Um conceito importante em matemática é uma função. Com sua ajuda, você pode visualizar muitos processos que ocorrem na natureza, refletir a relação entre certas quantidades usando fórmulas, tabelas e imagens em um gráfico. Um exemplo é a dependência da pressão de uma camada líquida em um corpo na profundidade de imersão, aceleração - na ação de uma certa força em um objeto, aumento de temperatura - na energia transmitida e muitos outros processos. O estudo de uma função envolve a construção de um gráfico, o esclarecimento de suas propriedades, o escopo e valores, intervalos de aumento e diminuição. Um ponto importante neste processo é encontrar os pontos extremos. Sobre como fazer certo e a conversa continuará.
Sobre o conceito em si em um exemplo específico
Na medicina, traçar um gráfico de função pode informar sobre o progresso de uma doença no corpo de um paciente, refletindo visualmente sua condição. Vamos supor que o tempo em dias seja plotado ao longo do eixo OX e a temperatura do corpo humano seja plotada ao longo do eixo OY. A figura mostra claramente como este indicador aumenta acentuadamente, eentão cai. Também é fácil notar pontos singulares que refletem os momentos em que a função, tendo aumentado anteriormente, começa a diminuir e vice-versa. Esses são os pontos extremos, ou seja, os valores críticos (máximo e mínimo) neste caso da temperatura do paciente, após os quais ocorrem mudanças em sua condição.
Ângulo de inclinação
É fácil determinar pela figura como a derivada de uma função muda. Se as linhas retas do gráfico sobem ao longo do tempo, então é positivo. E quanto mais íngremes, maior o valor da derivada, à medida que o ângulo de inclinação aumenta. Durante os períodos de decréscimo, este valor assume valores negativos, chegando a zero nos pontos extremos, e o gráfico da derivada neste último caso é desenhado paralelamente ao eixo OX.
Qualquer outro processo deve ser tratado da mesma forma. Mas o melhor desse conceito é dizer o movimento de vários corpos, claramente mostrados nos gráficos.
Movimento
Suponha que algum objeto se mova em linha reta, ganhando velocidade uniformemente. Durante esse período, a mudança nas coordenadas do corpo representa graficamente uma certa curva, que um matemático chamaria de ramo de uma parábola. Ao mesmo tempo, a função está aumentando constantemente, pois os indicadores de coordenadas mudam cada vez mais rápido a cada segundo. O gráfico de velocidade mostra o comportamento da derivada, cujo valor também aumenta. Isso significa que o movimento não tem pontos críticos.
Teria continuado indefinidamente. Mas se o corpo de repente decidir desacelerar, pare e comece a se mover em outrodireção? Nesse caso, os indicadores de coordenadas começarão a diminuir. E a função passará o valor crítico e passará de crescente para decrescente.
Neste exemplo, você pode entender novamente que os pontos extremos no gráfico da função aparecem nos momentos em que ele deixa de ser monótono.
Significado físico da derivada
Descrito anteriormente mostrou claramente que a derivada é essencialmente a taxa de variação da função. Esse refinamento contém seu significado físico. Pontos extremos são áreas críticas no gráfico. É possível descobri-los e detectá-los calculando o valor da derivada, que acaba sendo igual a zero.
Há outro sinal, que é uma condição suficiente para um extremo. A derivada nesses locais de inflexão muda de sinal: de "+" para "-" na região de máximo e de "-" para "+" na região de mínimo.
Movimento sob a influência da gravidade
Vamos imaginar outra situação. As crianças, jogando bola, a atiraram de tal maneira que ela começou a se mover em um ângulo em relação ao horizonte. No momento inicial, a velocidade desse objeto era a maior, mas sob a influência da gravidade começou a diminuir, e a cada segundo o mesmo valor, igual a aproximadamente 9,8 m/s2. Este é o valor da aceleração que ocorre sob a influência da gravidade da Terra durante a queda livre. Na Lua, seria cerca de seis vezes menor.
O gráfico que descreve o movimento do corpo é uma parábola com ramos,para baixo. Como encontrar pontos extremos? Neste caso, este é o vértice da função, onde a velocidade do corpo (bola) assume valor zero. A derivada da função torna-se zero. Neste caso, a direção e, portanto, o valor da velocidade, muda para o oposto. O corpo voa para baixo a cada segundo cada vez mais rápido e acelera na mesma quantidade - 9,8 m/s2.
