A geometria é bonita porque, ao contrário da álgebra, onde nem sempre fica claro o que você pensa e por que, ela dá visibilidade ao objeto. Este maravilhoso mundo de vários corpos é decorado com poliedros regulares.
Informações gerais sobre poliedros regulares
De acordo com muitos, os poliedros regulares, ou como também são chamados de sólidos platônicos, possuem propriedades únicas. Várias hipóteses científicas estão associadas a esses objetos. Quando você começa a estudar esses corpos geométricos, você entende que não sabe praticamente nada sobre um conceito como poliedro regular. A apresentação desses objetos na escola nem sempre é interessante, por isso muitos nem lembram como são chamados. A maioria das pessoas se lembra apenas do cubo. Nenhum dos corpos em geometria é tão perfeito quanto os poliedros regulares. Todos os nomes desses corpos geométricos são originários da Grécia Antiga. Eles significam o número de faces: tetraedro - quatro lados, hexaedro - seis lados, octaedro - octaedro, dodecaedro - doze lados, icosaedro - vinte lados. Todos esses corpos geométricosocupou um lugar importante no conceito de universo de Platão. Quatro deles personificavam os elementos ou entidades: o tetraedro - fogo, o icosaedro - água, o cubo - terra, o octaedro - ar. O dodecaedro encarnava tudo o que existe. Era considerado o principal, pois era um símbolo do universo.
Generalização do conceito de poliedro
Um poliedro é uma coleção de um número finito de polígonos tal que:
- cada um dos lados de qualquer um dos polígonos é ao mesmo tempo o lado de apenas um outro polígono do mesmo lado;
- de cada um dos polígonos você pode chegar aos outros passando pelos polígonos adjacentes a ele.
Os polígonos que formam um poliedro são suas faces e seus lados são as arestas. Os vértices do poliedro são os vértices dos polígonos. Se o conceito de polígono é entendido como linhas quebradas fechadas e planas, chega-se a uma definição de poliedro. No caso em que este conceito significa uma parte do plano que é limitada por linhas quebradas, então uma superfície composta por peças poligonais deve ser entendida. Um poliedro convexo é um corpo deitado em um lado de um plano adjacente à sua face.
Outra definição de poliedro e seus elementos
Um poliedro é uma superfície composta por polígonos que limitam um corpo geométrico. São eles:
- não-convexo;
- convexo (correto e incorreto).
Um poliedro regular é um poliedro convexo com simetria máxima. Elementos de poliedros regulares:
- tetraedro: 6 arestas, 4 faces, 5 vértices;
- hexaedro (cubo): 12, 6, 8;
- dodecaedro: 30, 12, 20;
- octaedro: 12, 8, 6;
- icosaedro: 30, 20, 12.
Teorema de Euler
Estabelece uma relação entre o número de arestas, vértices e faces que são topologicamente equivalentes a uma esfera. Adicionando o número de vértices e faces (B + D) de vários poliedros regulares e comparando-os com o número de arestas, um padrão pode ser estabelecido: a soma do número de faces e vértices é igual ao número de arestas (P) aumentado por 2. Você pode derivar uma fórmula simples:
B + D=R + 2
Esta fórmula é válida para todos os poliedros convexos.
Definições básicas
O conceito de um poliedro regular não pode ser descrito em uma frase. É mais significativo e volumoso. Para que um organismo seja reconhecido como tal, ele deve atender a uma série de definições. Assim, um corpo geométrico será um poliedro regular se as seguintes condições forem atendidas:
- é convexo;
- o mesmo número de arestas convergem em cada um de seus vértices;
- todas suas faces são polígonos regulares, iguais entre si;
- todos os seus ângulos diedros são iguais.
Propriedades de poliedros regulares
Existem 5 tipos diferentes de poliedros regulares:
- Cubo (hexaedro) - tem um ângulo plano no topo é de 90°. Tem um ângulo de 3 lados. A soma dos ângulos planos no topo é 270°.
- Tetraedro - ângulo plano no topo - 60°. Tem um ângulo de 3 lados. A soma dos ângulos planos no topo é 180°.
- Octaedro - ângulo do vértice plano - 60°. Tem um canto de 4 lados. A soma dos ângulos planos no topo é 240°.
- Dodecaedro - ângulo plano no vértice 108°. Tem um ângulo de 3 lados. A soma dos ângulos planos no topo é 324°.
- Icosaedro - tem um ângulo plano no topo - 60°. Tem um ângulo de 5 lados. A soma dos ângulos planos no topo é 300°.
