Os poliedros atraíram a atenção de matemáticos e cientistas mesmo nos tempos antigos. Os egípcios construíram as pirâmides. E os gregos estudavam "poliedros regulares". Às vezes são chamados de sólidos platônicos. Os "poliedros tradicionais" consistem em faces planas, arestas retas e vértices. Mas a questão principal sempre foi quais regras essas partes separadas devem cumprir, bem como quais condições globais adicionais devem ser atendidas para que um objeto se qualifique como um poliedro. A resposta a esta pergunta será apresentada no artigo.
Problemas na definição
Em que consiste esta figura? Um poliedro é uma forma sólida fechada que possui faces planas e arestas retas. Portanto, o primeiro problema de sua definição pode ser chamado precisamente de lados da figura. Nem todas as faces situadas em planos são sempre um sinal de um poliedro. Vamos pegar o "cilindro triangular" como exemplo. Em que consiste? Parte de sua superfície três em paresplanos verticais que se cruzam não podem ser considerados polígonos. A razão é que não tem vértices. A superfície de tal figura é formada com base em três raios que se encontram em um ponto.
Mais um problema - aviões. No caso do "cilindro triangular" ele se encontra em suas partes ilimitadas. Uma figura é considerada convexa se o segmento de reta que liga quaisquer dois pontos do conjunto também estiver nela. Vamos apresentar uma de suas propriedades importantes. Para conjuntos convexos, é que o conjunto de pontos comuns ao conjunto é o mesmo. Há outro tipo de figuras. Estes são poliedros 2D não convexos que possuem entalhes ou furos.
Formas que não são poliedros
Um conjunto plano de pontos pode ser diferente (por exemplo, não convexo) e não satisfazer a definição usual de um poliedro. Mesmo através dele, é limitado por seções de linhas. As linhas de um poliedro convexo consistem em figuras convexas. No entanto, esta abordagem para a definição exclui uma figura indo para o infinito. Um exemplo disso seriam três raios que não se encontram no mesmo ponto. Mas, ao mesmo tempo, eles estão conectados aos vértices de outra figura. Tradicionalmente, era importante para um poliedro que consistisse em superfícies planas. Mas com o tempo, o conceito se expandiu, o que levou a uma melhoria significativa na compreensão da classe original "mais estreita" de poliedros, bem como o surgimento de uma nova definição mais ampla.
Correto
Vamos introduzir mais uma definição. Um poliedro regular é aquele em que cada face é uma regular congruentepolígonos convexos e todos os vértices são "os mesmos". Isso significa que cada vértice tem o mesmo número de polígonos regulares. Use esta definição. Então você pode encontrar cinco poliedros regulares.
Primeiros passos para o teorema de Euler para poliedros
Os gregos conheciam o polígono, que hoje é chamado de pentagrama. Este polígono pode ser chamado de regular porque todos os seus lados têm o mesmo comprimento. Há também outra nota importante. O ângulo entre dois lados consecutivos é sempre o mesmo. No entanto, quando desenhado em um plano, não define um conjunto convexo, e os lados do poliedro se cruzam. No entanto, nem sempre foi assim. Os matemáticos há muito consideram a ideia de poliedros regulares "não convexos". O pentagrama era um deles. "Polígonos de estrelas" também foram permitidos. Vários novos exemplos de "poliedros regulares" foram descobertos. Agora eles são chamados de poliedros Kepler-Poinsot. Mais tarde, G. S. M. Coxeter e Branko Grünbaum estenderam as regras e descobriram outros "poliedros regulares".
Fórmula poliédrica
O estudo sistemático dessas figuras começou relativamente cedo na história da matemática. Leonhard Euler foi o primeiro a notar que uma fórmula relacionando o número de seus vértices, faces e arestas vale para poliedros 3D convexos.
Ela se parece com isso:
V + F - E=2, onde V é o número de vértices do poliedro, F é o número de arestas do poliedro e E é o número de faces.
Leonhard Euler é suíçomatemático que é considerado um dos maiores e mais produtivos cientistas de todos os tempos. Ele ficou cego durante a maior parte de sua vida, mas a perda da visão lhe deu um motivo para se tornar ainda mais produtivo. Existem várias fórmulas com o nome dele, e a que acabamos de ver às vezes é chamada de fórmula do poliedro de Euler.
