Estatística matemática é uma metodologia que permite tomar decisões informadas diante de condições incertas. O estudo de métodos para coletar e sistematizar dados, processar os resultados finais de experimentos e experimentos com aleatoriedade em massa e descobrir quaisquer padrões é o que esse ramo da matemática faz. Considere os conceitos básicos de estatística matemática.
Diferença com a teoria da probabilidade
Métodos de estatística matemática se cruzam estreitamente com a teoria da probabilidade. Ambos os ramos da matemática lidam com o estudo de numerosos fenômenos aleatórios. As duas disciplinas estão conectadas por teoremas de limite. No entanto, há uma grande diferença entre essas ciências. Se a teoria da probabilidade determina as características de um processo no mundo real com base em um modelo matemático, então a estatística matemática faz o oposto - ela define as propriedades do modelo paracom base em informações observadas.
Passos
A aplicação da estatística matemática só pode ser feita em relação a eventos ou processos aleatórios, ou melhor, a dados obtidos a partir de sua observação. E isso acontece em várias etapas. Primeiro, os dados de experimentos e experimentos passam por um certo processamento. Eles são ordenados para maior clareza e facilidade de análise. Em seguida, é feita uma estimativa exata ou aproximada dos parâmetros necessários do processo aleatório observado. Podem ser:
- avaliação da probabilidade de um evento (sua probabilidade é inicialmente desconhecida);
- estudando o comportamento de uma função de distribuição indefinida;
- estimativa de expectativa;
- estimativa de variância
- etc.
A terceira etapa é a verificação de quaisquer hipóteses estabelecidas antes da análise, ou seja, obter uma resposta à questão de como os resultados dos experimentos correspondem aos cálculos teóricos. Na verdade, este é o estágio principal da estatística matemática. Um exemplo seria considerar se o comportamento de um processo aleatório observado está dentro da distribuição normal.
População
Os conceitos básicos da estatística matemática incluem populações gerais e amostrais. Esta disciplina está preocupada com o estudo de um conjunto de certos objetos em relação a alguma propriedade. Um exemplo é o trabalho de um taxista. Considere estas variáveis aleatórias:
- carga ou número de clientes: por dia, antes do almoço, depois do almoço, …;
- tempo médio de viagem;
- número de inscrições recebidas ou seus anexos a distritos da cidade e muito mais.
Vale notar também que é possível estudar um conjunto de processos aleatórios semelhantes, que também será uma variável aleatória que pode ser observada.
Então, nos métodos de estatística matemática, todo o conjunto de objetos em estudo ou os resultados de várias observações que são realizadas sob as mesmas condições em um determinado objeto é chamado de população geral. Em outras palavras, matematicamente mais estritamente, é uma variável aleatória que é definida no espaço de eventos elementares, com uma classe de subconjuntos designados nele, cujos elementos têm uma probabilidade conhecida.
População da amostra
Há casos em que é impossível ou impraticável por algum motivo (custo, tempo) realizar um estudo contínuo para estudar cada objeto. Por exemplo, abrir cada pote de geléia lacrada para verificar sua qualidade é uma decisão duvidosa, e tentar estimar a trajetória de cada molécula de ar em um metro cúbico é impossível. Nesses casos, o método de observação seletiva é usado: um certo número de objetos é selecionado (geralmente aleatoriamente) da população geral e são submetidos à sua análise.
Esses conceitos podem parecer complicados no início. Portanto, para entender completamente o tópico, você precisa estudar o livro didático de V. E. Gmurman "Teoria da Probabilidade e Estatística Matemática". Assim, um conjunto de amostragem ou amostra é uma série de objetos selecionados aleatoriamente do conjunto geral. Em termos matemáticos estritos, esta é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas, para cada uma das quais a distribuição coincide com a indicada para a variável aleatória geral.
Conceitos básicos
Vamos considerar brevemente uma série de outros conceitos básicos de estatística matemática. O número de objetos na população geral ou amostra é chamado de volume. Os valores da amostra que são obtidos durante o experimento são chamados de realização da amostra. Para que uma estimativa da população geral com base em uma amostra seja confiável, é importante ter uma amostra chamada representativa ou representativa. Isso significa que a amostra deve representar totalmente a população. Isso só pode ser alcançado se todos os elementos da população tiverem a mesma probabilidade de estar na amostra.
