Polynomial, ou polinômio - uma das estruturas algébricas básicas, que se encontra na escola e na matemática superior. O estudo de um polinômio é o tópico mais importante em um curso de álgebra, pois, por um lado, os polinômios são bastante simples em comparação com outros tipos de funções e, por outro, são amplamente utilizados na resolução de problemas de análise matemática. Então, o que é um polinômio?
Definição
A definição do termo polinômio pode ser dada através do conceito de monômio, ou monômio.
Um monômio é uma expressão da forma cx1i1x2 i2 …x in. Aqui с é uma constante, x1, x2, … x - variáveis, i1, i2, … em - expoentes de variáveis. Então um polinômio é qualquer soma finita de monômios.
Para entender o que é um polinômio, você pode ver exemplos específicos.
O trinômio quadrado, discutido em detalhes no curso de matemática da 8ª série, é um polinômio: ax2+bx+c.
Um polinômio com duas variáveis pode ficar assim: x2-xy+y2. Talum polinômio também é chamado de quadrado incompleto da diferença entre x e y.
Classificações polinomiais
Grau polinomial
Para cada monômio no polinômio, encontre a soma dos expoentes i1+i2+…+in. A maior das somas é chamada de expoente do polinômio, e o monômio correspondente a essa soma é chamado de termo mais alto.
A propósito, qualquer constante pode ser considerada um polinômio de grau zero.
Polinômios reduzidos e não reduzidos
Se o coeficiente c for igual a 1 para o termo mais alto, então o polinômio é dado, caso contrário não é.
Por exemplo, a expressão x2+2x+1 é um polinômio reduzido e 2x2+2x+1 não é reduzido.
Polinômios homogêneos e não homogêneos
Se os graus de todos os membros de um polinômio são iguais, então dizemos que tal polinômio é homogêneo. Todos os outros polinômios são considerados não homogêneos.
Polinômios homogêneos: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterogêneo: x+1, x2+y.
Existem nomes especiais para um polinômio de dois e três termos: binomial e trinômio, respectivamente.
Os polinômios de uma variável são alocados em uma categoria separada.
Aplicação de um polinômio de uma variável
Polinômios de uma variável aproximam funções bem contínuas de complexidade variável a partir de um argumento.
O fato é que tais polinômios podem ser considerados como somas parciais de uma série de potências, e uma função contínua pode ser representada como uma série com um erro arbitrariamente pequeno. As séries de expansão de uma função são chamadas de séries de Taylor, e suassomas parciais na forma de polinômios - polinômios de Taylor.
Estudar graficamente o comportamento de uma função aproximando-a com algum polinômio é muitas vezes mais fácil do que investigar a mesma função diretamente ou usando uma série.
É fácil procurar derivadas de polinômios. Para encontrar as raízes de polinômios de grau 4 e abaixo, existem fórmulas prontas e, para trabalhar com graus mais altos, são usados algoritmos aproximados de alta precisão.
Há também uma generalização dos polinômios descritos para funções de várias variáveis.
Binomial de Newton
Os polinômios famosos são os polinômios de Newton, derivados por cientistas para encontrar os coeficientes da expressão (x + y).
Basta olhar para as primeiras potências da decomposição binomial para ter certeza de que a fórmula não é trivial:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Para cada coeficiente existe uma expressão que permite calculá-lo. No entanto, memorizar fórmulas complicadas e realizar as operações aritméticas necessárias a cada vez seria extremamente inconveniente para os matemáticos que muitas vezes precisam de tais expansões. O triângulo de Pascal facilitou muito a vida deles.
A figura é construída de acordo com o seguinte princípio. 1 é escrito no topo do triângulo e em cada linha seguinte torna-se mais um dígito, 1 é colocado nas bordas e o meio da linha é preenchido com as somas de dois números adjacentes do anterior.
Quando você olha para a ilustração, tudo fica claro.
Claro, o uso de polinômios em matemática não se limita aos exemplos dados, os mais conhecidos.