Há um esclarecimento. A fórmula de Euler, no entanto, só funciona para poliedros que seguem certas regras. Eles estão no fato de que o formulário não deve ter furos. E é inaceitável que se vença. Um poliedro também não pode ser formado por duas partes unidas, como dois cubos com o mesmo vértice. Euler mencionou o resultado de sua pesquisa em uma carta a Christian Goldbach em 1750. Mais tarde, ele publicou dois artigos nos quais descreveu como tentou encontrar provas de sua nova descoberta. De fato, existem formas que dão uma resposta diferente para V + F - E. A resposta para a soma F + V - E=X é chamada de característica de Euler. Ela tem outro aspecto. Algumas formas podem até ter uma característica de Euler negativa
Teoria dos Grafos
Às vezes afirma-se que Descartes derivou o teorema de Euler anteriormente. Embora esse cientista tenha descoberto fatos sobre poliedros tridimensionais que lhe permitiriam derivar a fórmula desejada, ele não deu esse passo adicional. Hoje, Euler é creditado com o "pai" da teoria dos grafos. Ele resolveu o problema da ponte de Konigsberg usando suas ideias. Mas o cientista não olhou para o poliedro no contextoteoria dos grafos. Euler tentou dar uma prova de uma fórmula baseada na decomposição de um poliedro em partes mais simples. Essa tentativa fica aquém dos padrões modernos de prova. Embora Euler não tenha dado a primeira justificativa correta para sua fórmula, não se pode provar conjecturas que não foram feitas. No entanto, os resultados, que foram comprovados posteriormente, possibilitam a utilização do teorema de Euler também no momento atual. A primeira prova foi obtida pelo matemático Adrian Marie Legendre.
Prova da fórmula de Euler
Euler primeiro formulou a fórmula poliédrica como um teorema sobre poliedros. Hoje é muitas vezes tratado no contexto mais geral de grafos conectados. Por exemplo, como estruturas compostas por pontos e segmentos de linha que os conectam, que estão na mesma parte. Augustin Louis Cauchy foi a primeira pessoa a encontrar essa importante conexão. Serviu como uma prova do teorema de Euler. Ele, em essência, notou que o grafo de um poliedro convexo (ou o que hoje é chamado assim) é topologicamente homeomorfo a uma esfera, possui um grafo conexo planar. O que é isso? Um grafo plano é aquele que foi desenhado no plano de tal forma que suas arestas se encontram ou se cruzam apenas em um vértice. Este é o lugar onde a conexão entre o teorema de Euler e os gráficos foi encontrada.
Uma indicação da importância do resultado é que David Epstein conseguiu coletar dezessete evidências diferentes. Há muitas maneiras de justificar a fórmula poliédrica de Euler. Em certo sentido, as provas mais óbvias são métodos que usam indução matemática. O resultado pode ser comprovadodesenhando-o ao longo do número de arestas, faces ou vértices do gráfico.
Prova de Rademacher e Toeplitz
Particularmente atraente é a seguinte prova de Rademacher e Toeplitz, baseada na abordagem de Von Staudt. Para justificar o teorema de Euler, suponha que G é um grafo conexo embutido em um plano. Se tiver esquemas, é possível excluir uma aresta de cada um deles de forma a preservar a propriedade de que ela permaneça conectada. Existe uma correspondência biunívoca entre as partes removidas para ir ao grafo conectado sem fechamento e aquelas que não são uma aresta infinita. Esta pesquisa levou à classificação de "superfícies orientáveis" em termos da chamada característica de Euler.
Curva da Jordânia. Teorema
A tese principal, utilizada direta ou indiretamente na demonstração da fórmula de poliedros do teorema de Euler para grafos, depende da curva de Jordan. Essa ideia está relacionada à generalização. Diz que qualquer curva fechada simples divide o plano em três conjuntos: pontos sobre ele, dentro e fora dele. À medida que o interesse pela fórmula poliédrica de Euler se desenvolveu no século XIX, muitas tentativas foram feitas para generalizá-la. Esta pesquisa lançou as bases para o desenvolvimento da topologia algébrica e a conectou com a álgebra e a teoria dos números.
