2) Desenhe-os na reta numérica.

3) Determine os sinais dos intervalos.

Resposta: (-∞; -7]; [4; 5].

Resolva mais uma inequação: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Zeros de desigualdade: 0, 2, -2 e 1.

2. Marque-os na reta numérica.

3. Determine os sinais de intervalo.

A linha é dividida em intervalos - de -2 a 0, de 0 a 1, de 1 a 2.

Pegue o valor no primeiro intervalo - (-1). Substitua na desigualdade. Com este valor, a desigualdade se torna positiva, o que significa que o sinal neste intervalo será +.

Além disso, a partir da primeira lacuna, organizamos os sinais, alterando-os após um.

A desigualdade é maior que zero, ou seja, você precisa encontrar um conjunto de valores positivos na linha.

Resposta: (-2; 0), (1; 2).

Sistemas de equações

Um sistema de equações com duas variáveis são duas equações unidas por uma chave para as quais é necessário encontrar uma solução comum.

Sistemas podem ser equivalentes se a solução geral de um deles for a solução do outro, ou ambos não tiverem soluções.

Vamos estudar a solução de sistemas de equações com duas variáveis. Existem duas maneiras de resolvê-los - o método de substituição ou o método algébrico.

Método algébrico

Para resolver o sistema mostrado na figura usando este método, você deve primeiro multiplicar uma de suas partes por tal número, para que depois você possa cancelar mutuamente uma variável de ambas as partes da equação. Aqui multiplicamos por três, desenhamos uma linha sob o sistema e somamos suas partes. Como resultado, x se tornam idênticos em módulo, mas opostos em sinal, e nós os reduzimos. Em seguida, obtemos uma equação linear com uma variável e a resolvemos.

Encontramos Y, mas não podemos parar por aí, porque ainda não encontramos X. SubstitutoY para a parte da qual será conveniente retirar X, por exemplo:

-x + 5y=8, com y=1

-x + 5=8

Resolva a equação resultante e encontre x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

O principal na solução do sistema é escrever a resposta corretamente. Muitos alunos cometem o erro de escrever:

Resposta: -3, 1.

Mas esta é uma entrada errada. Afinal, como já mencionado acima, ao resolver um sistema de equações, estamos procurando uma solução geral para suas partes. A resposta correta seria:

(-3; 1)