Um plano, juntamente com um ponto e uma linha reta, é um elemento geométrico básico. Com seu uso, muitas figuras em geometria espacial são construídas. Neste artigo, consideraremos com mais detalhes a questão de como encontrar um ângulo entre dois planos.
Conceito
Antes de falar sobre o ângulo entre dois planos, você deve entender bem de qual elemento da geometria estamos falando. Vamos entender a terminologia. Um plano é uma coleção infinita de pontos no espaço, conectando os quais obtemos vetores. Este último será perpendicular a algum vetor. É comumente chamado de normal ao plano.
A figura acima mostra um plano e dois vetores normais a ele. Pode-se ver que ambos os vetores estão na mesma linha reta. O ângulo entre eles é 180o.
Equações
O ângulo entre dois planos pode ser determinado se a equação matemática do elemento geométrico considerado for conhecida. Existem vários tipos de tais equações,cujos nomes estão listados abaixo:
- tipo geral;
- vetor;
- em segmentos.
Esses três tipos são os mais convenientes para resolver vários tipos de problemas, por isso são os mais usados.
Uma equação de tipo geral se parece com isso:
Ax + By + Cz + D=0.
Aqui x, y, z são as coordenadas de um ponto arbitrário pertencente ao plano dado. Os parâmetros A, B, C e D são números. A conveniência desta notação está no fato de que os números A, B, C são as coordenadas de um vetor normal ao plano.
A forma vetorial do plano pode ser representada da seguinte forma:
x, y, z)=(x0, y0, z0) + α(a1, b1, c1) + β(a 2, b2, c2).
Aqui (a2, b2, c2) e (a) 1, b1, c1) - parâmetros de dois vetores de coordenadas que pertencem ao plano considerado. O ponto (x0, y0, z0) também está neste plano. Os parâmetros α e β podem assumir valores independentes e arbitrários.
Finalmente, a equação do plano em segmentos é representada na seguinte forma matemática:
x/p + y/q + z/l=1.
Aqui p, q, l são números específicos (incluindo os negativos). Este tipo de equação é útil quando é necessário representar um plano em um sistema de coordenadas retangulares, pois os números p, q, l mostram os pontos de interseção com os eixos x, y e zavião.
Observe que cada tipo de equação pode ser convertido em qualquer outro usando operações matemáticas simples.
Fórmula do ângulo entre dois planos
Agora considere a seguinte nuance. No espaço tridimensional, dois planos podem ser localizados apenas de duas maneiras. Ou se cruzam ou são paralelos. Entre dois planos, o ângulo é o que está localizado entre seus vetores guia (normais). Intersectando, 2 vetores formam 2 ângulos (agudos e obtusos no caso geral). O ângulo entre os planos é considerado agudo. Considere a equação.
A fórmula do ângulo entre dois planos é:
θ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|)).
É fácil adivinhar que esta expressão é uma consequência direta do produto escalar dos vetores normais n1¯ e n2 ¯ para os planos considerados. O módulo do produto escalar no numerador indica que o ângulo θ só terá valores de 0o a 90o. O produto de módulos de vetores normais no denominador significa o produto de seus comprimentos.
Observe, se (n1¯n2¯)=0, então os planos se cruzam em um ângulo reto.
Exemplo de problema
Tendo descoberto o que é chamado de ângulo entre dois planos, vamos resolver o seguinte problema. Como um exemplo. Assim, é necessário calcular o ângulo entre tais planos:
2x - 3y + 4=0;
(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).
Para resolver o problema, você precisa conhecer os vetores de direção dos planos. Para o primeiro plano, o vetor normal é: n1¯=(2, -3, 0). Para encontrar o vetor normal do segundo plano, deve-se multiplicar os vetores após os parâmetros α e β. O resultado é um vetor: n2¯=(5, -3, 2).
Para determinar o ângulo θ, usamos a fórmula do parágrafo anterior. Obtemos:
θ=arcos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=
=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.
O ângulo calculado em radianos corresponde a 31,26o. Assim, os planos da condição do problema se interceptam em um ângulo de 31, 26o.
