Georg Kantor (foto é dada mais adiante no artigo) é um matemático alemão que criou a teoria dos conjuntos e introduziu o conceito de números transfinitos, infinitamente grandes, mas diferentes entre si. Ele também definiu os números ordinais e cardinais e criou sua aritmética.
Georg Kantor: biografia curta
Nasceu em São Petersburgo em 1845-03-03. Seu pai era um dinamarquês de fé protestante, Georg-Valdemar Kantor, que se dedicava ao comércio, inclusive na bolsa de valores. Sua mãe Maria Bem era católica e vinha de uma família de músicos proeminentes. Quando o pai de Georg adoeceu em 1856, a família mudou-se primeiro para Wiesbaden e depois para Frankfurt em busca de um clima mais ameno. Os talentos matemáticos do menino apareceram antes mesmo de seu aniversário de 15 anos, enquanto estudava em escolas particulares e ginásios em Darmstadt e Wiesbaden. No final, Georg Cantor convenceu seu pai de sua firme intenção de se tornar um matemático, não um engenheiro.
Depois de um breve estudo na Universidade de Zurique, em 1863 Kantor transferiu-se para a Universidade de Berlim para estudar física, filosofia e matemática. Lá eleensinou:
- Karl Theodor Weierstrass, cuja especialização em análise provavelmente teve a maior influência sobre Georg;
- Ernst Eduard Kummer, que ensinou aritmética superior;
- Leopold Kronecker, teórico dos números que mais tarde se opôs a Cantor.
Depois de passar um semestre na Universidade de Göttingen em 1866, no ano seguinte Georg escreveu sua tese de doutorado intitulada "Na matemática, a arte de fazer perguntas é mais valiosa do que resolver problemas", sobre um problema que Carl Friedrich Gauss havia deixado sem solução em suas Disquisitiones Arithmeticae (1801). Depois de lecionar brevemente na Berlin School for Girls, Kantor começou a trabalhar na Universidade de Halle, onde permaneceu até o fim de sua vida, primeiro como professor, a partir de 1872 como professor assistente e a partir de 1879 como professor.
Pesquisa
No início de uma série de 10 artigos de 1869 a 1873, Georg Cantor considerou a teoria dos números. A obra refletia sua paixão pelo assunto, seus estudos de Gauss e a influência de Kronecker. Por sugestão de Heinrich Eduard Heine, colega de Cantor em Halle, que reconheceu seu talento matemático, ele se voltou para a teoria das séries trigonométricas, na qual expandiu o conceito de números reais.
Com base no trabalho sobre a função de uma variável complexa do matemático alemão Bernhard Riemann em 1854, em 1870 Kantor mostrou que tal função pode ser representada de apenas uma maneira - por séries trigonométricas. Consideração de um conjunto de números (pontos) quecontrariaria tal visão, levou-o, primeiramente, em 1872, à definição de números irracionais em termos de sequências convergentes de números racionais (frações de números inteiros) e, posteriormente, ao início dos trabalhos sobre a obra de sua vida, a teoria dos conjuntos e o conceito de números transfinitos.
Teoria dos Conjuntos
Georg Cantor, cuja teoria dos conjuntos se originou em correspondência com o matemático do Instituto Técnico de Braunschweig Richard Dedekind, era seu amigo desde a infância. Eles concluíram que conjuntos, sejam finitos ou infinitos, são coleções de elementos (por exemplo, números, {0, ±1, ±2…}) que possuem uma certa propriedade enquanto mantêm sua individualidade. Mas quando Georg Cantor usou uma correspondência de um para um (por exemplo, {A, B, C} para {1, 2, 3}) para estudar suas características, ele rapidamente percebeu que eles diferem em seu grau de associação, mesmo se fossem conjuntos infinitos., ou seja, conjuntos, uma parte ou subconjunto dos quais inclui tantos objetos quanto ele próprio. Seu método logo deu resultados surpreendentes.
Em 1873, Georg Cantor (matemático) mostrou que os números racionais, embora infinitos, são contáveis porque podem ser colocados em correspondência biunívoca com os números naturais (ou seja, 1, 2, 3, etc.). e.). Ele mostrou que o conjunto dos números reais, consistindo de irracionais e racionais, é infinito e incontável. Mais paradoxalmente, Cantor provou que o conjunto de todos os números algébricos contém tantos elementos quantoquantos são o conjunto de todos os inteiros, e que os números transcendentais, que não são algébricos, que são um subconjunto de números irracionais, são incontáveis e, portanto, seu número é maior que os inteiros, e devem ser considerados infinitos.
Oponentes e apoiadores
Mas o artigo de Kantor, no qual ele apresentou esses resultados pela primeira vez, não foi publicado em Krell, pois um dos revisores, Kronecker, se opôs veementemente. Mas após a intervenção de Dedekind, foi publicado em 1874 sob o título "Sobre as propriedades características de todos os números algébricos reais."
