Ângulos entre planos. Como determinar o ângulo entre os planos

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2024-01-02 17:54

Ao resolver problemas geométricos no espaço, muitas vezes há aqueles em que é necessário calcular os ângulos entre diferentes objetos espaciais. Neste artigo, consideraremos a questão de encontrar ângulos entre planos e entre eles e uma linha reta.

Linha no espaço

Sabe-se que absolutamente qualquer linha reta no plano pode ser definida pela seguinte igualdade:

y=ax + b

Aqui a e b são alguns números. Se representarmos uma linha reta no espaço com a mesma expressão, obteremos um plano paralelo ao eixo z. Para a definição matemática da linha espacial, é utilizado um método de solução diferente do caso bidimensional. Consiste em utilizar o conceito de "vetor de direção".

O vetor diretor de uma linha reta mostra sua orientação no espaço. Este parâmetro pertence à linha. Como existe um conjunto infinito de vetores paralelos no espaço, então, para determinar de forma única o objeto geométrico considerado, também é necessário conhecer as coordenadas do ponto pertencente a ele.

Assuma que existeponto P(x₀; y₀; z_{0) e vetor de direção v¯(a; b; c), então a equação de uma reta pode ser dada da seguinte forma:}

(x; y; z)=P + αv¯ ou

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

Esta expressão é chamada de equação vetorial paramétrica de uma linha reta. O coeficiente α é um parâmetro que pode assumir absolutamente quaisquer valores reais. As coordenadas de uma linha podem ser representadas explicitamente expandindo esta igualdade:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

Equação do plano

Existem várias formas de escrever uma equação para um plano no espaço. Aqui vamos considerar um deles, que é mais usado no cálculo dos ângulos entre dois planos ou entre um deles e uma linha reta.

Se algum vetor n¯(A; B; C) for conhecido, que é perpendicular ao plano desejado, e o ponto P(x₀; y ₀; z_{0), que lhe pertence, então a equação geral para este último é:}

Ax + By + Cz + D=0 onde D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Omitimos a derivação desta expressão, que é bastante simples. Aqui notamos apenas que, conhecendo os coeficientes das variáveis na equação do plano, pode-se encontrar facilmente todos os vetores que são perpendiculares a ele. Estas últimas são chamadas de normais e são usadas no cálculo dos ângulos entre a inclinação e o plano e entreanálogos arbitrários.

A localização dos planos e a fórmula do ângulo entre eles

Digamos que existam dois planos. Quais são as opções para sua posição relativa no espaço. Como o plano tem duas dimensões infinitas e um zero, apenas duas opções de orientação mútua são possíveis:

elas serão paralelas entre si;
podem se sobrepor.

O ângulo entre os planos é o índice entre seus vetores de direção, ou seja, entre suas normais n₁¯ e n_2¯.

Obviamente, se eles são paralelos ao plano, então o ângulo de interseção é zero entre eles. Se eles se cruzam, então é diferente de zero, mas sempre nítido. Um caso especial de interseção será o ângulo 90o, quando os planos são mutuamente perpendiculares.

O ângulo α entre n₁¯ e n_{2¯ é facilmente determinado a partir do produto escalar desses vetores. Ou seja, a fórmula ocorre:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

Assuma que as coordenadas desses vetores são: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{). Então, usando as fórmulas para calcular o produto escalar e os módulos de vetores através de suas coordenadas, a expressão acima pode ser reescrita como:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

O módulo no numerador apareceu para excluir os valores dos ângulos obtusos.

Exemplos de resolução de problemas para determinar o ângulo de interseção de planos

Sabendo encontrar o ângulo entre os planos, vamos resolver o seguinte problema. Dois planos são dados, cujas equações são:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

Qual é o ângulo entre os planos?

Para responder a questão do problema, lembremos que os coeficientes das variáveis na equação geral do plano são as coordenadas do vetor guia. Para os planos indicados temos as seguintes coordenadas de suas normais:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

Agora encontramos o produto escalar desses vetores e seus módulos, temos:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

Agora você pode substituir os números encontrados na fórmula dada no parágrafo anterior. Obtemos:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

O valor resultante corresponde a um ângulo agudo de interseção dos planos especificados na condiçãotarefas.

Agora considere outro exemplo. Dados dois planos:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

Eles se cruzam? Vamos escrever os valores das coordenadas de seus vetores de direção, calcular seu produto escalar e módulos:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

Então o ângulo de interseção é:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

Este ângulo indica que os planos não se cruzam, mas são paralelos. O fato de não corresponderem é fácil de verificar. Vamos tomar para isso um ponto arbitrário pertencente ao primeiro deles, por exemplo, P(0; 3; 2). Substituindo suas coordenadas na segunda equação, obtemos:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

Ou seja, o ponto P pertence apenas ao primeiro plano.

Então dois planos são paralelos quando suas normais são.

Plano e linha reta

No caso de se considerar a posição relativa entre um plano e uma linha reta, há muito mais opções do que com dois planos. Este fato está relacionado com o fato de que a linha reta é um objeto unidimensional. Linha e plano podem ser:

mutuamente paralelo, neste caso o plano não intercepta a reta;
este último pode pertencer ao plano, mas também será paralelo a ele;
ambos os objetos podemse cruzam em algum ângulo.

Vamos considerar primeiro o último caso, pois requer a introdução do conceito de ângulo de interseção.

