Segundos, tangentes - tudo isso pode ser ouvido centenas de vezes nas aulas de geometria. Mas a formatura da escola acabou, os anos passam e todo esse conhecimento é esquecido. O que deve ser lembrado?
Essência
O termo "tangente a um círculo" provavelmente é familiar para todos. Mas é improvável que todos consigam formular rapidamente sua definição. Enquanto isso, uma tangente é uma linha reta que se encontra no mesmo plano com um círculo que a intercepta em apenas um ponto. Pode haver uma enorme variedade deles, mas todos eles têm as mesmas propriedades, que serão discutidas abaixo. Como você pode imaginar, o ponto de contato é o lugar onde o círculo e a linha se cruzam. Em cada caso, é um, mas se houver mais, será uma secante.
História de descoberta e estudo
O conceito de tangente surgiu na antiguidade. A construção dessas linhas retas, primeiro para um círculo, e depois para elipses, parábolas e hipérboles com a ajuda de uma régua e um compasso, foi realizada ainda nos estágios iniciais do desenvolvimento da geometria. É claro que a história não preservou o nome do descobridor, masé óbvio que, mesmo naquela época, as pessoas estavam bem cientes das propriedades da tangente ao círculo.
Nos tempos modernos, o interesse por esse fenômeno ressurgiu - uma nova rodada de estudo desse conceito começou, combinada com a descoberta de novas curvas. Assim, Galileu introduziu o conceito de ciclóide, e Fermat e Descartes construíram uma tangente a ele. Quanto aos círculos, parece que não há segredos para os antigos nesta área.
Propriedades
O raio desenhado para o ponto de interseção será perpendicular à linha. Isso é
a principal, mas não a única propriedade que uma tangente a um círculo tem. Outra característica importante já inclui duas linhas retas. Assim, por um ponto fora do círculo, duas tangentes podem ser desenhadas, enquanto seus segmentos serão iguais. Existe outro teorema sobre este tópico, mas raramente é abordado no âmbito de um curso escolar padrão, embora seja extremamente conveniente para resolver alguns problemas. Parece isso. De um ponto localizado fora do círculo, uma tangente e uma secante são desenhadas para ele. Os segmentos AB, AC e AD são formados. A é a interseção das linhas, B é o ponto de contato, C e D são as interseções. Neste caso, valerá a seguinte igualdade: o comprimento da tangente ao círculo, ao quadrado, será igual ao produto dos segmentos AC e AD.
Do exposto há uma consequência importante. Para cada ponto do círculo, você pode construir uma tangente, mas apenas uma. A prova disso é bastante simples: teoricamente, soltando uma perpendicular do raio sobre ela, descobrimos que atriângulo não pode existir. E isso significa que a tangente é a única.
Construção
Entre outros problemas de geometria, há uma categoria especial, via de regra, não
amado por alunos e estudantes. Para resolver tarefas desta categoria, você só precisa de uma bússola e uma régua. Estas são tarefas de construção. Existem também métodos para construir uma tangente.
Então, dado um círculo e um ponto fora de seus limites. E é necessário traçar uma tangente através deles. Como fazer isso? Em primeiro lugar, você precisa desenhar um segmento entre o centro do círculo O e um determinado ponto. Então, usando um compasso, divida-o ao meio. Para fazer isso, você precisa definir o raio - um pouco mais da metade da distância entre o centro do círculo original e o ponto fornecido. Depois disso, você precisa construir dois arcos de interseção. Além disso, o raio da bússola não precisa ser alterado, e o centro de cada parte do círculo será o ponto inicial e O, respectivamente. As interseções dos arcos devem ser conectadas, o que dividirá o segmento ao meio. Defina um raio na bússola igual a esta distância. Em seguida, com o centro no ponto de interseção, desenhe outro círculo. Nele estarão tanto o ponto inicial quanto O. Neste caso, haverá mais duas interseções com o círculo dado no problema. Eles serão os pontos de contato para o ponto fornecido inicialmente.
Interessante
Foi a construção das tangentes ao círculo que levou ao nascimento de
cálculo diferencial. O primeiro trabalho sobre o tema foipublicado pelo famoso matemático alemão Leibniz. Ele previa a possibilidade de encontrar máximos, mínimos e tangentes, independentemente de valores fracionários e irracionais. Bem, agora também é usado para muitos outros cálculos.
