A teoria das probabilidades é um ramo especial da matemática, que é estudado apenas por alunos de instituições de ensino superior. Você ama cálculos e fórmulas? Você não tem medo das perspectivas de conhecer a distribuição normal, a entropia do conjunto, a expectativa matemática e a variância de uma variável aleatória discreta? Então este assunto será de grande interesse para você. Vamos nos familiarizar com alguns dos conceitos básicos mais importantes desta seção da ciência.
Lembre-se do básico
Mesmo que você se lembre dos conceitos mais simples da teoria das probabilidades, não negligencie os primeiros parágrafos do artigo. O fato é que sem uma compreensão clara do básico, você não poderá trabalhar com as fórmulas discutidas abaixo.
Então, há algum evento aleatório, algum experimento. Como resultado das ações realizadas, podemos obter vários resultados - alguns mais comuns, outros menos comuns. A probabilidade de um evento é a razão entre o número de resultados realmente recebidos de um tipo e o número total de possíveis. Apenas conhecendo a definição clássica desse conceito, você pode começar a estudar a expectativa matemática e a variância devariáveis aleatórias.
média aritmética
Mesmo na escola, nas aulas de matemática, você começou a trabalhar com a média aritmética. Este conceito é amplamente utilizado na teoria das probabilidades e, portanto, não pode ser ignorado. O principal para nós no momento é que o encontraremos nas fórmulas para a expectativa matemática e variância de uma variável aleatória.
Temos uma sequência de números e queremos encontrar a média aritmética. Tudo o que é exigido de nós é somar tudo o que está disponível e dividir pelo número de elementos na sequência. Sejamos números de 1 a 9. A soma dos elementos será 45, e dividiremos esse valor por 9. Resposta: - 5.
Dispersão
Cientificamente falando, a variância é o quadrado médio dos desvios dos valores das características obtidas da média aritmética. Um é indicado por uma letra maiúscula D em latim. O que é necessário para calculá-lo? Para cada elemento da sequência, calculamos a diferença entre o número disponível e a média aritmética e elevamos ao quadrado. Haverá exatamente tantos valores quantos forem os resultados para o evento que estamos considerando. Em seguida, resumimos tudo o que recebemos e dividimos pelo número de elementos na sequência. Se tivermos cinco resultados possíveis, divida por cinco.
A dispersão também tem propriedades que você precisa lembrar para aplicá-la na resolução de problemas. Por exemplo, se a variável aleatória for aumentada em X vezes, a variância aumentará em X vezes o quadrado (ou seja, XX). Nunca é menor que zero e não depende dedeslocando valores por um valor igual para cima ou para baixo. Além disso, para tentativas independentes, a variância da soma é igual à soma das variâncias.
Agora definitivamente precisamos considerar exemplos da variância de uma variável aleatória discreta e a expectativa matemática.
Suponha que fizemos 21 experimentos e obtivemos 7 resultados diferentes. Observamos cada um deles, respectivamente, 1, 2, 2, 3, 4, 4 e 5 vezes. Qual será a variância?
Primeiro, vamos calcular a média aritmética: a soma dos elementos, claro, é 21. Divida por 7, obtendo 3. Agora subtraia 3 de cada número na sequência original, eleve cada valor ao quadrado e some os resultados juntos. Acontece 12. Agora nos resta dividir o número pelo número de elementos e, ao que parece, é tudo. Mas há um porém! Vamos discutir isso.
Dependência do número de experimentos
Acontece que ao calcular a variância, o denominador pode ser um de dois números: N ou N-1. Aqui N é o número de experimentos realizados ou o número de elementos na sequência (que, na verdade, é o mesmo). Do que depende?
Se o número de testes for medido em centenas, devemos colocar N no denominador. Se em unidades, então N-1. Os cientistas decidiram traçar a fronteira simbolicamente: hoje ela corre ao longo do número 30. Se fizermos menos de 30 experimentos, dividiremos a quantidade por N-1 e, se mais, então por N.
Tarefa
Voltemos ao nosso exemplo de resolução do problema de variância e expectativa. Nósrecebeu um número intermediário de 12, que teve que ser dividido por N ou N-1. Como realizamos 21 experimentos, menos de 30, escolheremos a segunda opção. Então a resposta é: a variância é 12 / 2=2.
Expectativa
Vamos passar para o segundo conceito, que devemos considerar neste artigo. A expectativa matemática é o resultado da soma de todos os resultados possíveis multiplicados pelas probabilidades correspondentes. É importante entender que o valor resultante, bem como o resultado do cálculo da variância, é obtido apenas uma vez para toda a tarefa, não importa quantos resultados sejam considerados.