Linha e plano, o ângulo entre eles

Se uma linha reta intercepta um plano, então ela é chamada de inclinada em relação a ele. O ponto de interseção é chamado de base da inclinação. Para determinar o ângulo entre esses objetos geométricos, é necessário abaixar uma reta perpendicular ao plano de qualquer ponto. Então o ponto de interseção da perpendicular com o plano e o local de interseção da linha inclinada com ele formam uma linha reta. Este último é chamado de projeção da linha original no plano considerado. O ângulo agudo entre a linha e sua projeção é o necessário.

A definição um tanto confusa do ângulo entre um plano e um oblíquo esclarecerá a figura abaixo.

Aqui o ângulo ABO é o ângulo entre a linha AB e o plano a.

Para escrever a fórmula para isso, considere um exemplo. Seja uma reta e um plano, que são descritos pelas equações:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

É fácil calcular o ângulo desejado para esses objetos se você encontrar o produto escalar entre os vetores de direção da linha e o plano. O ângulo agudo resultante deve ser subtraído de 90o, então é obtido entre uma linha reta e um plano.

A figura acima mostra o algoritmo descrito para encontrarângulo considerado. Aqui β é o ângulo entre a normal e a linha, e α é entre a linha e sua projeção no plano. Pode-se ver que sua soma é 90o.

Acima, foi apresentada uma fórmula que responde à questão de como encontrar um ângulo entre planos. Agora damos a expressão correspondente para o caso de uma linha reta e um plano:

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

O módulo na fórmula permite que apenas ângulos agudos sejam calculados. A função arco-seno apareceu no lugar do arco-cosseno devido ao uso da fórmula de redução correspondente entre funções trigonométricas (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).

Problema: Um plano intercepta uma linha reta

Agora vamos mostrar como trabalhar com a fórmula acima. Vamos resolver o problema: é necessário calcular o ângulo entre o eixo y e o plano dado pela equação:

y - z + 12=0

Este avião é mostrado na imagem.

Você pode ver que ele intercepta os eixos yez nos pontos (0; -12; 0) e (0; 0; 12), respectivamente, e é paralelo ao eixo x.

O vetor de direção da reta y tem coordenadas (0; 1; 0). Um vetor perpendicular a um determinado plano é caracterizado por coordenadas (0; 1; -1). Aplicamos a fórmula para o ângulo de interseção de uma reta e um plano, obtemos:

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

Problema: reta paralela ao plano

Agora vamos decidirsemelhante ao problema anterior, cuja questão é colocada de forma diferente. As equações do plano e da reta são conhecidas:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

É necessário descobrir se esses objetos geométricos são paralelos entre si.

Temos dois vetores: a direção da reta é (0; 2; 2) e a direção do plano é (1; 1; -1). Encontre o produto escalar:

01 + 12 - 12=0

O zero resultante indica que o ângulo entre esses vetores é 90o, o que prova que a reta e o plano são paralelos.

Agora vamos verificar se esta linha é apenas paralela ou também está no plano. Para fazer isso, selecione um ponto arbitrário na linha e verifique se ele pertence ao plano. Por exemplo, vamos tomar λ=0, então o ponto P(1; 0; 0) pertence à linha. Substitua na equação do plano P:

1 - 3=-2 ≠ 0

O ponto P não pertence ao plano, o que significa que a reta inteira também não está nele.

Onde é importante conhecer os ângulos entre os objetos geométricos considerados?

As fórmulas acima e os exemplos de resolução de problemas não são apenas de interesse teórico. Eles são frequentemente usados para determinar importantes quantidades físicas de figuras tridimensionais reais, como prismas ou pirâmides. É importante poder determinar o ângulo entre os planos ao calcular os volumes das figuras e as áreas de suas superfícies. Além disso, se no caso de um prisma reto for possível não usar essas fórmulas para determinarvalores especificados, então para qualquer tipo de pirâmide seu uso é inevitável.

Abaixo, considere um exemplo de uso da teoria acima para determinar os ângulos de uma pirâmide com base quadrada.

Pirâmide e seus cantos

A figura abaixo mostra uma pirâmide, na base da qual se encontra um quadrado de lado a. A altura da figura é h. Precisa encontrar dois cantos:

entre a superfície lateral e a base;
entre a nervura lateral e a base.

Para resolver o problema, você deve primeiro inserir o sistema de coordenadas e determinar os parâmetros dos vértices correspondentes. A figura mostra que a origem das coordenadas coincide com o ponto no centro da base quadrada. Neste caso, o plano base é descrito pela equação:

z=0

Ou seja, para qualquer x e y, o valor da terceira coordenada é sempre zero. O plano lateral ABC intercepta o eixo z no ponto B(0; 0; h), e o eixo y no ponto com coordenadas (0; a/2; 0). Não cruza o eixo x. Isso significa que a equação do plano ABC pode ser escrita como:

y / (a / 2) + z / h=1 ou

2hy + az - ah=0

Vetor AB¯ é uma aresta lateral. Suas coordenadas inicial e final são: A(a/2; a/2; 0) e B(0; 0; h). Então as coordenadas do próprio vetor:

AB¯(-a/2; -a/2; h)

Encontramos todas as equações e vetores necessários. Agora resta usar as fórmulas consideradas.

Primeiro calculamos na pirâmide o ângulo entre os planos da basee lado. Os vetores normais correspondentes são: n₁¯(0; 0; 1) e n_{2¯(0; 2h; a). Então o ângulo será:}