Segunda derivada
No caso anterior, o gráfico do módulo de velocidade é desenhado como uma linha reta. Esta linha é primeiro direcionada para baixo, pois o valor dessa quantidade está constantemente diminuindo. Tendo atingido zero em um dos pontos no tempo, os indicadores desse valor começam a aumentar e a direção da representação gráfica do módulo de velocidade muda drasticamente. A linha agora está apontando para cima.
Velocity, sendo a derivada temporal da coordenada, também possui um ponto crítico. Nesta região, a função, inicialmente decrescente, começa a aumentar. Este é o lugar do ponto extremo da derivada da função. Neste caso, a inclinação da tangente torna-se zero. E a aceleração, sendo a segunda derivada da coordenada em relação ao tempo, muda de sinal de “-” para “+”. E o movimento uniformemente lento torna-se uniformemente acelerado.
Gráfico de aceleração
Agora considere quatro figuras. Cada um deles exibe um gráfico da mudança ao longo do tempo de uma quantidade física como a aceleração. No caso de "A", seu valor permanece positivo e constante. Isso significa que a velocidade do corpo, como sua coordenada, está aumentando constantemente. Se umimagine que o objeto se moverá dessa maneira por um tempo infinitamente longo, a função que reflete a dependência da coordenada no tempo acabará aumentando constantemente. Segue-se que não tem regiões críticas. Também não há pontos extremos no gráfico da derivada, ou seja, velocidade variável linearmente.
O mesmo se aplica ao caso "B" com aceleração positiva e constantemente crescente. É verdade que os gráficos para coordenadas e velocidade serão um pouco mais complicados aqui.
Quando a aceleração tende a zero
Visualizando a imagem "B", você pode ver uma imagem completamente diferente que caracteriza o movimento do corpo. Sua velocidade será representada graficamente como uma parábola com ramos apontando para baixo. Se continuarmos a linha que descreve a mudança na aceleração até cruzar com o eixo OX, e além disso, podemos imaginar que até esse valor crítico, onde a aceleração é igual a zero, a velocidade do objeto aumentará cada vez mais devagar. O ponto extremo da derivada da função coordenada estará logo no topo da parábola, após o que o corpo mudará radicalmente a natureza do movimento e começará a se mover na outra direção.
No último caso, "G", a natureza do movimento não pode ser determinada com precisão. Aqui sabemos apenas que não há aceleração para algum período considerado. Isso significa que o objeto pode permanecer no lugar ou o movimento ocorre a uma velocidade constante.
Coordenar tarefa de adição
Vamos passar para tarefas que são frequentemente encontradas no estudo de álgebra na escola e são oferecidas parapreparação para o exame. A figura abaixo mostra o gráfico da função. É necessário calcular a soma dos pontos extremos.
Vamos fazer isso para o eixo y determinando as coordenadas das regiões críticas onde é observada uma mudança nas características da função. Simplificando, encontramos os valores ao longo do eixo x para os pontos de inflexão e, em seguida, adicionamos os termos resultantes. De acordo com o gráfico, é óbvio que assumem os seguintes valores: -8; -7; -5; -3; -2; 1; 3. Isso soma -21, que é a resposta.
Solução ótima
Não é necessário explicar o quão importante pode ser a escolha da solução ótima no desempenho de tarefas práticas. Afinal, existem muitas maneiras de atingir o objetivo, e a melhor saída, via de regra, é apenas uma. Isso é extremamente necessário, por exemplo, ao projetar navios, naves espaciais e aeronaves, estruturas arquitetônicas para encontrar a forma ideal desses objetos feitos pelo homem.
A velocidade dos veículos depende em grande parte da competente minimização da resistência que eles experimentam ao se moverem na água e no ar, das sobrecargas decorrentes da influência das forças gravitacionais e muitos outros indicadores. Um navio no mar precisa de qualidades como estabilidade durante uma tempestade; para um navio fluvial, um calado mínimo é importante. Ao calcular o design ideal, os pontos extremos no gráfico podem dar uma ideia visual da melhor solução para um problema complexo. Tarefas deste tipo são frequentementesão resolvidos na economia, nas áreas econômicas, em muitas outras situações da vida.
Da história antiga
Problemas extremos ocuparam até os antigos sábios. Cientistas gregos desvendaram com sucesso o mistério das áreas e volumes através de cálculos matemáticos. Eles foram os primeiros a entender que em um plano de várias figuras com o mesmo perímetro, o círculo sempre tem a maior área. Da mesma forma, uma bola é dotada de volume máximo entre outros objetos no espaço com a mesma área de superfície. Personalidades famosas como Arquimedes, Euclides, Aristóteles, Apolônio se dedicaram a resolver esses problemas. Heron conseguiu muito bem encontrar pontos extremos, que, recorrendo a cálculos, construíram dispositivos engenhosos. Estes incluíam máquinas automáticas movidas a vapor, bombas e turbinas operando com o mesmo princípio.
