Em física, a consideração de problemas com corpos ou sistemas em rotação que estão em equilíbrio é realizada usando o conceito de "momento de força". Este artigo considerará a fórmula do momento de força, bem como seu uso para resolver esse tipo de problema.
Momento da força na física
Como observado na introdução, este artigo se concentrará em sistemas que podem girar em torno de um eixo ou em torno de um ponto. Considere um exemplo de tal modelo, mostrado na figura abaixo.
Vemos que a alavanca cinza está fixa no eixo de rotação. Na extremidade da alavanca há um cubo preto de alguma massa, sobre o qual atua uma força (seta vermelha). É intuitivamente claro que o resultado dessa força será a rotação da alavanca em torno do eixo no sentido anti-horário.
O momento da força é uma quantidade em física, que é igual ao produto vetorial do raio que liga o eixo de rotação e o ponto de aplicação da força (vetor verde na figura), e a força externa em si. Ou seja, a fórmula para o momento de força em relação ao eixo é escritada seguinte forma:
M¯=r¯F¯
O resultado deste produto é o vetor M¯. Sua direção é determinada com base no conhecimento de vetores multiplicadores, ou seja, r¯ e F¯. De acordo com a definição de produto vetorial, M¯ deve ser perpendicular ao plano formado pelos vetores r¯ e F¯, e dirigido de acordo com a regra da mão direita (se quatro dedos da mão direita forem colocados ao longo do primeiro multiplicado vetor no final do segundo, então o polegar indica para onde o vetor desejado é direcionado). Na figura, você pode ver para onde o vetor M¯ está direcionado (seta azul).
Notação escalar M¯
Na figura do parágrafo anterior, a força (seta vermelha) atua na alavanca em um ângulo de 90o. No caso geral, pode ser aplicado em absolutamente qualquer ângulo. Considere a imagem abaixo.
Aqui vemos que a força F já está agindo sobre a alavanca L em um certo ângulo Φ. Para este sistema, a fórmula para o momento da força em relação a um ponto (mostrado por uma seta) na forma escalar terá a forma:
M=LFsin(Φ)
Decorre da expressão que o momento da força M será tanto maior quanto maior for a direção de ação da força F do ângulo 90o em relação a L. Por outro lado, se F age ao longo de L, então sin(0)=0 e a força não cria nenhum momento (M=0).
Ao considerar o momento de força na forma escalar, o conceito de "alavanca de força" é frequentemente usado. Este valor é a distância entre o eixo (pontorotação) e o vetor F. Aplicando esta definição à figura acima, podemos dizer que d=Lsin(Φ) é a alavanca de força (a igualdade segue da definição da função trigonométrica "seno"). Através da alavanca de força, a fórmula para o momento M pode ser reescrita da seguinte forma:
M=dF
Significado físico de M
A grandeza física considerada determina a capacidade da força externa F de exercer um efeito rotacional no sistema. Para colocar o corpo em movimento rotacional, é necessário informá-lo de algum momento M.
Um excelente exemplo desse processo é abrir ou fechar a porta de uma sala. Segurando a maçaneta, a pessoa faz um esforço e gira a porta nas dobradiças. Todos podem fazê-lo. Se você tentar abrir a porta agindo sobre ela perto das dobradiças, precisará fazer grandes esforços para movê-la.
Outro exemplo é soltar uma porca com uma chave. Quanto mais curta for esta chave, mais difícil será completar a tarefa.
As características indicadas são demonstradas pela fórmula do momento de força sobre o ombro, que foi dada no parágrafo anterior. Se M for considerado um valor constante, então quanto menor d, maior F deve ser aplicado para criar um determinado momento de força.
Várias forças atuantes no sistema
Os casos foram considerados acima quando apenas uma força F atua sobre um sistema capaz de rotação, mas e se houver várias dessas forças? De fato, esta situação é mais frequente, pois forças podem atuar no sistemanatureza diferente (gravitacional, elétrica, fricção, mecânica e outras). Em todos esses casos, o momento de força resultante M¯ pode ser obtido usando a soma vetorial de todos os momentos Mi¯, ou seja:
M¯=∑i(Mi¯), onde i é o número de força Fi
Da propriedade da aditividade dos momentos segue uma importante conclusão, que é chamada de teorema de Varignon, em homenagem ao matemático do final do século XVII - início do século XVIII - o francês Pierre Varignon. Lê-se: "A soma dos momentos de todas as forças que atuam no sistema em consideração pode ser representada como um momento de uma força, que é igual à soma de todas as outras e é aplicada a um determinado ponto". Matematicamente, o teorema pode ser escrito da seguinte forma:
∑i(Mi¯)=M¯=d∑i (Fi¯)
Este importante teorema é frequentemente usado na prática para resolver problemas de rotação e equilíbrio de corpos.