A fórmula da expectativa é bem simples: pegamos um resultado, multiplicamos por sua probabilidade, somamos o mesmo para o segundo, terceiro resultado, etc. Tudo relacionado a esse conceito é fácil de calcular. Por exemplo, a soma das expectativas matemáticas é igual à expectativa matemática da soma. O mesmo vale para o trabalho. Nem toda quantidade na teoria das probabilidades permite que tais operações simples sejam realizadas. Vamos pegar uma tarefa e calcular o valor de dois conceitos que estudamos de uma só vez. Além disso, nos distraímos com a teoria - é hora de praticar.
Outro exemplo
Fizemos 50 tentativas e obtivemos 10 tipos de resultados - números de 0 a 9 - aparecendo em diferentes porcentagens. São eles, respectivamente: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Lembre-se que para obter as probabilidades, você precisa dividir os valores percentuais por 100. Assim, obtemos 0,02; 0, 1, etc Vamos representar para a variância de um aleatórioexemplo de valor e expectativa matemática para resolver o problema.
Calcule a média aritmética usando a fórmula que lembramos da escola primária: 50/10=5.
Agora vamos traduzir as probabilidades para o número de resultados "em pedaços" para facilitar a contagem. Obtemos 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 e 9. Subtraia a média aritmética de cada valor obtido, após o que elevamos ao quadrado cada um dos resultados obtidos. Veja como fazer isso usando o primeiro elemento como exemplo: 1 - 5=(-4). Além disso: (-4)(-4)=16. Para outros valores, faça você mesmo essas operações. Se você fez tudo certo, depois de adicionar todos os resultados intermediários, você obterá 90.
Continue calculando a variância e a média dividindo 90 por N. Por que escolhemos N e não N-1? Isso mesmo, porque o número de experimentos realizados ultrapassa 30. Então: 90/10=9. Obtemos a dispersão. Se você receber um número diferente, não se desespere. Muito provavelmente, você cometeu um erro banal nos cálculos. Verifique novamente o que você escreveu e tudo certamente se encaixará.
Finalmente, vamos relembrar a fórmula da expectativa. Não forneceremos todos os cálculos, apenas escreveremos a resposta com a qual você poderá verificar depois de concluir todos os procedimentos necessários. A expectativa será igual a 5, 48. Relembramos apenas como realizar as operações, usando o exemplo dos primeiros elementos: 00, 02 + 10, 1… e assim por diante. Como você pode ver, simplesmente multiplicamos o valor do resultado por sua probabilidade.
Desvio
Outro conceito intimamente relacionado à variância e valor esperado édesvio padrão. É denotado pelas letras latinas sd, ou pela minúscula grega "sigma". Esse conceito mostra como, em média, os valores se desviam do recurso central. Para encontrar seu valor, você precisa calcular a raiz quadrada da variância.
Se você construir um gráfico de uma distribuição normal e quiser ver o valor do desvio padrão diretamente nele, isso pode ser feito em várias etapas. Pegue a metade da imagem à esquerda ou à direita do modo (valor central), desenhe uma perpendicular ao eixo horizontal para que as áreas das figuras resultantes sejam iguais. O valor do segmento entre o meio da distribuição e a projeção resultante no eixo horizontal será o desvio padrão.
Software
Como você pode ver nas descrições das fórmulas e nos exemplos apresentados, calcular a variância e a expectativa matemática não é o procedimento mais fácil do ponto de vista aritmético. Para não perder tempo, faz sentido usar o programa usado no ensino superior - chama-se "R". Possui funções que permitem calcular valores para diversos conceitos da estatística e teoria das probabilidades.
Por exemplo, você define um vetor de valores. Isso é feito da seguinte forma: vetor <-c(1, 5, 2…). Agora, quando você precisa calcular alguns valores para esse vetor, você escreve uma função e a dá como argumento. Para encontrar a variância, você precisará usar o var. Um exemplo delauso: var(vetor). Em seguida, basta pressionar "enter" e obter o resultado.
Em conclusão
Variação e expectativa matemática são os conceitos básicos da teoria das probabilidades, sem os quais é difícil calcular qualquer coisa no futuro. No curso principal de palestras nas universidades, eles são considerados já nos primeiros meses de estudo do assunto. É precisamente por causa da f alta de compreensão desses conceitos simples e da incapacidade de calculá-los que muitos alunos começam imediatamente a ficar para trás no programa e depois recebem notas baixas no final da sessão, o que os priva de bolsas de estudo.
Pratique pelo menos uma semana durante meia hora por dia, resolvendo problemas semelhantes aos apresentados neste artigo. Então, em qualquer teste de teoria de probabilidade, você lidará com exemplos sem dicas estranhas e dicas.