Área do poliedro regular
A área da superfície desses corpos geométricos (S) é calculada como a área de um polígono regular multiplicada pelo número de suas faces (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
O volume de um poliedro regular
Este valor é calculado multiplicando o volume de uma pirâmide regular, na base da qual existe um polígono regular, pelo número de faces, e sua altura é o raio da esfera inscrita (r):
V=1: 3rS
Volumes de poliedros regulares
Como qualquer outro corpo geométrico, os poliedros regulares possuem volumes diferentes. Abaixo estão as fórmulas pelas quais você pode calculá-los:
- tetraedro: α x 3√2: 12;
- octaedro: α x 3√2: 3;
- icosaedro; α x 3;
- hexaedro (cubo): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodecaedro: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elementos de poliedros regulares
Hexaedro e octaedro são corpos geométricos duais. Em outras palavras, eles podem ser obtidos um do outro se o centro de gravidade da face de um for tomado como vértice do outro e vice-versa. O icosaedro e o dodecaedro também são duais. Apenas o tetraedro é dual a si mesmo. De acordo com o método de Euclides, você pode obter um dodecaedro de um hexaedro construindo "telhados" nas faces de um cubo. Os vértices de um tetraedro serão quaisquer 4 vértices de um cubo que não são adjacentes em pares ao longo de uma aresta. Do hexaedro (cubo) você pode obter outros poliedros regulares. Apesar de existirem inúmeros polígonos regulares, existem apenas 5 poliedros regulares.
Raio de polígonos regulares
Existem 3 esferas concêntricas associadas a cada um desses corpos geométricos:
- descrito, passando por seus picos;
- inscrita, tocando cada uma de suas faces em seu centro;
- mediana, tocando todas as arestas no meio.
O raio da esfera descrita é calculado pela seguinte fórmula:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
O raio de uma esfera inscrita é calculado pela fórmula:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
onde θ é o ângulo diedro entre faces adjacentes.
O raio da esfera mediana pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
ρ=a cos π/p: 2 sen π/h,
onde h valor=4, 6, 6, 10 ou 10. A razão de raios circunscritos e inscritos é simétrica em relação a pe q. Istocalculado pela fórmula:
R/r=tg π/p x tg π/q
Simetria de poliedros
A simetria dos poliedros regulares causa o interesse principal nestes corpos geométricos. Entende-se como tal movimento do corpo no espaço, que deixa o mesmo número de vértices, faces e arestas. Em outras palavras, sob o efeito de uma transformação de simetria, uma aresta, vértice ou face mantém sua posição original ou se move para a posição original de outra aresta, vértice ou face.
Elementos de simetria de poliedros regulares são característicos de todos os tipos de tais corpos geométricos. Aqui estamos falando de uma transformação idêntica que deixa qualquer um dos pontos em sua posição original. Então, quando você gira um prisma poligonal, pode obter várias simetrias. Qualquer um deles pode ser representado como um produto de reflexões. Uma simetria que é o produto de um número par de reflexões é chamada de linha reta. Se for o produto de um número ímpar de reflexões, então é chamado de inverso. Assim, todas as rotações em torno de uma linha são de simetria direta. Qualquer reflexão de um poliedro é uma simetria inversa.
Para entender melhor os elementos de simetria de poliedros regulares, podemos tomar o exemplo de um tetraedro. Qualquer reta que passar por um dos vértices e pelo centro dessa figura geométrica também passará pelo centro da face oposta a ela. Cada uma das voltas de 120° e 240° em torno da linha é plural.simetria do tetraedro. Como tem 4 vértices e 4 faces, existem apenas oito simetrias diretas. Qualquer uma das linhas que passa pelo meio da borda e o centro desse corpo passa pelo meio da borda oposta. Qualquer rotação de 180°, chamada meia volta, em torno de uma linha reta é uma simetria. Como o tetraedro tem três pares de arestas, há mais três simetrias diretas. Com base no exposto, podemos concluir que o número total de simetrias diretas, incluindo a transformação idêntica, chegará a doze. O tetraedro não tem outras simetrias diretas, mas tem 12 simetrias inversas. Portanto, o tetraedro é caracterizado por um total de 24 simetrias. Para maior clareza, você pode construir um modelo de um tetraedro regular de papelão e certificar-se de que esse corpo geométrico realmente tenha apenas 24 simetrias.
O dodecaedro e o icosaedro estão mais próximos da esfera do corpo. O icosaedro tem o maior número de faces, o maior ângulo diedro e pode ser mais firmemente pressionado contra uma esfera inscrita. O dodecaedro tem o menor defeito angular, o maior ângulo sólido no vértice. Ele pode preencher sua esfera descrita ao máximo.
Varreduras de poliedros
Poliedros regulares desembrulhados, que todos colamos na infância, têm muitos conceitos. Se houver uma coleção de polígonos, cada lado identificado com apenas um lado do poliedro, a identificação dos lados deve atender a duas condições:
- de cada polígono, você pode passar por polígonos que têmlado identificado;
- lados identificados devem ter o mesmo comprimento.
É o conjunto de polígonos que satisfazem essas condições que é chamado de desenvolvimento do poliedro. Cada um desses órgãos tem vários deles. Assim, por exemplo, um cubo tem 11 deles.