As amostras distinguem entre retorno e não retorno. No primeiro caso, no conteúdo da amostra, o elemento repetido é devolvido ao conjunto geral, no segundo caso, não. Normalmente, na prática, utiliza-se a amostragem sem reposição. Deve-se notar também que o tamanho da população geral sempre excede significativamente o tamanho da amostra. Existirmuitas opções para o processo de amostragem:
- simples - os itens são selecionados aleatoriamente um de cada vez;
- typed - a população geral é dividida em tipos, e uma escolha é feita de cada um; um exemplo é uma pesquisa com moradores: homens e mulheres separadamente;
- mecânico - por exemplo, selecione cada 10º elemento;
- serial - a seleção é feita em série de elementos.
Distribuição estatística
Segundo Gmurman, a teoria das probabilidades e a estatística matemática são disciplinas extremamente importantes no mundo científico, principalmente na sua parte prática. Considere a distribuição estatística da amostra.
Suponha que temos um grupo de alunos que foram testados em matemática. Como resultado, temos um conjunto de estimativas: 5, 3, 1, 4, 3, 4, 2, 5, 4, 4, 5 - este é nosso principal material estatístico.
Primeiro de tudo, precisamos ordená-lo, ou realizar uma operação de classificação: 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 - e assim obter uma série variacional. O número de repetições de cada uma das avaliações é chamado de frequência de avaliação, e sua relação com o tamanho da amostra é chamada de frequência relativa. Vamos fazer uma tabela da distribuição estatística da amostra, ou apenas uma série estatística:
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1 | 1 | 2 | 4 | 3 |
ou
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1/11 | 1/11 | 2/11 | 4/11 | 3/11 |
Vamos ter uma variável aleatória na qual vamos realizar uma série de experimentos e ver qual valor essa variável assume. Suponha que ela tenha tomado o valor a1 - m1 vezes; a2 - m2 vezes, etc. O tamanho desta amostra será m1 + … + mk=m. O conjunto ai, onde i varia de 1 a k, é uma série estatística.
Distribuição de intervalos
No livro de VE Gmurman "Teoria das Probabilidades e Estatísticas Matemáticas" também é apresentada uma série estatística intervalar. Sua compilação é possível quando o valor do recurso em estudo é contínuo em um determinado intervalo, e o número de valores é grande. Considere um grupo de alunos, ou melhor, sua altura: 163, 180, 185, 172, 161, 171, 189, 157, 165, 174, 180, 181, 175, 182, 167, 159, 173, 171, 164, 179, 160, 180, 166, 178, 156, 180, 189, 173, 174, 175 - 30 alunos no total. Obviamente, a altura de uma pessoa é um valor contínuo. Precisamos definir o passo de intervalo. Para isso, é utilizada a fórmula de Sturges.
| h= | max - min | = | 190 - 156 | = | 33 | = | 5, 59 |
| 1+log2m | 1+log230 | 5, 9 |
Assim, o valor de 6 pode ser tomado como o tamanho do intervalo. Deve-se dizer também que o valor 1+log2m é a fórmula paradeterminar o número de intervalos (claro, com arredondamento). Assim, de acordo com as fórmulas, são obtidos 6 intervalos, cada um com tamanho 6. E o primeiro valor do intervalo inicial será o número determinado pela fórmula: min - h / 2=156 - 6/2=153. Vamos fazer uma tabela que conterá os intervalos e o número de alunos cujo crescimento caiu dentro de um determinado intervalo.
| H | [153; 159) | [159; 165) | [165; 171) | [171; 177) | [177; 183) | [183; 189) |
| P | 2 | 5 | 3 | 9 | 8 | 3 |
| P | 0, 06 | 0, 17 | 0, 1 | 0, 3 | 0, 27 | 0, 1 |
Claro, isso não é tudo, porque há muito mais fórmulas em estatística matemática. Consideramos apenas alguns conceitos básicos.
Cronograma de distribuição
Os conceitos básicos de estatística matemática também incluem uma representação gráfica da distribuição, que se distingue pela clareza. Existem dois tipos de gráficos: polígono e histograma. O primeiro é usado para uma série estatística discreta. E para distribuição contínua, respectivamente, a segunda.
