Série de Maclaurin e expansão de algumas funções

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2023-12-17 05:39

Estudantes de matemática superior devem estar cientes de que a soma de algumas séries de potências pertencentes ao intervalo de convergência da série dada acaba sendo uma função contínua e ilimitada de vezes diferenciada. Surge a questão: é possível afirmar que uma dada função arbitrária f(x) é a soma de alguma série de potências? Isto é, em que condições a função f(x) pode ser representada por uma série de potências? A importância desta questão está no fato de que é possível substituir aproximadamente a função f(x) pela soma dos primeiros termos da série de potências, ou seja, por um polinômio. Tal substituição de uma função por uma expressão bastante simples - um polinômio - também é conveniente ao resolver alguns problemas de análise matemática, a saber: ao resolver integrais, ao calcular equações diferenciais, etc.

Foi provado que para alguma função f(х) onde derivadas até (n+1)ª ordem, incluindo a última, podem ser calculadas na vizinhança (α _{- R; x}0 _{+ R) de algum ponto x=α a fórmula é válida:}

Esta fórmula recebeu o nome do famoso cientista Brook Taylor. A série obtida da anterior é chamada de série de Maclaurin:

A regra que torna possível expandir em uma série de Maclaurin:

1. Determine as derivadas da primeira, segunda, terceira… ordens.
2. Calcule a que as derivadas em x=0 são iguais.
3. Grave a série de Maclaurin para esta função, e então determine o intervalo de sua convergência.
4. Determine o intervalo (-R;R) onde o restante da fórmula de Maclaurin

R (x) -> 0 para n -> infinito. Se existir uma, a função f(x) nela deve coincidir com a soma da série de Maclaurin.

Agora considere a série de Maclaurin para funções individuais.

1. Então, o primeiro será f(x)=e^x. Claro que, de acordo com suas características, tal função tem derivadas de várias ordens, e f^(k)(x)=e^x, onde k é igual a todos números naturais. Vamos substituir x=0. Obtemos f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… ^{ficaria assim:}

2. A série de Maclaurin para a função f(x)=sin x. Esclareça imediatamente que a função para todas as incógnitas terá derivadas, além de f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sen x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), onde k é igual a qualquer número natural. Ou seja, depois de fazer cálculos simples, podemos chegar à conclusão de que a série para f(x)=sen x ficará assim:}

3. Agora vamos tentar considerar a função f(x)=cos x. Ela é para todo o desconhecidotem derivadas de ordem arbitrária, e |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Novamente, depois de fazer alguns cálculos, obtemos que a série para f(x)=cos x ficará assim:

Então, listamos as funções mais importantes que podem ser expandidas na série de Maclaurin, mas elas são complementadas pela série de Taylor para algumas funções. Agora vamos listá-los. Também vale a pena notar que as séries de Taylor e Maclaurin são uma parte importante da prática de resolver séries em matemática superior. Então, série de Taylor.

1. A primeira será uma série para f-ii f(x)=ln(1+x). Como nos exemplos anteriores, dado f (x)=ln (1 + x), podemos adicionar uma série usando a forma geral da série de Maclaurin. no entanto, para esta função, a série de Maclaurin pode ser obtida de forma muito mais simples. Depois de integrar uma certa série geométrica, obtemos uma série para f(x)=ln(1+x) desta amostra:

2. E a segunda, que será final em nosso artigo, será uma série para f (x) u003d arctg x. Para x pertencente ao intervalo [-1;1], a expansão é válida:

É isso. Este artigo examinou as séries de Taylor e Maclaurin mais comumente usadas em matemática superior, em particular, em universidades econômicas e técnicas.