Além disso, a tangente ao círculo está relacionada ao significado geométrico da tangente. É daí que vem o seu nome. Traduzido do latim, tangens significa "tangente". Assim, este conceito está ligado não apenas à geometria e ao cálculo diferencial, mas também à trigonometria.
Dois círculos
Nem sempre uma tangente afeta apenas uma forma. Se um grande número de linhas retas pode ser desenhado em um círculo, por que não vice-versa? Lata. Mas a tarefa neste caso é seriamente complicada, porque a tangente a dois círculos pode não passar por nenhum ponto, e a posição relativa de todas essas figuras pode ser muito
diferente.
Tipos e variedades
Quando se trata de dois círculos e uma ou mais linhas, mesmo que se saiba que são tangentes, não fica imediatamente claro como todas essas figuras estão localizadas uma em relação à outra. Com base nisso, existem várias variedades. Assim, os círculos podem ter um ou dois pontos em comum ou não tê-los. No primeiro caso, eles se cruzarão e, no segundo, eles se tocarão. E aqui existem duas variedades. Se um círculo está, por assim dizer, embutido no segundo, então o toque é chamado de interno, se não, então externo. entender mútuoa localização das figuras é possível não apenas com base no desenho, mas também com informações sobre a soma de seus raios e a distância entre seus centros. Se essas duas quantidades são iguais, então os círculos se tocam. Se o primeiro for maior, eles se cruzam, e se for menor, então eles não têm pontos em comum.
O mesmo com linhas retas. Para quaisquer dois círculos que não tenham pontos comuns, você pode
construa quatro tangentes. Dois deles se cruzarão entre as figuras, eles são chamados de internos. Alguns outros são externos.
Se estamos falando de círculos que têm um ponto comum, então a tarefa é bastante simplificada. O fato é que para qualquer arranjo mútuo neste caso, eles terão apenas uma tangente. E passará pelo ponto de sua interseção. Então a construção da dificuldade não causará.
Se as figuras têm dois pontos de interseção, então uma linha reta pode ser construída para elas, tangente ao círculo, tanto um como o segundo, mas apenas o externo. A solução para este problema é semelhante ao que será discutido abaixo.
Resolução de problemas
Tanto as tangentes internas quanto as externas a dois círculos não são tão fáceis de construir, embora este problema possa ser resolvido. O fato é que uma figura auxiliar é usada para isso, então pense neste método você mesmo
bastante problemático. Então, dados dois círculos com raios e centros diferentes O1 e O2. Para eles, você precisa construir dois pares de tangentes.
Primeiro de tudo, perto do centro do maiorcírculos precisam ser construídos auxiliar. Neste caso, a diferença entre os raios das duas figuras iniciais deve ser estabelecida na bússola. As tangentes ao círculo auxiliar são construídas a partir do centro do círculo menor. Depois disso, a partir de O1 e O2, são traçadas perpendiculares a essas linhas até cruzarem com as figuras originais. Como segue da propriedade principal da tangente, os pontos desejados em ambos os círculos são encontrados. Problema resolvido, pelo menos a primeira parte dele.
Para construir tangentes internas, você terá que resolver praticamente
uma tarefa semelhante. Novamente, é necessária uma figura auxiliar, mas desta vez seu raio será igual à soma dos originais. As tangentes são construídas a partir do centro de um dos círculos dados. O curso da solução pode ser entendido a partir do exemplo anterior.
Tangente a um círculo ou mesmo dois ou mais não é uma tarefa tão difícil. É claro que os matemáticos há muito deixaram de resolver esses problemas manualmente e confiam os cálculos a programas especiais. Mas não pense que agora não é necessário fazer isso sozinho, porque para formular corretamente uma tarefa para um computador, você precisa fazer e entender muito. Infelizmente, há temores de que, após a transição final para a forma de teste de controle de conhecimento, as tarefas de construção causem cada vez mais dificuldades aos alunos.
Quanto a encontrar tangentes comuns para mais círculos, nem sempre é possível, mesmo que estejam no mesmo plano. Mas em alguns casos você pode encontrar uma linha reta.
Exemplos de vida
Uma tangente comum a dois círculos é frequentemente encontrada na prática, embora nem sempre seja perceptível. Transportadores, sistemas de blocos, correias de transmissão de polias, tensão da linha em uma máquina de costura e até mesmo uma corrente de bicicleta - todos esses são exemplos da vida. Portanto, não pense que os problemas geométricos ficam apenas na teoria: na engenharia, física, construção e muitas outras áreas, eles encontram aplicações práticas.
