Funções de cálculo diferencial de uma e várias variáveis

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2024-01-02 17:54

O cálculo é um ramo do cálculo que estuda as derivadas, diferenciais e seu uso no estudo de uma função.

Histórico da Aparência

O cálculo diferencial surgiu como uma disciplina independente na segunda metade do século XVII, graças ao trabalho de Newton e Leibniz, que formularam as disposições básicas do cálculo dos diferenciais e perceberam a conexão entre integração e diferenciação. Desde aquele momento, a disciplina se desenvolveu junto com o cálculo de integrais, formando assim a base da análise matemática. O surgimento desses cálculos abriu um novo período moderno no mundo matemático e causou o surgimento de novas disciplinas na ciência. Também ampliou a possibilidade de aplicação da ciência matemática em ciências naturais e tecnologia.

Conceitos básicos

Cálculo diferencial é baseado nos conceitos fundamentais da matemática. São eles: número real, continuidade, função e limite. Com o tempo, eles ganharam um visual moderno, graças ao cálculo integral e diferencial.

Processo de criação

A formação do cálculo diferencial na forma de um método aplicado e, em seguida, científico ocorreu antes do surgimento de uma teoria filosófica, que foi criada por Nicolau de Cusa. Suas obras são consideradas um desenvolvimento evolutivo a partir dos julgamentos da ciência antiga. Apesar de o próprio filósofo não ser matemático, sua contribuição para o desenvolvimento da ciência matemática é inegável. Kuzansky foi um dos primeiros a deixar de considerar a aritmética como o campo mais preciso da ciência, colocando em dúvida a matemática da época.

Os antigos matemáticos usavam a unidade como critério universal, enquanto o filósofo propunha o infinito como uma nova medida em vez do número exato. Nesse sentido, a representação da precisão na ciência matemática é invertida. O conhecimento científico, segundo ele, é dividido em racional e intelectual. A segunda é mais precisa, segundo o cientista, já que a primeira dá apenas um resultado aproximado.

Ideia

A ideia e conceito principal em cálculo diferencial está relacionado a uma função em pequenas vizinhanças de certos pontos. Para isso, é necessário criar um aparato matemático para estudar uma função cujo comportamento em uma pequena vizinhança dos pontos estabelecidos seja próximo ao comportamento de um polinômio ou de uma função linear. Isso é baseado na definição de uma derivada e uma diferencial.

O surgimento do conceito de derivada foi causado por um grande número de problemas das ciências naturais e matemáticas,o que levou a encontrar os valores dos limites do mesmo tipo.

Um dos principais problemas que são dados como exemplo a partir do ensino médio é determinar a velocidade de um ponto que se move ao longo de uma linha reta e construir uma linha tangente a essa curva. A diferencial está relacionada a isso, pois é possível aproximar a função em uma pequena vizinhança do ponto considerado da função linear.

Comparada ao conceito de derivada de uma função de variável real, a definição de diferenciais passa simplesmente para uma função de natureza geral, em particular, para a imagem de um espaço euclidiano sobre outro.

Derivada

Deixe o ponto se mover na direção do eixo Oy, pelo tempo que tomamos x, que é contado a partir de um certo início do momento. Tal movimento pode ser descrito pela função y=f(x), que é atribuída a cada momento x da coordenada do ponto que está sendo movido. Em mecânica, essa função é chamada de lei do movimento. A principal característica do movimento, especialmente desigual, é a velocidade instantânea. Quando um ponto se move ao longo do eixo Oy de acordo com a lei da mecânica, então em um momento aleatório x, ele adquire a coordenada f(x). No momento x + Δx, onde Δx denota o incremento de tempo, sua coordenada será f(x + Δx). É assim que a fórmula Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) é formada, chamada de incremento da função. Representa o caminho percorrido pelo ponto no tempo de x até x + Δx.

Devido ao surgimento destevelocidade no tempo, a derivada é introduzida. Em uma função arbitrária, a derivada em um ponto fixo é chamada de limite (supondo que exista). Pode ser designado por certos símbolos:

f'(x), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

O processo de cálculo da derivada é chamado de diferenciação.

