Um dos axiomas da geometria afirma que através de quaisquer dois pontos é possível traçar uma única linha reta. Este axioma atesta que existe uma expressão numérica única que descreve exclusivamente o objeto geométrico unidimensional especificado. Considere no artigo a questão de como escrever a equação de uma reta que passa por dois pontos.
O que é um ponto e uma linha?
Antes de considerar a questão de construir no espaço e no plano uma reta de uma equação que passa por um par de pontos diferentes, deve-se definir os objetos geométricos especificados.
Um ponto é determinado exclusivamente por um conjunto de coordenadas em um determinado sistema de eixos de coordenadas. Além deles, não há mais características para o ponto. Ela é um objeto de dimensão zero.
Quando se fala em linha reta, cada pessoa imagina uma linha representada em uma folha de papel branca. Ao mesmo tempo, é possível dar uma definição geométrica exataeste objeto. Uma linha reta é uma coleção de pontos para os quais a conexão de cada um deles com todos os outros dará um conjunto de vetores paralelos.
Esta definição é usada ao definir a equação vetorial de uma linha reta, que será discutida abaixo.
Como qualquer linha pode ser marcada com um segmento de comprimento arbitrário, diz-se que é um objeto geométrico unidimensional.
Função de vetor numérico
Uma equação que passa por dois pontos de uma linha reta que passa pode ser escrita de diferentes formas. Em espaços tridimensionais e bidimensionais, a expressão numérica principal e intuitivamente compreensível é um vetor.
Assuma que existe algum segmento direcionado u¯(a; b; c). No espaço 3D, o vetor u pode começar em qualquer ponto, então suas coordenadas definem um conjunto infinito de vetores paralelos. No entanto, se escolhermos um ponto específico P(x0; y0; z0) e colocar como o início do vetor u¯, então, multiplicando este vetor por um número real arbitrário λ, pode-se obter todos os pontos de uma linha reta no espaço. Ou seja, a equação vetorial será escrita como:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Obviamente, para o caso do avião, a função numérica assume a forma:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
A vantagem deste tipo de equação em relação às demais (em segmentos, canônicas,forma geral) reside no fato de que contém explicitamente as coordenadas do vetor de direção. O último é frequentemente usado para determinar se as linhas são paralelas ou perpendiculares.
Geral em segmentos e função canônica para uma linha reta no espaço bidimensional
Ao resolver problemas, às vezes você precisa escrever a equação de uma linha reta que passa por dois pontos de uma forma específica. Portanto, outras formas de especificar este objeto geométrico no espaço bidimensional devem ser dadas (para simplificar, consideramos o caso no plano).
Vamos começar com uma equação geral. Tem a forma:
Ax + By + C=0
Como regra, no plano a equação de uma linha reta é escrita desta forma, somente y é explicitamente definido através de x.
Agora transforme a expressão acima da seguinte forma:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Esta expressão é chamada de equação em segmentos, pois o denominador de cada variável mostra quanto tempo o segmento de linha corta no eixo de coordenada correspondente em relação ao ponto inicial (0; 0).
Resta dar um exemplo da equação canônica. Para fazer isso, escrevemos explicitamente a igualdade vetorial:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Vamos expressar o parâmetro λ daqui e igualar as igualdades resultantes:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
A última igualdade é chamada de equação na forma canônica ou simétrica.
Cada um deles pode ser convertido em vetor e vice-versa.
A equação de uma linha reta que passa por dois pontos: uma técnica de compilação
Voltando à questão do artigo. Suponha que haja dois pontos no espaço:
M(x1; y1; z1) e N(x 2; y2; z2)
A única reta passa por eles, cuja equação é muito fácil de compor na forma vetorial. Para isso, calculamos as coordenadas do segmento direcionado MN¯, temos:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Não é difícil adivinhar que este vetor será o guia para a reta, cuja equação deve ser obtida. Sabendo que ele também passa por M e N, você pode usar as coordenadas de qualquer um deles para uma expressão vetorial. Então a equação desejada toma a forma:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Para o caso em espaço bidimensional, obtemos uma igualdade semelhante sem a participação da variável z.
Assim que a igualdade vetorial para a linha é escrita, ela pode ser traduzida para qualquer outra forma que a questão do problema requeira.
Tarefa:escreva uma equação geral
Sabe-se que uma reta passa pelos pontos de coordenadas (-1; 4) e (3; 2). É necessário compor a equação de uma reta passando por eles, de forma geral, expressando y em função de x.
Para resolver o problema, primeiro escrevemos a equação na forma vetorial. As coordenadas do vetor (guia) são:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Então a forma vetorial da equação da reta é a seguinte:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Resta escrever na forma geral na forma y(x). Reescrevemos essa igualdade explicitamente, expressamos o parâmetro λ e o excluímos da equação:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
A partir da equação canônica resultante, expressamos y e chegamos à resposta da questão do problema:
y=-0,5x + 3,5
A validade desta igualdade pode ser verificada substituindo as coordenadas dos pontos especificados no enunciado do problema.
Problema: uma linha reta passando pelo centro do segmento
Agora vamos resolver um problema interessante. Suponha que dois pontos M(2; 1) e N(5; 0) sejam dados. Sabe-se que uma reta passa pelo ponto médio do segmento que liga os pontos e é perpendicular a ele. Escreva a equação de uma linha reta que passa pelo meio do segmento na forma vetorial.
A expressão numérica desejada pode ser formada calculando a coordenada deste centro e determinando o vetor de direção, quesegmento faz um ângulo 90o.
O ponto médio do segmento é:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Agora vamos calcular as coordenadas do vetor MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Como o vetor de direção para a linha desejada é perpendicular a MN¯, seu produto escalar é igual a zero. Isso permite calcular as coordenadas desconhecidas (a; b) do vetor de direção:
a3 - b=0=>
b=3a
Agora escreva a equação vetorial:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Aqui substituímos o produto aλ por um novo parâmetro β.
Assim, fizemos a equação de uma reta que passa pelo centro do segmento.
