A capacidade de trabalhar com expressões numéricas contendo uma raiz quadrada é necessária para a solução bem sucedida de uma série de problemas do OGE e do USE. Nesses exames, geralmente é suficiente uma compreensão básica do que é a extração de raiz e como ela é feita na prática.
Definição
A n-ésima raiz de um número X é um número x para o qual a igualdade é verdadeira: xn =X.
Encontrar o valor de uma expressão com uma raiz significa encontrar x dado X e n.
A raiz quadrada ou, que é o mesmo, a segunda raiz de X - o número x para o qual a igualdade é satisfeita: x2 =X.
Designação: ∛Х. Aqui 3 é o grau da raiz, X é a expressão da raiz. O sinal '√' é frequentemente chamado de radical.
Se o número acima da raiz não indicar o grau, então o padrão é o grau de 2.
Em um curso escolar para graus pares, raízes negativas e expressões radicais geralmente não são consideradas. Por exemplo, não há√-2, e para a expressão √4, a resposta correta é 2, apesar do fato de que (-2)2 também é igual a 4.
Racionalidade e irracionalidade de raízes
A tarefa mais simples possível com uma raiz é encontrar o valor de uma expressão ou testá-la quanto à racionalidade.
Por exemplo, calcule os valores √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5 porque 52 =25;
- ∛8=2 porque 23 =8;
- ∛ - 125=-5 desde (-5)3 =-125.
As respostas nos exemplos dados são números racionais.
Ao trabalhar com expressões que não contenham constantes e variáveis literais, recomenda-se sempre realizar tal verificação usando a operação inversa de elevar a uma potência natural. Encontrar o número x elevado à enésima potência é equivalente a calcular o produto de n fatores de x.
Existem muitas expressões com raiz, cujo valor é irracional, ou seja, escrito como uma fração não periódica infinita.
Por definição, racionais são aqueles que podem ser expressos como uma fração comum, e irracionais são todos os outros números reais.
Incluem √24, √0, 1, √101.
Se o livro de problemas diz: encontre o valor da expressão com raiz de 2, 3, 5, 6, 7, etc., ou seja, daqueles números naturais que não estão contidos na tabela de quadrados, então a resposta correta é √ 2 pode estar presente (salvo indicação em contrário).
Avaliação
Em problemas comuma resposta aberta, se for impossível encontrar o valor de uma expressão com raiz e escrevê-la como um número racional, o resultado deve ser deixado como um radical.
Algumas tarefas podem exigir avaliação. Por exemplo, compare 6 e √37. A solução requer o quadrado de ambos os números e a comparação dos resultados. De dois números, aquele cujo quadrado é maior é maior. Esta regra funciona para todos os números positivos:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- significa √37 > 6.
Da mesma forma, resolvem-se problemas em que vários números devem ser dispostos em ordem crescente ou decrescente.
Exemplo: Organize 5, √6, √48, √√64 em ordem crescente.
Após a quadratura, temos: 25, 6, 48, √64. Pode-se elevar ao quadrado todos os números novamente para compará-los com √64, mas é igual ao número racional 8. 6 < 8 < 25 < 48, então a solução é: 48.
Simplificando a expressão
Acontece que é impossível encontrar o valor de uma expressão com raiz, por isso deve ser simplificada. A fórmula a seguir ajuda nisso:
√ab=√a√b.
A raiz do produto de dois números é igual ao produto de suas raízes. Esta operação também exigirá a capacidade de fatorar um número.
Na fase inicial, para agilizar o trabalho, é recomendável ter à mão uma tabela de números primos e quadrados. Essas tabelas com frequênciauso no futuro será lembrado.
Por exemplo, √242 é um número irracional, você pode convertê-lo assim:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Geralmente o resultado é escrito como 11√2 (leia-se: onze raízes de dois).
Se for difícil ver imediatamente em quais dois fatores um número precisa ser decomposto para que uma raiz natural possa ser extraída de um deles, você pode usar a decomposição completa em fatores primos. Se o mesmo número primo ocorrer duas vezes na expansão, ele é retirado do sinal da raiz. Quando há muitos fatores, você pode extrair a raiz em várias etapas.
Exemplo: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). O número 2 ocorre na expansão 2 vezes (na verdade, mais de duas vezes, mas ainda estamos interessados nas duas primeiras ocorrências da expansão).
Retiramos do sinal da raiz:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Repita a mesma ação:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).
Na expressão radical restante, 2 e 3 ocorrem uma vez, então resta tirar o fator 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
e realize operações aritméticas:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Então, obtemos √2400=20√6.
Se a tarefa não declarar explicitamente: "encontre o valor da expressão com uma raiz quadrada", então a escolha,de que forma deixar a resposta (se extrair a raiz do radical) fica com o aluno e pode depender do problema a ser resolvido.
A princípio, altas exigências são colocadas no desenho das tarefas, no cálculo, inclusive oral ou escrito, sem o uso de meios técnicos.
Somente depois de um bom domínio das regras para trabalhar com expressões numéricas irracionais, faz sentido passar para expressões literais mais difíceis e resolver equações irracionais e calcular o intervalo de valores possíveis da expressão sob o radical.
Os alunos encontram esse tipo de problema no Exame Estadual Unificado em matemática, bem como no primeiro ano de universidades especializadas ao estudar análise matemática e disciplinas afins.