Cálculo diferencial de uma função de várias variáveis

Este método de cálculo é usado ao examinar uma função com várias variáveis. Na presença de duas variáveis xey, a derivada parcial em relação a x no ponto A é chamada de derivada desta função em relação a x com y fixo.

Pode ser representado pelos seguintes caracteres:

f'(x)(x, y), u'(x), ∂u/∂x ou ∂f(x, y)'/∂x.

Habilidades Necessárias

Habilidades em integração e diferenciação são necessárias para estudar com sucesso e ser capaz de resolver difusos. Para facilitar a compreensão das equações diferenciais, você deve ter um bom entendimento do tópico da derivada e da integral indefinida. Também não custa aprender como encontrar a derivada de uma função implicitamente dada. Isso se deve ao fato de que, no processo de estudar integrais e derivações, muitas vezes terá que ser usado.

Tipos de equações diferenciais

Em quase todos os testes relacionados a equações diferenciais de primeira ordem, existem 3 tipos de equações: homogêneas, com variáveis separáveis, lineares não homogêneas.

Há também variedades mais raras de equações: com diferenciais totais, equações de Bernoulli e outras.

Noções básicas de decisão

Primeiro, você deve se lembrar das equações algébricas do curso escolar. Eles contêm variáveis e números. Para resolver uma equação ordinária, você precisa encontrar um conjunto de números que satisfaça uma determinada condição. Como regra, tais equações tinham uma raiz e, para verificar a correção, bastava substituir esse valor pela incógnita.

Equação diferencial é semelhante a esta. Em geral, tal equação de primeira ordem inclui:

• Variável independente.
• A derivada da primeira função.
• Uma função ou variável dependente.

Em alguns casos, uma das incógnitas, x ou y, pode estar f altando, mas isso não é tão importante, pois a presença da primeira derivada, sem derivadas de ordem superior, é necessária para a solução e a diferencial cálculo esteja correto.

Resolver uma equação diferencial significa encontrar o conjunto de todas as funções que correspondem à expressão dada. Tal conjunto de funções é freqüentemente chamado de solução geral de DE.

Cálculo Integral

Cálculo integral é uma das seções da análise matemática que estuda o conceito de integral, propriedades e métodos de seu cálculo.

Muitas vezes, o cálculo da integral ocorre ao calcular a área de uma figura curvilínea. Esta área significa o limite para o qual a área de um polígono inscrito em uma determinada figura tende com um aumento gradual em seu lado, enquanto esses lados podem ser menores do que qualquer arbitrário especificado anteriormentevalor pequeno.

A ideia principal no cálculo da área de uma figura geométrica arbitrária é calcular a área de um retângulo, ou seja, provar que sua área é igual ao produto do comprimento pela largura. Quando se trata de geometria, todas as construções são feitas com régua e compasso, e então a razão entre comprimento e largura é um valor racional. Ao calcular a área de um triângulo retângulo, você pode determinar que, se colocar o mesmo triângulo ao lado dele, um retângulo será formado. Em um paralelogramo, a área é calculada por um método semelhante, mas um pouco mais complicado, por meio de um retângulo e um triângulo. Nos polígonos, a área é calculada através dos triângulos incluídos nela.

Ao determinar a preservação de uma curva arbitrária, este método não funcionará. Se você dividi-lo em quadrados únicos, haverá lugares não preenchidos. Neste caso, tenta-se usar duas capas, com retângulos em cima e embaixo, como resultado, essas incluem o gráfico da função e não. O método de particionamento nesses retângulos permanece importante aqui. Além disso, se tomarmos partições cada vez menores, a área acima e abaixo deve convergir em um determinado valor.

Deve voltar ao método de divisão em retângulos. Existem dois métodos populares.

Riemann formalizou a definição da integral criada por Leibniz e Newton como a área de um subgrafo. Neste caso, foram consideradas figuras, constituídas por um certo número de retângulos verticais e obtidas pela divisãosegmento. Quando, à medida que a partição diminui, há um limite ao qual a área de uma figura semelhante se reduz, esse limite é chamado de integral de Riemann de uma função em um determinado intervalo.

