Os poliedros não só ocupam um lugar de destaque na geometria, mas também ocorrem no cotidiano de cada pessoa. Para não falar de utensílios domésticos criados artificialmente na forma de vários polígonos, começando com uma caixa de fósforos e terminando com elementos arquitetônicos, cristais em forma de cubo (sal), prisma (cristal), pirâmide (scheelite), octaedro (diamante), etc. e.
O conceito de um poliedro, tipos de poliedros em geometria
Geometria como ciência contém uma seção de estereometria que estuda as características e propriedades das figuras tridimensionais. Corpos geométricos, cujos lados no espaço tridimensional são formados por planos limitados (faces), são chamados de "poliedros". Os tipos de poliedros incluem mais de uma dúzia de representantes, diferindo no número e na forma das faces.
No entanto, todos os poliedros têm propriedades comuns:
- Todos eles têm 3 componentes essenciais: rosto(superfície de um polígono), vértice (cantos formados na junção de faces), aresta (lado de uma figura ou segmento formado na junção de duas faces).
- Cada aresta do polígono conecta duas e apenas duas faces adjacentes.
- Convexidade significa que o corpo está completamente localizado apenas em um lado do plano em que uma das faces se encontra. A regra se aplica a todas as faces do poliedro. Tais figuras geométricas em estereometria são chamadas de poliedros convexos. A exceção são os poliedros em forma de estrela, que são derivados de sólidos geométricos poliédricos regulares.
Os poliedros podem ser divididos condicionalmente em:
- Tipos de poliedros convexos, constituídos pelas seguintes classes: ordinários ou clássicos (prisma, pirâmide, paralelepípedo), regulares (também chamados de sólidos platônicos), semi-regulares (segundo nome - sólidos de Arquimedes).
- Poliedros não convexos (em forma de estrela).
Prisma e suas propriedades
A estereometria como ramo da geometria estuda as propriedades das figuras tridimensionais, tipos de poliedros (um prisma é um deles). Um prisma é um corpo geométrico que necessariamente tem duas faces absolutamente idênticas (também chamadas de bases) situadas em planos paralelos e o n-ésimo número de faces laterais na forma de paralelogramos. Por sua vez, o prisma também possui diversas variedades, incluindo tipos de poliedros como:
- Paralelepípedo - formado se a base for um paralelogramo -polígono com 2 pares de ângulos opostos iguais e 2 pares de lados opostos congruentes.
- Um prisma reto tem arestas perpendiculares à base.
- Prisma inclinado é caracterizado pela presença de ângulos não retos (diferentes de 90) entre as faces e a base.
- Um prisma regular é caracterizado por bases na forma de um polígono regular com faces laterais iguais.
Propriedades básicas de um prisma:
- Bases congruentes.
- Todas as arestas do prisma são iguais e paralelas entre si.
- Todas as faces laterais são em forma de paralelogramo.
Pirâmide
Pirâmide é um corpo geométrico, que consiste em uma base e n-ésimo número de faces triangulares, conectadas em um ponto - o topo. Deve-se notar que se as faces laterais da pirâmide são necessariamente representadas por triângulos, então a base pode ser um polígono triangular, ou um quadrilátero, ou um pentágono, e assim por diante, ad infinitum. Neste caso, o nome da pirâmide corresponderá ao polígono na base. Por exemplo, se um triângulo está na base de uma pirâmide, é uma pirâmide triangular, um quadrilátero é um quadrangular, etc.
Pirâmides são poliedros em forma de cone. Os tipos de poliedros deste grupo, além dos listados acima, também incluem os seguintes representantes:
- Uma pirâmide regular tem um polígono regular em sua base e sua altura é projetada para o centroum círculo inscrito na base ou circunscrito à sua volta.
- Uma pirâmide retangular é formada quando uma das arestas laterais se cruza com a base em ângulo reto. Nesse caso, também é justo chamar essa aresta de altura da pirâmide.
Propriedades da pirâmide:
- Se todas as arestas laterais da pirâmide são congruentes (da mesma altura), então todas elas se cruzam com a base no mesmo ângulo, e ao redor da base você pode desenhar um círculo com um centro coincidindo com a projeção de o topo da pirâmide.
- Se a base da pirâmide for um polígono regular, então todas as arestas laterais são congruentes e as faces são triângulos isósceles.
Poliedro regular: tipos e propriedades dos poliedros
Na estereometria, um lugar especial é ocupado por corpos geométricos com faces absolutamente iguais, em cujos vértices o mesmo número de arestas está conectado. Esses sólidos são chamados de sólidos platônicos, ou poliedros regulares. Tipos de poliedros com tais propriedades têm apenas cinco formas:
- Tetraedro.
- Hexaedro.
- Octaedro.
- Dodecaedro.
- Icosaedro.
