O estudo das funções e seus gráficos é um tema que recebe atenção especial no âmbito do currículo do ensino médio. Algumas noções básicas de análise matemática - diferenciação - estão incluídas no nível de perfil do exame em matemática. Alguns alunos têm problemas com este tópico, pois confundem os gráficos da função e da derivada, e também esquecem os algoritmos. Este artigo abordará os principais tipos de tarefas e como resolvê-las.
Qual é o valor da função?
Uma função matemática é uma equação especial. Estabelece uma relação entre os números. A função depende do valor do argumento.
O valor da função é calculado de acordo com a fórmula fornecida. Para isso, substitua qualquer argumento que corresponda ao intervalo de valores válidos nesta fórmula no lugar de x e realize as operações matemáticas necessárias. O quê?
Como você pode encontrar o menor valor de uma função,usando uma função gráfica?
A representação gráfica da dependência de uma função em um argumento é chamada de gráfico de função. Ele é construído em um plano com um determinado segmento de unidade, onde o valor de uma variável ou argumento é plotado ao longo do eixo horizontal das abcissas e o valor da função correspondente ao longo do eixo das ordenadas verticais.
Quanto maior o valor do argumento, mais à direita ele fica no gráfico. E quanto maior o valor da própria função, maior o ponto.
O que isso diz? O menor valor da função será o ponto mais baixo do gráfico. Para encontrá-lo em um segmento do gráfico, você precisa de:
1) Encontre e marque as extremidades deste segmento.
2) Determine visualmente qual ponto neste segmento está mais baixo.
3) Em resposta, anote seu valor numérico, que pode ser determinado projetando um ponto no eixo y.
Pontos extremos no gráfico de derivativos. Onde procurar?
No entanto, ao resolver problemas, às vezes é dado um gráfico não de uma função, mas de sua derivada. Para evitar cometer um erro estúpido acidentalmente, é melhor ler atentamente as condições, pois depende de onde você precisa procurar pontos extremos.
Então, a derivada é a taxa instantânea de aumento da função. De acordo com a definição geométrica, a derivada corresponde à inclinação da tangente, que é traçada diretamente ao ponto dado.
Sabe-se que nos pontos extremos a tangente é paralela ao eixo Ox. Isso significa que sua inclinação é 0.
Disso podemos concluir que nos pontos extremos a derivada está no eixo x ou é nula. Mas, além disso, nesses pontos, a função muda de direção. Ou seja, após um período de aumento, começa a diminuir e a derivada, consequentemente, muda de positiva para negativa. Ou vice-versa.
Se a derivada se tornar negativa de positiva, este é o ponto máximo. Se de negativo se torna positivo - o ponto mínimo.
Importante: se você precisar especificar um ponto mínimo ou máximo na tarefa, então em resposta você deve escrever o valor correspondente ao longo do eixo de abcissas. Mas se você precisar encontrar o valor da função, primeiro precisará substituir o valor correspondente do argumento na função e calculá-lo.
Como encontrar pontos extremos usando derivada?
Os exemplos considerados referem-se principalmente à tarefa número 7 do exame, que envolve trabalhar com um gráfico de uma derivada ou uma antiderivada. Mas a tarefa 12 do USE - encontrar o menor valor de uma função em um segmento (às vezes o maior) - é realizada sem nenhum desenho e requer habilidades básicas em análise matemática.
Para realizá-lo, você precisa encontrar pontos extremos usando a derivada. O algoritmo para encontrá-los é o seguinte:
- Encontra a derivada de uma função.
- Defina como zero.
- Encontre as raízes da equação.
- Verifique se os pontos obtidos são extremos ou de inflexão.
Para fazer isso, desenhe um diagrama eos intervalos resultantes determinam os sinais da derivada substituindo os números pertencentes aos segmentos na derivada. Se, ao resolver a equação, obtiver raízes de dupla multiplicidade, estes são pontos de inflexão.
Aplicando os teoremas, determine quais pontos são mínimos e quais são máximos
Calcule o menor valor de uma função usando uma derivada
No entanto, tendo realizado todas essas ações, encontraremos os valores dos pontos mínimo e máximo ao longo do eixo x. Mas como encontrar o menor valor de uma função em um segmento?
O que precisa ser feito para encontrar o número que corresponde à função em um determinado ponto? Você precisa substituir o valor do argumento nesta fórmula.
Os pontos de mínimo e máximo correspondem ao menor e ao maior valor da função no segmento. Então, para encontrar o valor da função, você precisa calcular a função usando os valores x obtidos.
Importante! Se a tarefa exigir que você especifique um ponto mínimo ou máximo, em resposta, você deve escrever o valor correspondente ao longo do eixo x. Mas se você precisar encontrar o valor da função, você deve primeiro substituir o valor correspondente do argumento na função e realizar as operações matemáticas necessárias.
O que devo fazer se não houver mínimos neste segmento?
Mas como encontrar o menor valor de uma função em um segmento sem pontos extremos?
Isso significa que a função diminui ou aumenta monotonicamente sobre ela. Então você precisa substituir o valor dos pontos extremos deste segmento na função. Existem duas maneiras.
1) Tendo calculadoderivada e os intervalos em que ela é positiva ou negativa, para concluir se a função é decrescente ou crescente em um determinado segmento.
De acordo com eles, substitua um valor maior ou menor do argumento na função.
2) Simplesmente substitua ambos os pontos na função e compare os valores resultantes da função.
Em quais tarefas encontrar a derivada é opcional
Como regra, nas atribuições USE, você ainda precisa encontrar a derivada. Existem apenas algumas exceções.
1) Parábola.
O vértice da parábola é encontrado pela fórmula.
Se a < 0, então os ramos da parábola são direcionados para baixo. E seu pico é o ponto máximo.
Se a > 0, então os ramos da parábola são direcionados para cima, o vértice é o ponto mínimo.
Tendo calculado o ponto do vértice da parábola, você deve substituir seu valor na função e calcular o valor correspondente da função.
2) Função y=tg x. Ou y=ctg x.
Estas funções são monotonicamente crescentes. Portanto, quanto maior o valor do argumento, maior o valor da própria função. A seguir, veremos como encontrar o maior e o menor valor de uma função em um segmento com exemplos.
Principais tipos de tarefas
Tarefa: o maior ou menor valor da função. Exemplo no gráfico.
Na figura você vê o gráfico da derivada da função f(x) no intervalo [-6; 6]. Em que ponto do segmento [-3; 3] f(x) assume o menor valor?
Então, para começar, você deve selecionar o segmento especificado. Nela, a função assume uma vez o valor zero e muda de sinal - este é o ponto extremo. Como a derivada do negativo se torna positiva, significa que este é o ponto mínimo da função. Este ponto corresponde ao valor do argumento 2.
Resposta: 2.
Continue olhando os exemplos. Tarefa: encontre o maior e o menor valor da função no segmento.
Encontre o menor valor da função y=(x - 8) ex-7 no intervalo [6; 8].
1. Obtenha a derivada de uma função complexa.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Iguale a derivada resultante a zero e resolva a equação.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, ou ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, sem raízes
3. Substitua o valor dos pontos extremos na função, bem como as raízes obtidas da equação.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Resposta: -1.
Então, neste artigo, a teoria principal foi considerada sobre como encontrar o menor valor de uma função em um segmento, o que é necessário para resolver com sucesso tarefas USE em matemática especializada. Também elementos de matemáticaanálises são usadas ao resolver tarefas da parte C do exame, mas obviamente elas representam um nível diferente de complexidade, e os algoritmos para suas soluções são difíceis de encaixar na estrutura de um material.
