Uma das figuras que ocorre ao resolver problemas geométricos no espaço é um cone. Ao contrário dos poliedros, pertence à classe das figuras de rotação. Vamos considerar no artigo o que isso significa em geometria e explorar as características de várias seções do cone.
Cone na geometria
Assuma que existe alguma curva no plano. Pode ser uma parábola, um círculo, uma elipse e assim por diante. Pegue um ponto que não pertença ao plano especificado e conecte todos os pontos da curva a ele. A superfície resultante é chamada de cone ou simplesmente cone.
Se a curva original for fechada, então a superfície cônica pode ser preenchida com matéria. A figura assim obtida é um corpo tridimensional. Também é chamado de cone. Vários cones de papel são mostrados abaixo.
A superfície cônica é encontrada na vida cotidiana. Por exemplo, uma casquinha de sorvete ou uma casquinha de trânsito listrada tem essa forma, projetada para atrair a atenção dos motoristas epedestres.
Tipos de cones
Como você pode imaginar, as figuras em consideração diferem umas das outras pelo tipo de curva em que são formadas. Por exemplo, há um cone redondo ou elíptico. Essa curva é chamada de base da figura. No entanto, a forma da base não é a única característica que permite a classificação dos cones.
A segunda característica importante é a posição da altura em relação à base. A altura de um cone é um segmento de reta, que desce do topo da figura até o plano da base e é perpendicular a este plano. Se a altura cruza a base no centro geométrico (por exemplo, no centro do círculo), o cone será reto, se o segmento perpendicular cair em qualquer outro ponto da base ou além dele, a figura será oblíquo.
No artigo, consideraremos apenas um cone redondo e reto como um representante brilhante da classe de figuras considerada.
Nomes geométricos de elementos de cone
Foi dito acima que o cone tem base. É limitado por um círculo, que é chamado de guia do cone. Os segmentos que conectam a guia a um ponto que não está no plano da base são chamados de geradores. O conjunto de todos os pontos dos geradores é chamado de superfície cônica ou lateral da figura. Para um cone redondo direito, todos os geradores têm o mesmo comprimento.
O ponto onde os geradores se cruzam é chamado de topo da figura. Ao contrário dos poliedros, um cone tem um único vértice e nenhumborda.
Uma linha reta que passa pelo topo da figura e pelo centro do círculo é chamada de eixo. O eixo contém a altura de um cone reto, de modo que forma um ângulo reto com o plano da base. Esta informação é importante no cálculo da área da seção axial do cone.
Cone reto redondo - figura de rotação
O cone considerado é uma figura bastante simétrica, que pode ser obtida como resultado da rotação do triângulo. Suponha que temos um triângulo com um ângulo reto. Para obter um cone, basta girar esse triângulo em torno de uma das pernas, conforme mostrado na figura abaixo.
Pode-se ver que o eixo de rotação é o eixo do cone. Uma das pernas será igual à altura da figura e a segunda perna se tornará o raio da base. A hipotenusa de um triângulo como resultado da rotação descreverá uma superfície cônica. Será a geratriz do cone.
Este método de obtenção de um cone reto redondo é conveniente para estudar a relação matemática entre os parâmetros lineares da figura: a altura h, o raio da base redonda r e a guia g. A fórmula correspondente segue das propriedades de um triângulo retângulo. Está listado abaixo:
g2=h2+ r2.
Como temos uma equação e três variáveis, isso significa que para definir de forma única os parâmetros de um cone redondo, você precisa conhecer duas quantidades quaisquer.
Seções de um cone por um plano que não contém o vértice da figura
A questão de construir seções de uma figura não étrivial. O fato é que a forma da seção do cone pela superfície depende da posição relativa da figura e da secante.
Assuma que cruzamos o cone com um plano. Qual será o resultado dessa operação geométrica? As opções de formato de seção são mostradas na figura abaixo.
A seção rosa é um círculo. É formado como resultado da intersecção da figura com um plano paralelo à base do cone. São seções perpendiculares ao eixo da figura. A figura formada acima do plano de corte é um cone semelhante ao original, mas com um círculo menor na base.