O segundo método é a construção da integral de Lebesgue, que consiste no fato de que para o lugar de dividir a área definida em partes do integrando e depois compilar a soma integral dos valores obtidos nessas partes, seu intervalo de valores é dividido em intervalos e, em seguida, somado com as medidas correspondentes de pré-imagens dessas integrais.

Benefícios modernos

Um dos principais manuais para o estudo do cálculo diferencial e integral foi escrito por Fikhtengolts - "Curso de cálculo diferencial e integral". Seu livro didático é um guia fundamental para o estudo da análise matemática, que passou por muitas edições e traduções para outros idiomas. Criado para estudantes universitários e há muito usado em muitas instituições de ensino como um dos principais auxiliares de estudo. Fornece dados teóricos e habilidades práticas. Publicado pela primeira vez em 1948.

Algoritmo de pesquisa funcional

Para investigar uma função usando os métodos de cálculo diferencial, você deve seguir o algoritmo já fornecido:

1. Encontra o escopo de uma função.
2. Encontre as raízes da equação dada.
3. Calcule os extremos. Para fazer isso, calcule a derivada e os pontos onde ela é igual a zero.
4. Substitua o valor resultante na equação.

Variedades de equações diferenciais

controle de primeira ordem (caso contrário, diferencialcálculo de variável única) e seus tipos:

• Equação separável: f(y)dy=g(x)dx.
• As equações mais simples, ou cálculo diferencial de uma função de uma variável, com a fórmula: y'=f(x).
• DE linear não homogênea de primeira ordem: y'+P(x)y=Q(x).
• Equação diferencial de Bernoulli: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Equação com diferenciais totais: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Equações diferenciais de segunda ordem e seus tipos:

• Equação diferencial homogênea linear de segunda ordem com valores de coeficiente constantes: y +py'+qy=0 p, q pertence a R.
• Equação diferencial de segunda ordem não homogênea linear com coeficientes constantes: y +py'+qy=f(x).
• Equação diferencial homogênea linear: y +p(x)y'+q(x)y=0, e equação de segunda ordem não homogênea: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Equações diferenciais de ordem superior e seus tipos:

• Equação diferencial que pode ser reduzida na ordem: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Equação homogênea linear de ordem superior: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, e não homogênea: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Passos para resolver um problema com uma equação diferencial

Com a ajuda do controle remoto, não apenas questões matemáticas ou físicas são resolvidas, mas também vários problemas debiologia, economia, sociologia, etc. Apesar da grande variedade de tópicos, deve-se seguir uma única sequência lógica ao resolver tais problemas:

1. Compilação de controle remoto. Uma das etapas mais difíceis que exige a máxima precisão, pois qualquer erro levará a resultados completamente errados. Todos os fatores que influenciam o processo devem ser levados em consideração e as condições iniciais devem ser determinadas. Também deve ser baseado em fatos e conclusões lógicas.
2. Solução da equação formulada. Este processo é mais simples que o primeiro passo, pois requer apenas cálculos matemáticos rigorosos.
3. Análise e avaliação dos resultados. A solução derivada deve ser avaliada para estabelecer o valor prático e teórico do resultado.

Um exemplo de uso de equações diferenciais na medicina

O uso do controle remoto no campo da medicina ocorre na construção de um modelo matemático epidemiológico. Ao mesmo tempo, não se deve esquecer que essas equações também são encontradas na biologia e na química, que se aproximam da medicina, pois o estudo de várias populações biológicas e processos químicos no corpo humano desempenha um papel importante nela.

No exemplo acima de uma epidemia, podemos considerar a propagação da infecção em uma sociedade isolada. Os habitantes são divididos em três tipos:

• Infectados, número x(t), constituído por indivíduos, portadores da infecção, cada um dos quais é contagioso (o período de incubação é curto).
• O segundo tipo incluiindivíduos suscetíveis y(t) capazes de se infectarem através do contato com indivíduos infectados.
• A terceira espécie inclui indivíduos imunes z(t) que são imunes ou morreram devido a doença.