Os poliedros regulares devem seu nome ao antigo filósofo grego Platão, que descreveu esses corpos geométricos em seus escritos e os conectou com os elementos naturais: terra, água, fogo, ar. A quinta figura foi premiada pela semelhança com a estrutura do universo. Em sua opinião, os átomos de elementos naturais em forma se assemelham aos tipos de poliedros regulares. Devido à sua propriedade mais excitante -simetria, esses corpos geométricos eram de grande interesse não só para matemáticos e filósofos antigos, mas também para arquitetos, artistas e escultores de todos os tempos. A presença de apenas 5 tipos de poliedros com absoluta simetria foi considerada uma descoberta fundamental, eles até receberam uma conexão com o princípio divino.
Hexaedro e suas propriedades
Em forma de hexágono, os sucessores de Platão assumiram uma semelhança com a estrutura dos átomos da terra. Claro que, atualmente, essa hipótese foi completamente refutada, o que, no entanto, não impede que as figuras atraiam as mentes de figuras famosas com sua estética nos tempos modernos.
Em geometria, um hexaedro, também conhecido como cubo, é considerado um caso especial de paralelepípedo, que, por sua vez, é uma espécie de prisma. Assim, as propriedades do cubo estão relacionadas com as propriedades do prisma, com a única diferença de que todas as faces e cantos do cubo são iguais entre si. As seguintes propriedades decorrem disso:
- Todas as arestas do cubo são congruentes e estão em planos paralelos entre si.
- Todas as faces são quadrados congruentes (há 6 no total em um cubo), qualquer um dos quais pode ser tomado como base.
- Todos os ângulos de interface são 90.
- Um número igual de arestas emana de cada vértice, ou seja, 3.
- O cubo tem 9 eixos de simetria, que se cruzam no ponto de interseção das diagonais do hexaedro, chamado centro de simetria.
Tetraedro
Um tetraedro é um tetraedro com faces iguais na forma de triângulos, cada um dos vértices dos quaisé o ponto de junção de três faces.
Propriedades do tetraedro regular:
- Todas as faces de um tetraedro são triângulos equiláteros, o que significa que todas as faces de um tetraedro são congruentes.
- Como a base é representada por uma figura geométrica regular, ou seja, tem lados iguais, as faces do tetraedro convergem no mesmo ângulo, ou seja, todos os ângulos são iguais.
- A soma dos ângulos planos em cada um dos vértices é 180, pois todos os ângulos são iguais, então qualquer ângulo de um tetraedro regular é 60.
- Cada um dos vértices é projetado no ponto de interseção das alturas da face oposta (ortocentro).
O octaedro e suas propriedades
Descrevendo os tipos de poliedros regulares, não se pode deixar de notar um objeto como um octaedro, que pode ser representado visualmente como duas pirâmides quadrangulares regulares coladas por bases.
Propriedades do octaedro:
- O próprio nome de um corpo geométrico sugere o número de suas faces. O octaedro é constituído por 8 triângulos equiláteros congruentes, em cada um dos vértices dos quais converge um número igual de faces, nomeadamente 4.
- Como todas as faces de um octaedro são iguais, seus ângulos de interface também são iguais, cada um dos quais é igual a 60, e a soma dos ângulos planos de qualquer um dos vértices é, portanto, 240.
Dodecaedro
Se imaginarmos que todas as faces de um corpo geométrico são um pentágono regular, obtemos um dodecaedro -uma figura de 12 polígonos.
Propriedades do dodecaedro:
- Três faces se cruzam em cada vértice.
- Todas as faces são iguais e têm o mesmo comprimento de aresta e área igual.
- O dodecaedro possui 15 eixos e planos de simetria, e qualquer um deles passa pelo vértice da face e pelo meio da aresta oposta.
Icosaedro
Não menos interessante que o dodecaedro, a figura do icosaedro é um corpo geométrico tridimensional com 20 faces iguais. Entre as propriedades de um vinte-edro regular, pode-se notar o seguinte:
- Todas as faces do icosaedro são triângulos isósceles.
- Cinco faces convergem em cada vértice do poliedro, e a soma dos ângulos adjacentes do vértice é 300.
- O icosaedro, como o dodecaedro, tem 15 eixos e planos de simetria passando pelos pontos médios de faces opostas.
Polígonos semi-regulares
Além dos sólidos platônicos, o grupo dos poliedros convexos também inclui os sólidos de Arquimedes, que são poliedros regulares truncados. Os tipos de poliedros deste grupo possuem as seguintes propriedades:
- Corpos geométricos têm faces iguais em pares de vários tipos, por exemplo, um tetraedro truncado tem 8 faces, como um tetraedro regular, mas no caso de um sólido de Arquimedes, 4 faces serão triangulares e 4 serão hexagonais.
- Todos os ângulos de um vértice são congruentes.
Poliedro estrela
Representantes de tipos não volumétricos de corpos geométricos são poliedros estrelados cujas faces se cruzam. Eles podem ser formados mesclando dois sólidos 3D regulares ou estendendo suas faces.
Assim, tais poliedros estrelados são conhecidos como: formas estreladas do octaedro, dodecaedro, icosaedro, cuboctaedro, icosododecaedro.
