Muitas vezes em física é preciso resolver problemas para calcular o equilíbrio em sistemas complexos que possuem muitas forças atuantes, alavancas e eixos de rotação. Neste caso, é mais fácil usar o conceito de momento de força. Este artigo fornece todas as fórmulas necessárias com explicações detalhadas que devem ser usadas para resolver problemas do tipo nomeado.
Do que vamos falar?
Muitas pessoas provavelmente notaram que se você agir com alguma força sobre um objeto fixado em um determinado ponto, ele começa a girar. Um exemplo marcante é a porta da casa ou do quarto. Se você pegá-lo pela alça e empurrá-lo (aplicar força), ele começará a abrir (gire as dobradiças). Esse processo é uma manifestação na vida cotidiana da ação de uma quantidade física, que é chamada de momento de força.
Do exemplo descrito com a porta segue-se que o valor em questão indica a capacidade de rotação da força, que é o seu significado físico. Também este valoré chamado de momento de torção.
Determinando o momento da força
Antes de definir a quantidade em consideração, vamos tirar uma foto simples.
Então, a figura mostra uma alavanca (azul), que é fixada no eixo (verde). Esta alavanca tem comprimento d e uma força F é aplicada em sua extremidade. O que acontecerá com o sistema neste caso? Isso mesmo, a alavanca começará a girar no sentido anti-horário quando vista de cima (observe que se você esticar um pouco a imaginação e imaginar que a vista é direcionada de baixo para a alavanca, ela girará no sentido horário).
Seja o ponto de fixação do eixo chamado O, e o ponto de aplicação da força - P. Então, podemos escrever a seguinte expressão matemática:
OP¯ F¯=M¯FO.
Onde OP¯ é o vetor que é direcionado do eixo para o final da alavanca, também é chamado de alavanca de força, F¯é a força aplicada pelo vetor ao ponto P, e M¯FO é o momento da força em relação ao ponto O (eixo). Esta fórmula é a definição matemática da quantidade física em questão.
Direção do momento e regra da mão direita
A expressão acima é um produto vetorial. Como você sabe, seu resultado também é um vetor perpendicular ao plano que passa pelos vetores multiplicadores correspondentes. Esta condição é satisfeita por duas direções do valor M¯FO (para baixo e para cima).
Para exclusivamentepara determinar, deve-se usar a chamada regra da mão direita. Ele pode ser formulado desta forma: se você dobrar quatro dedos da sua mão direita em um meio arco e direcionar este meio arco para que ele vá ao longo do primeiro vetor (o primeiro fator na fórmula) e vá até o final do a segunda, então o polegar saliente para cima indicará a direção do momento de torção. Observe também que antes de usar esta regra, você precisa definir os vetores multiplicados para que eles saiam do mesmo ponto (suas origens devem corresponder).
No caso da figura do parágrafo anterior, podemos dizer, aplicando a regra da mão direita, que o momento da força em relação ao eixo será direcionado para cima, ou seja, em nossa direção.
Além do método marcado para determinar a direção do vetor M¯FO, existem mais dois. Aqui estão eles:
- O momento de torção será direcionado de tal forma que se você olhar para a alavanca giratória a partir do final de seu vetor, esta se moverá contra o relógio. É geralmente aceito considerar essa direção do momento como positiva ao resolver vários tipos de problemas.
- Se você girar a verruma no sentido horário, o torque será direcionado para o movimento (aprofundamento) da verruma.
Todas as definições acima são equivalentes, então cada um pode escolher a que for mais conveniente para si.
Então, verificou-se que a direção do momento da força é paralela ao eixo em torno do qual gira a alavanca correspondente.
Força angular
Considere a figura abaixo.
Aqui também vemos uma alavanca de comprimento L fixada em um ponto (indicado por uma seta). Uma força F atua sobre ela, porém, ela é direcionada em um certo ângulo Φ (phi) para a alavanca horizontal. A direção do momento M¯FO neste caso será a mesma da figura anterior (por nossa conta). Para calcular o valor absoluto ou módulo dessa quantidade, você deve usar a propriedade de produto cruzado. Segundo ele, para o exemplo em consideração, você pode escrever a expressão: MFO=LFsin(180 o -Φ) ou, usando a propriedade seno, reescrevemos:
MFO=LFsin(Φ).
