Propriedades e métodos para encontrar as raízes de uma equação quadrática

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2023-12-17 05:39

O mundo está organizado de tal forma que a solução de um grande número de problemas se resume a encontrar as raízes de uma equação quadrática. As raízes das equações são importantes para descrever vários padrões. Isso era conhecido até mesmo pelos agrimensores da antiga Babilônia. Astrônomos e engenheiros também foram forçados a resolver esses problemas. No século VI dC, o cientista indiano Aryabhata desenvolveu o básico para encontrar as raízes de uma equação quadrática. As fórmulas foram concluídas no século 19.

Conceitos gerais

Convidamos você a se familiarizar com as regularidades básicas das igualdades quadráticas. Em geral, a igualdade pode ser escrita da seguinte forma:

ax2 + bx + c=0, O número de raízes de uma equação quadrática pode ser igual a um ou dois. Uma análise rápida pode ser feita usando o conceito de discriminante:

D=b2 - 4ac

Dependendo do valor calculado, obtemos:

• Quando D > 0 existem duas raízes diferentes. A fórmula geral para determinar as raízes de uma equação quadrática se parece com (-b± √D) / (2a).
• D=0, neste caso a raiz é um e corresponde ao valor x=-b / (2a)
• D < 0, para um valor negativo do discriminante, não há solução para a equação.

Nota: se o discriminante for negativo, a equação não tem raízes apenas na região dos números reais. Se a álgebra for estendida ao conceito de raízes complexas, então a equação tem solução.

Vamos dar uma cadeia de ações que confirma a fórmula para encontrar raízes.

Da forma geral da equação, segue:

ax2 + bx=-c

Multiplicamos as partes direita e esquerda por 4a e somamos b2, obtemos

4a²x² + 4abx + b² =-4ac+b ²

Transforme o lado esquerdo no quadrado do polinômio (2ax + b)². Extraímos a raiz quadrada de ambos os lados da equação 2ax + b=-b ± √(-4ac + b^{2), transferimos o coeficiente b para o lado direito, obtemos:}

2ax=-b ± √(-4ac + b2)

Daqui segue:

x=(-b ± √(b2 - 4ac))

O que era necessário para mostrar.

Caso especial

Em alguns casos, a solução do problema pode ser simplificada. Então, para um coeficiente par b, obtemos uma fórmula mais simples.

Denote k=1/2b, então a fórmula da forma geral das raízes da equação quadrática assume a forma:

x=(-k ± √(k2 -ac)) / a

Quando D=0, obtemos x=-k / a

Outro caso especial é a solução da equação com a=1.

Para a forma x² + bx + c=0 as raízes serão x=-k ± √(k^{2 - c) com discriminante maior que 0. Para o caso em que D=0, a raiz será determinada por uma fórmula simples: x=-k.}

Usar gráficos

Qualquer pessoa, mesmo sem saber, se depara constantemente com fenômenos físicos, químicos, biológicos e até sociais que são bem descritos por uma função quadrática.

Nota: a curva construída com base em uma função quadrática é chamada de parábola.

Aqui estão alguns exemplos.

1. No cálculo da trajetória de um projétil, utiliza-se a propriedade do movimento ao longo de uma parábola de um corpo disparado em um ângulo em relação ao horizonte.
2. A propriedade de uma parábola para distribuir uniformemente a carga é amplamente utilizada na arquitetura.

Compreendendo a importância da função parabólica, vamos descobrir como usar o gráfico para explorar suas propriedades, usando os conceitos de "discriminante" e "raízes de uma equação quadrática".

Dependendo do valor dos coeficientes a e b, existem apenas seis opções para a posição da curva:

1. O discriminante é positivo, a e b têm sinais diferentes. Os ramos da parábola olham para cima, a equação quadrática tem duas soluções.
2. Discriminante e coeficiente b são iguais a zero, coeficiente a é maior que zero. O gráfico está na zona positiva, a equação tem 1 raiz.
3. O discriminante e todos os coeficientes são positivos. A equação quadrática não tem solução.
4. Discriminante e coeficiente a são negativos, b é maior que zero. Os ramos do gráfico são direcionados para baixo, a equação tem duas raízes.
5. Discriminante ecoeficiente b são iguais a zero, coeficiente a é negativo. A parábola olha para baixo, a equação tem uma raiz.
6. Os valores do discriminante e todos os coeficientes são negativos. Não há soluções, os valores da função estão completamente na zona negativa.

Nota: a opção a=0 não é considerada, pois neste caso a parábola degenera em uma linha reta.

Todos os itens acima são bem ilustrados pela figura abaixo.

Exemplos de resolução de problemas

Condição: usando as propriedades gerais, faça uma equação quadrática cujas raízes sejam iguais entre si.

Solução:

de acordo com a condição do problema x₁ =x₂, ou -b + √(b^{2- 4ac) / (2a)=-b + √(b}2 ^{- 4ac) / (2a). Simplificando a notação:}

-b + √(b² - 4ac) / (2a) - (-b - √(b² - 4ac) / (2a))=0, abra os colchetes e dê termos semelhantes. A equação se torna 2√(b² - 4ac)=0. Esta afirmação é verdadeira quando b² - 4ac=0, portanto b ^{2=4ac, então o valor b=2√(ac) é substituído na equação}

ax² + 2√(ac)x + c=0, na forma reduzida obtemos x^{2 + 2√(c/a)x + c=0.}

Resposta:

para a diferente de 0 e qualquer c, existe apenas uma solução se b=2√(c / a).

As equações quádricas, por toda a sua simplicidade, são de grande importância nos cálculos de engenharia. Quase qualquer processo físico pode ser descrito com alguma aproximação usandofunções de potência de ordem n. A equação quadrática será a primeira dessas aproximações.