Construção de Cartago
Há uma lenda, cujo enredo é baseado na resolução de um dos problemas extremos. O resultado da abordagem empresarial demonstrada pela princesa fenícia, que recorreu aos sábios em busca de ajuda, foi a construção de Cartago. O terreno desta antiga e famosa cidade foi apresentado a Dido (que era o nome do governante) pelo líder de uma das tribos africanas. A área do loteamento não lhe pareceu a princípio muito grande, pois de acordo com o contrato deveria ser coberta com um couro de boi. Mas a princesa ordenou que seus soldados o cortassem em tiras finas e fizessem um cinto com elas. Acabou sendo tão longo que cobriu o site,onde a cidade inteira se encaixa.
As origens do cálculo
E agora vamos passar dos tempos antigos para uma era posterior. Curiosamente, no século XVII, Kepler foi levado a entender os fundamentos da análise matemática por meio de uma reunião com um vendedor de vinhos. O comerciante era tão versado em sua profissão que podia determinar facilmente o volume da bebida no barril simplesmente colocando um torniquete de ferro nele. Refletindo sobre tal curiosidade, o famoso cientista conseguiu resolver esse dilema por si mesmo. Acontece que os habilidosos tanoeiros daquela época tinham o jeito de fazer vasos de tal forma que a uma certa altura e raio da circunferência dos anéis de fixação eles teriam uma capacidade máxima.
Isso foi por motivo de Kepler para uma reflexão mais aprofundada. A Bochars chegou à solução ótima por uma longa busca, erros e novas tentativas, passando sua experiência de geração em geração. Mas Kepler queria acelerar o processo e aprender a fazer o mesmo em pouco tempo por meio de cálculos matemáticos. Todos os seus desenvolvimentos, apanhados por colegas, se transformaram nos agora conhecidos teoremas de Fermat e Newton - Leibniz.
Problema de área máxima
Vamos imaginar que temos um fio com 50 cm de comprimento. Como fazer dele um retângulo com a maior área?
Ao iniciar uma decisão, deve-se partir de verdades simples e conhecidas. É claro que o perímetro da nossa figura será de 50 cm e também consiste em duas vezes os comprimentos de ambos os lados. Isso significa que, tendo designado um deles como "X", o outro pode ser expresso como (25 - X).
Daqui temosuma área igual a X (25 - X). Esta expressão pode ser representada como uma função que assume muitos valores. A solução do problema requer encontrar o máximo deles, o que significa que você deve descobrir os pontos extremos.
Para fazer isso, encontramos a primeira derivada e igualamos a zero. O resultado é uma equação simples: 25 - 2X=0.
Aprendemos que um dos lados X=12, 5.
Portanto, outro: 25 – 12, 5=12, 5.
Acontece que a solução do problema será um quadrado de lado 12,5 cm.
Como encontrar a velocidade máxima
Vamos considerar mais um exemplo. Imagine que existe um corpo cujo movimento retilíneo é descrito pela equação S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, onde a distância percorrido é expresso em metros e o tempo em segundos. É necessário encontrar a velocidade máxima. Como fazer isso? Baixado encontre a velocidade, ou seja, a primeira derivada.
Temos a equação: V=- 3t2 + 18t – 24. Agora, para resolver o problema, precisamos novamente encontrar os pontos extremos. Isso deve ser feito da mesma forma que na tarefa anterior. Encontre a primeira derivada da velocidade e iguale-a a zero.
Teremos: - 6t + 18=0. Logo, t=3 s. Este é o momento em que a velocidade do corpo assume um valor crítico. Substituímos os dados obtidos na equação da velocidade e obtemos: V=3 m/s.
Mas como entender que essa é exatamente a velocidade máxima, pois os pontos críticos de uma função podem ser seus valores máximos ou mínimos? Para verificar, você precisa encontrar um segundoderivada da velocidade. É expresso como o número 6 com um sinal de menos. Isso significa que o ponto encontrado é o máximo. E no caso de um valor positivo da segunda derivada, haveria um mínimo. Então, a solução encontrada acabou sendo correta.
As tarefas dadas como exemplo são apenas uma parte daquelas que podem ser resolvidas pela capacidade de encontrar os pontos extremos de uma função. Na verdade, existem muitos mais. E tal conhecimento abre possibilidades ilimitadas para a civilização humana.
