Geometria é um ramo da matemática que estuda as estruturas no espaço e a relação entre elas. Por sua vez, também é composto por seções, e uma delas é a estereometria. Prevê o estudo das propriedades de figuras volumétricas localizadas no espaço: um cubo, uma pirâmide, uma bola, um cone, um cilindro, etc.
Um cone é um corpo no espaço euclidiano que limita uma superfície cônica e um plano sobre o qual repousam as extremidades de seus geradores. Sua formação ocorre no processo de rotação de um triângulo retângulo em torno de qualquer um de seus catetos, portanto pertence aos corpos de revolução.
Componentes do cone
Os seguintes tipos de cones são distinguidos: oblíquos (ou oblíquos) e retos. Oblíqua é aquela cujo eixo cruza com o centro de sua base não em ângulo reto. Por esse motivo, a altura em tal cone não coincide com o eixo, pois é um segmento que desce do topo do corpo ao seu planobase a 90°.
Esse cone, cujo eixo é perpendicular à sua base, é chamado de cone reto. O eixo e a altura em tal corpo geométrico coincidem devido ao fato de que o vértice nele está localizado acima do centro do diâmetro da base.
O cone consiste nos seguintes elementos:
- O círculo que é sua base.
- Lado.
- Um ponto que não está no plano da base, chamado topo do cone.
- Segmentos que conectam os pontos do círculo da base do corpo geométrico e seu topo.
Todos esses segmentos são geratrizes do cone. Eles são inclinados à base do corpo geométrico e, no caso de um cone reto, suas projeções são iguais, pois o vértice é equidistante dos pontos do círculo de base. Assim, podemos concluir que em um cone regular (reto) os geradores são iguais, ou seja, têm o mesmo comprimento e formam os mesmos ângulos com o eixo (ou altura) e a base.
Como em um corpo de revolução oblíquo (ou inclinado) o vértice é deslocado em relação ao centro do plano de base, os geradores desse corpo têm comprimentos e projeções diferentes, pois cada um deles está a uma distância diferente de quaisquer dois pontos do círculo base. Além disso, os ângulos entre eles e a altura do cone também serão diferentes.
O comprimento dos geradores em um cone reto
Como escrito anteriormente, a altura em um corpo geométrico reto de revolução é perpendicular ao plano da base. Assim, a geratriz, a altura e o raio da base criam um triângulo retângulo no cone.
Ou seja, conhecendo o raio da base e a altura, usando a fórmula do teorema de Pitágoras, pode-se calcular o comprimento da geratriz, que será igual à soma dos quadrados do raio da base e altura:
l2 =r2+ h2 ou l=√r 2 + h2
onde l é uma geratriz;
r – raio;
h – altura.
Gerativo em cone oblíquo
Com base no fato de que em um cone oblíquo ou oblíquo os geradores não têm o mesmo comprimento, não será possível calculá-los sem construções e cálculos adicionais.
Primeiro de tudo, você precisa saber a altura, o comprimento do eixo e o raio da base.
Tendo esses dados, você pode calcular a parte do raio situada entre o eixo e a altura, usando a fórmula do teorema de Pitágoras:
r1=√k2 -h2
onde r1 é a parte do raio entre o eixo e a altura;
k – comprimento do eixo;
h – altura.
Como resultado da soma do raio (r) e sua parte situada entre o eixo e a altura (r1), você pode descobrir o lado inteiro da direita triângulo formado pela geratriz do cone, sua parte de altura e diâmetro:
R=r + r1
onde R é o cateto do triângulo formado pela altura, geratriz e parte do diâmetro da base;
r – raio da base;
r1 – parte do raio entre o eixo e a altura.
Usando a mesma fórmula do teorema de Pitágoras, você pode encontrar o comprimento da geratriz do cone:
l=√h2+ R2
ou, sem calcular R separadamente, combine as duas fórmulas em uma:
l=√h2 + (r + r1)2.
Apesar de ser um cone reto ou oblíquo e que tipo de dados de entrada, todos os métodos para encontrar o comprimento da geratriz sempre se resumem a um resultado - o uso do teorema de Pitágoras.