Grupo Moebius
Logo foi descoberto que algumas superfícies só poderiam ser "orientadas" de forma consistente localmente, não globalmente. O conhecido grupo de Möbius serve como ilustração de talsuperfícies. Foi descoberto um pouco antes por Johann Listing. Este conceito inclui a noção de gênero de um grafo: o menor número de descritores g. Ele deve ser adicionado à superfície da esfera e pode ser embutido na superfície estendida de tal forma que as arestas se encontrem apenas nos vértices. Acontece que qualquer superfície orientável no espaço euclidiano pode ser considerada como uma esfera com um certo número de alças.
Diagrama de Euler
O cientista fez outra descoberta, que ainda é usada hoje. Este chamado diagrama de Euler é uma representação gráfica de círculos, geralmente usado para ilustrar relacionamentos entre conjuntos ou grupos. Os gráficos geralmente incluem cores que se misturam em áreas onde os círculos se sobrepõem. Os conjuntos são representados precisamente por círculos ou ovais, embora outras figuras também possam ser usadas para eles. Uma inclusão é representada por uma sobreposição de elipses chamadas círculos de Euler.
Eles representam conjuntos e subconjuntos. A exceção são os círculos não sobrepostos. Os diagramas de Euler estão intimamente relacionados a outras representações gráficas. Muitas vezes são confundidos. Essa representação gráfica é chamada de diagramas de Venn. Dependendo dos conjuntos em questão, ambas as versões podem ter a mesma aparência. No entanto, nos diagramas de Venn, os círculos sobrepostos não indicam necessariamente a semelhança entre os conjuntos, mas apenas uma possível relação lógica se seus rótulos não estiverem emcírculo de interseção. Ambas as opções foram adotadas para o ensino da teoria dos conjuntos como parte do novo movimento matemático da década de 1960.
Teoremas de Fermat e Euler
Euler deixou uma marca notável na ciência matemática. A teoria algébrica dos números foi enriquecida por um teorema com o seu nome. É também uma consequência de outra importante descoberta. Este é o chamado teorema algébrico geral de Lagrange. O nome de Euler também está associado ao pequeno teorema de Fermat. Diz que se p é um número primo e a é um inteiro não divisível por p, então:
ap-1 - 1 é divisível por p.
Às vezes a mesma descoberta tem um nome diferente, mais frequentemente encontrado na literatura estrangeira. Parece o teorema de Natal de Fermat. O fato é que a descoberta ficou conhecida graças a uma carta de um cientista enviada na véspera de 25 de dezembro de 1640. Mas a declaração em si já foi encontrada antes. Foi usado por outro cientista chamado Albert Girard. Fermat apenas tentou provar sua teoria. O autor sugere em outra carta que se inspirou no método da descida infinita. Mas ele não apresentou nenhuma evidência. Mais tarde, Eider também recorreu ao mesmo método. E depois dele - muitos outros cientistas famosos, incluindo Lagrange, Gauss e Minkosky.
Características das identidades
O Pequeno Teorema de Fermat também é chamado de caso especial de um teorema da teoria dos números devido a Euler. Nesta teoria, a função identidade de Euler conta inteiros positivos até um dado inteiro n. Eles são coprime em relação an. O teorema de Euler na teoria dos números é escrito usando a letra grega φ e se parece com φ(n). Ela pode ser definida mais formalmente como o número de inteiros k no intervalo 1 ≦ k ≦ n para os quais o máximo divisor comum gcd(n, k) é 1. A notação φ(n) também pode ser chamada de função phi de Euler. Os inteiros k desta forma são às vezes chamados de totativo. No coração da teoria dos números, a função identidade de Euler é multiplicativa, o que significa que se dois números m e n são primos, então φ(mn)=φ(m)φ(n). Ele também desempenha um papel fundamental na definição do sistema de criptografia RSA.
A função de Euler foi introduzida em 1763. Entretanto, naquela época o matemático não escolheu nenhum símbolo específico para ela. Em uma publicação de 1784, Euler estudou essa função com mais detalhes e escolheu a letra grega π para representá-la. James Sylvester cunhou o termo "total" para esse recurso. Portanto, também é referido como o total de Euler. O total φ(n) de um inteiro positivo n maior que 1 é o número de inteiros positivos menores que n que são relativamente primos até n.φ(1) é definido como 1. A função de Euler ou função phi(φ) é uma função muito importante teórica dos números uma função profundamente relacionada aos números primos e à chamada ordem dos inteiros.