O número de indivíduos é constante, não levando em conta nascimentos, óbitos naturais e migração. Haverá duas hipóteses no núcleo.

A porcentagem de incidência em um determinado momento é x(t)y(t) (baseada na teoria de que o número de casos é proporcional ao número de interseções entre representantes doentes e suscetíveis, que no primeiro aproximação será proporcional a x(t)y(t)), em conexão com isso, o número de casos aumenta, e o número de suscetíveis diminui a uma taxa que é calculada pela fórmula ax(t)y(t) (a > 0).

O número de indivíduos imunes que se tornaram imunes ou morreram está aumentando a uma taxa proporcional ao número de casos, bx(t) (b > 0).

Como resultado, você pode fazer um sistema de equações levando em consideração todos os três indicadores e tirar conclusões com base nele.

Exemplo de economia

Cálculo diferencial é frequentemente usado em análise econômica. A principal tarefa na análise econômica é o estudo das quantidades da economia, que são escritas na forma de uma função. Isso é usado na solução de problemas como alterações na renda imediatamente após o aumento de impostos, introdução de impostos, alterações na receita da empresa quando o custo de produção muda, em que proporção os trabalhadores aposentados podem ser substituídos por novos equipamentos. Para resolver tais problemas, é necessárioconstrua uma função de conexão a partir das variáveis de entrada, que são então estudadas usando o cálculo diferencial.

Na esfera econômica, muitas vezes é necessário encontrar os indicadores mais ótimos: produtividade máxima do trabalho, a renda mais alta, os custos mais baixos e assim por diante. Cada um desses indicadores é uma função de um ou mais argumentos. Por exemplo, a produção pode ser vista como uma função dos insumos de trabalho e capital. Nesse sentido, encontrar um valor adequado pode ser reduzido a encontrar o máximo ou o mínimo de uma função a partir de uma ou mais variáveis.

Problemas desse tipo criam uma classe de problemas extremos no campo econômico, cuja solução requer cálculo diferencial. Quando um indicador econômico precisa ser minimizado ou maximizado em função de outro indicador, então no ponto de máximo, a razão entre o incremento da função e os argumentos tenderá a zero se o incremento do argumento tender a zero. Caso contrário, quando tal proporção tende a algum valor positivo ou negativo, o ponto especificado não é adequado, pois aumentando ou diminuindo o argumento, você pode alterar o valor dependente na direção necessária. Na terminologia do cálculo diferencial, isso significa que a condição necessária para o máximo de uma função é o valor zero de sua derivada.

Em economia, muitas vezes há problemas para encontrar o extremo de uma função com várias variáveis, porque os indicadores econômicos são compostos de muitos fatores. Perguntas como esta são boas.estudou-se na teoria das funções de várias variáveis, aplicando métodos de cálculo diferencial. Tais problemas incluem não apenas funções maximizadas e minimizadas, mas também restrições. Tais questões estão relacionadas à programação matemática e são resolvidas com a ajuda de métodos especialmente desenvolvidos, também baseados neste ramo da ciência.

Entre os métodos de cálculo diferencial usados em economia, uma seção importante é a análise marginal. Na esfera econômica, este termo refere-se a um conjunto de métodos para estudar indicadores variáveis e resultados ao alterar o volume de criação, consumo, com base na análise de seus indicadores marginais. O indicador limitante é a derivada ou derivada parcial com várias variáveis.

Cálculo diferencial de várias variáveis é um tópico importante no campo da análise matemática. Para um estudo detalhado, você pode usar vários livros didáticos para o ensino superior. Um dos mais famosos foi criado por Fikhtengolts - "Curso de cálculo diferencial e integral". Como o nome indica, as habilidades em trabalhar com integrais são de considerável importância para resolver equações diferenciais. Quando o cálculo diferencial de uma função de uma variável ocorre, a solução se torna mais simples. Embora, deve-se notar, está sujeito às mesmas regras básicas. Para estudar uma função na prática pelo cálculo diferencial, basta seguir o algoritmo já existente, que é dado no ensino médio e apenas um pouco complicado quando novos são introduzidos.variáveis.