Seção de cone
Seção axial de um cone é um plano que passa ao longo de seu eixo ou altura. Em um cone reto, tal seção é um triângulo isósceles, em que a altura do triângulo é a altura do corpo, seus lados são os geradores e a base é o diâmetro da base. Em um corpo geométrico equilátero, a seção axial é um triângulo equilátero, pois neste cone o diâmetro da base e dos geradores são iguais.
O plano da seção axial em um cone reto é o plano de sua simetria. A razão disso é que seu topo está acima do centro de sua base, ou seja, o plano da seção axial divide o cone em duas partes idênticas.
Como a altura e o eixo não coincidem em um sólido inclinado, o plano da seção axial pode não incluir a altura. Se for possível construir um conjunto de seções axiais em tal cone, pois apenas uma condição deve ser observada para isso - deve passar apenas pelo eixo, então apenas uma seção axial do plano, que pertencerá à altura de este cone, pode ser desenhado, porque o número de condições aumenta, e, como se sabe, duas linhas (juntas) podem pertencer aapenas um avião.
Área da seção
A seção axial do cone mencionado anteriormente é um triângulo. Com base nisso, sua área pode ser calculada usando a fórmula para a área de um triângulo:
S=1/2dh ou S=1/22rh
onde S é a área da seção transversal;
d – diâmetro da base;
r – raio;
h – altura.
Em um cone oblíquo ou oblíquo, a seção ao longo do eixo também é um triângulo, então a área da seção transversal é calculada de forma semelhante.
Volume
Como um cone é uma figura tridimensional no espaço tridimensional, podemos calcular seu volume. O volume de um cone é um número que caracteriza esse corpo em uma unidade de volume, ou seja, em m3. O cálculo não depende de ser reto ou oblíquo (oblíquo), pois as fórmulas para esses dois tipos de corpos não diferem.
Como dito anteriormente, a formação de um cone reto ocorre devido à rotação de um triângulo retângulo ao longo de um de seus catetos. Um cone inclinado ou oblíquo é formado de maneira diferente, pois sua altura é deslocada do centro do plano de base do corpo. No entanto, tais diferenças na estrutura não afetam o método de cálculo de seu volume.
Cálculo de volume
A fórmula para o volume de qualquer cone é assim:
V=1/3πhr2
onde V é o volume do cone;
h – altura;
r – raio;
π - constante igual a 3, 14.
Para calcular o volume de um cone, você precisa ter dados sobre a altura e o raio da base do corpo.
Para calcular a altura de um corpo, você precisa saber o raio da base e o comprimento de sua geratriz. Como o raio, a altura e a geratriz são combinados em um triângulo retângulo, a altura pode ser calculada usando a fórmula do teorema de Pitágoras (a2+ b2=c 2 ou no nosso caso h2+ r2=l2 , onde l - geratriz). Neste caso, a altura será calculada extraindo a raiz quadrada da diferença entre os quadrados da hipotenusa e o outro cateto:
a=√c2-b2
Ou seja, a altura do cone será igual ao valor obtido após extrair a raiz quadrada da diferença entre o quadrado do comprimento da geratriz e o quadrado do raio da base:
h=√l2 -r2
Calculando a altura usando este método e conhecendo o raio de sua base, você pode calcular o volume do cone. Neste caso, a geratriz desempenha um papel importante, pois serve como elemento auxiliar nos cálculos.
Da mesma forma, se você conhece a altura do corpo e o comprimento de sua geratriz, pode encontrar o raio de sua base extraindo a raiz quadrada da diferença entre o quadrado da geratriz e o quadrado da altura:
r=√l2 -h2
Então, usando a mesma fórmula acima, calcule o volume do cone.
Volume do cone inclinado
Como a fórmula do volume de um cone é a mesma para todos os tipos de corpo de revolução, a diferença em seu cálculo é a busca pela altura.
Para saber a altura de um cone inclinado, os dados de entrada devem incluir o comprimento da geratriz, o raio da base e a distância entre o centrobase e a interseção da altura do corpo com o plano de sua base. Sabendo disso, você pode calcular facilmente aquela parte do diâmetro da base, que será a base de um triângulo retângulo (formado pela altura, a geratriz e o plano da base). Então, novamente usando o teorema de Pitágoras, calcule a altura do cone e, posteriormente, seu volume.