Um momento de força funciona?
Analisando as fórmulas acima em forma escalar ou vetorial, podemos concluir que o valor de M dá algum trabalho. De fato, sua dimensão é Nm, que em SI corresponde ao joule (J). Na verdade, o momento da força não é trabalho, mas apenas uma quantidade capaz de realizá-lo. Para que isso aconteça, é necessário que haja um movimento circular no sistema e uma ação de longo prazo M. Portanto, a fórmula para o trabalho do momento da força é escrita da seguinte forma:
A=Mθ
BNesta expressão, θ é o ângulo pelo qual a rotação foi feita pelo momento da força M. Como resultado, a unidade de trabalho pode ser escrita como Nmrad ou Jrad. Por exemplo, um valor de 60 Jrad indica que quando girado por 1 radiano (aproximadamente 1/3 do círculo), a força F que cria o momento M fez 60 joules de trabalho. Esta fórmula é frequentemente usada na resolução de problemas em sistemas onde as forças de atrito atuam, como será mostrado abaixo.
Momento de força e momento de quantidade de movimento
Como mostrado, o impacto do momento M no sistema leva ao aparecimento de movimento rotacional nele. Este último é caracterizado por uma quantidade chamada "momentum". Pode ser calculado usando a fórmula:
L=Iω
Aqui I é o momento de inércia (um valor que desempenha o mesmo papel na rotação que a massa no movimento linear do corpo), ω é a velocidade angular, está relacionada com a velocidade linear pela fórmula ω=v/r.
Ambos os momentos (momento e força) estão relacionados entre si pela seguinte expressão:
M=Iα, onde α=dω / dt é a aceleração angular.
Vamos dar outra fórmula que é importante para resolver problemas de trabalho de momentos de forças. Usando esta fórmula, você pode calcular a energia cinética de um corpo em rotação. Ela se parece com isso:
Ek=1/2Iω2
A seguir, apresentamos dois problemas com soluções, onde mostramos como usar as fórmulas físicas consideradas.
Equilíbrio de vários corpos
A primeira tarefa está relacionada ao equilíbrio de um sistema no qual atuam várias forças. NoA figura abaixo mostra um sistema sob a ação de três forças. É necessário calcular qual a massa que o objeto deve ser suspenso desta alavanca e em que ponto deve ser feito para que este sistema fique em equilíbrio.
Das condições do problema, podemos entender que para resolvê-lo, deve-se usar o teorema de Varignon. A primeira parte do problema pode ser respondida imediatamente, pois o peso do objeto a ser pendurado na alavanca será:
P=F1 - F2 + F3=20 - 10 + 25=35 H
Os sinais aqui são escolhidos levando em consideração que a força que gira a alavanca no sentido anti-horário cria um momento negativo.
A posição do ponto d, onde este peso deve ser pendurado, é calculada pela fórmula:
M1 - M2 + M3=dP=720 - 510 + 325=d35=> d=165/35=4, 714 m
Observe que usando a fórmula do momento de gravidade, calculamos o valor equivalente M daquele criado por três forças. Para que o sistema fique em equilíbrio, é necessário suspender um corpo de 35 N no ponto 4.714 m do eixo do outro lado da alavanca.
Problema de movimentação do disco
A solução do problema a seguir é baseada no uso da fórmula para o momento da força de atrito e a energia cinética do corpo de revolução. Tarefa: Dado um disco com raio r=0,3 metros, que gira a uma velocidade de ω=1 rad/s. É necessário calcular a distância que ele pode percorrer na superfície se o coeficiente de atrito de rolamento for Μ=0,001.
Este problema é mais fácil de resolver se você usar a lei da conservação da energia. Temos a energia cinética inicial do disco. Quando começa a rolar, toda essa energia é gasta no aquecimento da superfície devido à ação da força de atrito. Igualando ambas as quantidades, obtemos a expressão:
Iω2/2=ΜN/rrθ
A primeira parte da fórmula é a energia cinética do disco. A segunda parte é o trabalho do momento da força de atrito F=ΜN/r, aplicada à aresta do disco (M=Fr).
Dado que N=mg e I=1/2mr2, calculamos θ:
θ=mr2 ω2/(4Μmg)=r 2 ω2/(4Μ g)=0, 32 1 2/(40,0019,81)=2,29358 rad
Como 2pi radianos correspondem ao comprimento de 2pir, obtemos que a distância necessária que o disco cobrirá é:
s=θr=2,293580,3=0,688m ou cerca de 69cm
Observe que a massa do disco não afeta este resultado.