Ciência e vida privada
No mesmo ano, durante sua lua de mel com sua esposa Wally Gutman em Interlaken, Suíça, Kantor conheceu Dedekind, que falou favoravelmente de sua nova teoria. O salário de George era pequeno, mas com o dinheiro de seu pai, que morreu em 1863, ele construiu uma casa para sua esposa e cinco filhos. Muitos de seus trabalhos foram publicados na Suécia na nova revista Acta Mathematica, editada e fundada por Gesta Mittag-Leffler, que foi uma das primeiras a reconhecer o talento do matemático alemão.
Conexão com a metafísica
A teoria de Cantor tornou-se um assunto completamente novo de estudo sobre a matemática do infinito (por exemplo, séries 1, 2, 3, etc., e conjuntos mais complexos), que dependiam fortemente de correspondência um-para-um. O desenvolvimento de Kantor de novos métodos de encenaçãoquestões relativas à continuidade e ao infinito, deram à sua pesquisa um caráter ambíguo.
Quando ele argumentou que os números infinitos realmente existem, ele se voltou para a filosofia antiga e medieval sobre o infinito real e potencial, bem como para a educação religiosa inicial que seus pais lhe deram. Em 1883, em seu livro Fundamentos da Teoria Geral dos Conjuntos, Kantor combinou seu conceito com a metafísica de Platão.
Kronecker, que afirmava que apenas os inteiros “existem” (“Deus criou os inteiros, o resto é obra do homem”), por muitos anos rejeitou veementemente seu raciocínio e impediu sua nomeação na Universidade de Berlim.
Números transfinitos
Em 1895-97. Georg Cantor formou plenamente sua noção de continuidade e infinito, incluindo infinitos números ordinais e cardinais, em sua obra mais famosa, publicada como Contributions to the Establishment of the Theory of Transfinite Numbers (1915). Este ensaio contém seu conceito, ao qual ele foi levado ao demonstrar que um conjunto infinito pode ser colocado em correspondência biunívoca com um de seus subconjuntos.
Sob o número cardinal menos transfinito, ele quis dizer a cardinalidade de qualquer conjunto que pode ser colocado em correspondência biunívoca com números naturais. Cantor chamou de aleph-null. Grandes conjuntos transfinitos são denotados aleph-um, aleph-two, etc. Ele desenvolveu ainda mais a aritmética dos números transfinitos, que era análoga à aritmética finita. então eleenriqueceu o conceito de infinito.
A oposição que enfrentou e o tempo que levou para que suas ideias fossem totalmente aceitas se deve à dificuldade de reavaliar a antiga questão do que é um número. Cantor mostrou que o conjunto de pontos em uma linha tem uma cardinalidade maior que aleph-zero. Isso levou ao conhecido problema da hipótese do continuum - não há números cardinais entre aleph-zero e a potência dos pontos na linha. Este problema na primeira e segunda metade do século 20 despertou grande interesse e foi estudado por muitos matemáticos, incluindo Kurt Gödel e Paul Cohen.
Depressão
A biografia de Georg Kantor desde 1884 foi ofuscada por sua doença mental, mas ele continuou trabalhando ativamente. Em 1897, ele ajudou a realizar o primeiro congresso internacional de matemática em Zurique. Em parte porque Kronecker se opunha a ele, ele muitas vezes simpatizava com jovens aspirantes a matemáticos e procurava encontrar uma maneira de salvá-los do assédio de professores que se sentiam ameaçados por novas ideias.
Reconhecimento
Na virada do século, seu trabalho foi plenamente reconhecido como a base para a teoria, análise e topologia das funções. Além disso, os livros de Cantor Georg serviram de impulso para o desenvolvimento das escolas intuicionistas e formalistas dos fundamentos lógicos da matemática. Isso mudou significativamente o sistema de ensino e é frequentemente associado à "nova matemática".
Em 1911, Kantor estava entre os convidados paracelebração do 500º aniversário da Universidade de St. Andrews na Escócia. Ele foi lá na esperança de conhecer Bertrand Russell, que, em seu trabalho recém-publicado Principia Mathematica, repetidamente se referia ao matemático alemão, mas isso não aconteceu. A universidade concedeu a Kantor um diploma honorário, mas devido a uma doença ele não pôde aceitar o prêmio pessoalmente.
Kantor se aposentou em 1913, viveu na pobreza e passou fome durante a Primeira Guerra Mundial. As comemorações em homenagem ao seu 70º aniversário em 1915 foram canceladas devido à guerra, mas uma pequena cerimônia ocorreu em sua casa. Faleceu em 1918-06-01 em Halle, em um hospital psiquiátrico, onde passou os últimos anos de sua vida.
Georg Kantor: biografia. Família
9 de agosto de 1874, um matemático alemão casou-se com Wally Gutmann. O casal teve 4 filhos e 2 filhas. O último filho nasceu em 1886 em uma nova casa comprada por Kantor. A herança de seu pai o ajudou a sustentar sua família. A saúde de Kantor foi muito afetada pela morte de seu filho mais novo em 1899, e a depressão não o deixou desde então.