A seção verde é uma elipse. É obtido se o plano de corte não for paralelo à base, mas apenas interceptar a superfície lateral do cone. Uma figura cortada acima do plano é chamada de cone oblíquo elíptico.
As seções azul e laranja são parabólicas e hiperbólicas, respectivamente. Como você pode ver na figura, eles são obtidos se o plano de corte cruzar simultaneamente a superfície lateral e a base da figura.
Para determinar as áreas das seções do cone que foram consideradas, é necessário usar as fórmulas para a figura correspondente no plano. Por exemplo, para um círculo, este é o número Pi multiplicado pelo quadrado do raio, e para uma elipse, este é o produto de Pi e o comprimento dos semieixos menor e maior:
círculo: S=pir2;
elipse: S=piab.
Seções contendo o topo do cone
Agora considere as opções para seções que surgem se o plano de corte forpassar pelo topo do cone. Três casos são possíveis:
- A seção é um único ponto. Por exemplo, um plano que passa pelo vértice e paralelo à base dá exatamente essa seção.
- A seção é uma linha reta. Esta situação ocorre quando o plano é tangente a uma superfície cônica. A linha reta da seção neste caso será a geratriz do cone.
- Seção axial. É formado quando o plano contém não apenas o topo da figura, mas também todo o seu eixo. Neste caso, o plano será perpendicular à base redonda e dividirá o cone em duas partes iguais.
Obviamente, as áreas dos dois primeiros tipos de seções são iguais a zero. Quanto à área da seção transversal do cone para o 3º tipo, essa questão é discutida com mais detalhes no próximo parágrafo.
Seção axial
Observou-se acima que a seção axial de um cone é a figura formada quando o cone é interceptado por um plano que passa pelo seu eixo. É fácil adivinhar que esta seção representará a figura mostrada na figura abaixo.
Este é um triângulo isósceles. O vértice da seção axial do cone é o vértice desse triângulo, formado pela interseção de lados idênticos. Estes últimos são iguais ao comprimento da geratriz do cone. A base do triângulo é o diâmetro da base do cone.
Calcular a área da seção axial de um cone se reduz a encontrar a área do triângulo resultante. Se o raio da base r e a altura h do cone forem inicialmente conhecidos, então a área S da seção considerada será:
S=hr.
Issoa expressão é consequência da aplicação da fórmula padrão para a área de um triângulo (metade do produto da altura pela base).
Observe que se a geratriz de um cone é igual ao diâmetro de sua base redonda, então a seção axial do cone é um triângulo equilátero.
Uma seção triangular é formada quando o plano de corte é perpendicular à base do cone e passa pelo seu eixo. Qualquer outro plano paralelo ao mencionado dará uma hipérbole em seção. No entanto, se o plano contém o vértice do cone e intercepta sua base não através do diâmetro, a seção resultante também será um triângulo isósceles.
O problema de determinar os parâmetros lineares do cone
Vamos mostrar como usar a fórmula escrita para a área da seção axial para resolver um problema geométrico.
Sabe-se que a área da seção axial do cone é 100 cm2. O triângulo resultante é equilátero. Qual é a altura do cone e o raio de sua base?
Como o triângulo é equilátero, sua altura h está relacionada ao comprimento do lado a da seguinte forma:
h=√3/2a.
Dado que o lado do triângulo é o dobro do raio da base do cone, e substituindo esta expressão na fórmula da área da seção transversal, temos:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Então a altura do cone é:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Resta substituir o valor da área da condição do problemae obtenha a resposta:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
Em que áreas é importante conhecer os parâmetros das seções consideradas?
O estudo de vários tipos de seções de cone não é apenas de interesse teórico, mas também tem aplicações práticas.
Primeiro, deve-se notar a área da aerodinâmica, onde com a ajuda de seções cônicas é possível criar formas lisas ideais de corpos sólidos.
Em segundo lugar, as seções cônicas são trajetórias ao longo das quais objetos espaciais se movem em campos gravitacionais. Que tipo específico de seção representa a trajetória do movimento dos corpos cósmicos do sistema é determinado pela razão de suas massas, velocidades absolutas e distâncias entre eles.