A figura também mostra um triângulo retângulo completo, cujos lados são a própria alavanca (hipotenusa), a linha de ação da força (perna) e o lado de comprimento d (a segunda perna). Dado que sin(Φ)=d/L, esta fórmula terá a forma: MFO=dF. Pode-se ver que a distância d é a distância do ponto de fixação da alavanca até a linha de ação da força, ou seja, d é a alavanca da força.
Ambas as fórmulas consideradas neste parágrafo, que decorrem diretamente da definição do momento de torção, são úteis na resolução de problemas práticos.
Unidades de torque
Usando a definição, pode-se estabelecer que o valor MFOdeve ser medido em newtons por metro (Nm). De fato, na forma dessas unidades, é usado no SI.
Observe que Nm é uma unidade de trabalho, que é expressa em joules, como energia. No entanto, joules não são utilizados para o conceito de momento de força, pois esse valor reflete justamente a possibilidade de implementação deste último. No entanto, há uma conexão com a unidade de trabalho: se, como resultado da força F, a alavanca é completamente girada em torno de seu ponto de articulação O, então o trabalho realizado será igual a A=MF O 2pi (2pi é o ângulo em radianos que corresponde a 360o). Neste caso, a unidade de torque MFO pode ser expressa em joules por radiano (J/rad.). Este último, junto com Hm, também é usado no sistema SI.
Teorema de Varignon
No final do século XVII, o matemático francês Pierre Varignon, estudando o equilíbrio de sistemas com alavancas, formulou pela primeira vez o teorema, que hoje leva seu sobrenome. É formulado da seguinte forma: o momento total de várias forças é igual ao momento da força resultante, que é aplicada a um certo ponto em relação ao mesmo eixo de rotação. Matematicamente, pode ser escrito da seguinte forma:
M¯1+M¯2 +…+M¯=M¯=d¯ ∑ i=1(F¯i)=d¯F¯.
Este teorema é conveniente para calcular os momentos de torção em sistemas com múltiplas forças atuantes.
A seguir, damos um exemplo de como usar as fórmulas acima para resolver problemas de física.
Problema com a chave
Um dosUm exemplo marcante de demonstrar a importância de levar em conta o momento da força é o processo de desapertar as porcas com uma chave. Para desaparafusar a porca, você precisa aplicar algum torque. É necessário calcular quanta força deve ser aplicada no ponto A para começar a desapertar a porca, se esta força no ponto B for 300 N (veja a figura abaixo).
Da figura acima, duas coisas importantes seguem: primeiro, a distância OB é o dobro de OA; em segundo lugar, as forças FA e FBsão direcionadas perpendicularmente à alavanca correspondente com o eixo de rotação coincidindo com o centro da porca (ponto O).
O momento de torque para este caso pode ser escrito na forma escalar da seguinte forma: M=OBFB=OAFA. Como OB/OA=2, essa igualdade só será válida se FA for 2 vezes maior que FB. Da condição do problema, obtemos que FA=2300=600 N. Ou seja, quanto maior a chave, mais fácil é desapertar a porca.
Problema com duas bolas de massas diferentes
A figura abaixo mostra um sistema que está em equilíbrio. É necessário encontrar a posição do fulcro se o comprimento da prancha for de 3 metros.
Como o sistema está em equilíbrio, a soma dos momentos de todas as forças é igual a zero. Existem três forças atuando na placa (os pesos das duas bolas e a força de reação do suporte). Como a força de apoio não cria um momento de torque (o comprimento da alavanca é zero), existem apenas dois momentos criados pelo peso das bolas.
Deixe o ponto de equilíbrio estar a uma distância x deborda contendo uma bola de 100 kg. Então podemos escrever a igualdade: M1-M2=0. Como o peso do corpo é determinado pela fórmula mg, então temos: m 1gx - m2g(3-x)=0. Reduzimos g e substituímos os dados, temos: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0,143 m ou 14,3 cm.
Assim, para que o sistema esteja em equilíbrio, é necessário estabelecer um ponto de referência a uma distância de 14,3 cm da borda, onde ficará uma bola de massa 100 kg.
