Leonhard Euler (1707-1783) - famoso matemático suíço e russo, membro da Academia de Ciências de São Petersburgo, viveu a maior parte de sua vida na Rússia. O mais famoso em análise matemática, estatística, ciência da computação e lógica é o círculo de Euler (diagrama de Euler-Venn), usado para denotar o escopo de conceitos e conjuntos de elementos.
John Venn (1834-1923) - Filósofo e lógico inglês, coautor do diagrama de Euler-Venn.
Conceitos compatíveis e incompatíveis
Sob o conceito em lógica significa uma forma de pensar que reflete as características essenciais de uma classe de objetos homogêneos. Eles são denotados por uma ou um grupo de palavras: “mapa do mundo”, “acorde de quinta com sétima dominante”, “segunda-feira”, etc.
No caso em que os elementos do escopo de um conceito pertencem total ou parcialmente ao escopo de outro, fala-se de conceitos compatíveis. Se, no entanto, nenhum elemento do escopo de um determinado conceito pertencer ao escopo de outro, temos conceitos incompatíveis.
Por sua vez, cada tipo de conceito tem seu próprio conjunto de relações possíveis. Para conceitos compatíveis, estes são:
- identidade (equivalência) de volumes;
- cruzamento (correspondência parcial)volumes;
- subordinação (subordinação).
Para incompatível:
- subordinação (coordenação);
- oposto (contraralidade);
- contradição (contradição).
Esquematicamente, as relações entre conceitos em lógica são geralmente denotadas usando círculos de Euler-Venn.
Relações equivalentes
Neste caso, os conceitos significam o mesmo assunto. Assim, os volumes desses conceitos são completamente os mesmos. Por exemplo:
A - Sigmund Freud;
B é o fundador da psicanálise.
Ou:
A é um quadrado;
B é um retângulo equilátero;
C é um losango equiangular.
Círculos de Euler completamente coincidentes são usados para designação.
Interseção (correspondência parcial)
Esta categoria inclui conceitos que possuem elementos comuns em relação ao cruzamento. Ou seja, o volume de um dos conceitos está parcialmente incluído no volume do outro:
A - professor;
B é um amante da música.
Como pode ser visto neste exemplo, os volumes de conceitos coincidem parcialmente: um certo grupo de professores pode vir a ser amantes da música, e vice-versa - pode haver representantes da profissão docente entre os amantes da música. Uma atitude semelhante será no caso em que o conceito A é, por exemplo, um “cidadão” e B é um “motorista”.
Subordinação (subordinação)
Esquematicamente denotado como círculos de Euler de diferentes escalas. Relaçõesentre os conceitos neste caso são caracterizados pelo fato de que o conceito subordinado (menor em volume) está completamente incluído no subordinado (maior em volume). Ao mesmo tempo, o conceito subordinado não esgota completamente o subordinado.
Por exemplo:
A - árvore;
B - pinho.
O conceito B será subordinado ao conceito A. Como o pinheiro pertence às árvores, o conceito A neste exemplo torna-se subordinado, "absorvendo" o escopo do conceito B.
Coordenação (coordenação)
Relação caracteriza dois ou mais conceitos que se excluem, mas pertencem a um certo círculo genérico comum. Por exemplo:
A – clarinete;
B - guitarra;
C - violino;
D é um instrumento musical.
Os conceitos A, B, C não se cruzam entre si, porém, todos pertencem à categoria de instrumentos musicais (o conceito D).
Oposto (contrário)
Relações opostas entre conceitos implicam que esses conceitos pertencem ao mesmo gênero. Ao mesmo tempo, um dos conceitos tem certas propriedades (características), enquanto o outro as nega, substituindo-as por outras opostas na natureza. Assim, estamos lidando com antônimos. Por exemplo:
A é um anão;
B é um gigante.
Círculo de Euler com relações opostas entre conceitosé dividido em três segmentos, sendo que o primeiro corresponde ao conceito A, o segundo ao conceito B e o terceiro a todos os outros conceitos possíveis.
Contradição (contradição)
Neste caso, ambos os conceitos são espécies do mesmo gênero. Como no exemplo anterior, um dos conceitos indica certas qualidades (características), enquanto o outro as nega. No entanto, em contraste com a relação de opostos, o segundo conceito oposto não substitui as propriedades negadas por outras alternativas. Por exemplo:
A é uma tarefa difícil;
B é uma tarefa fácil (não-A).
Expressando o volume de conceitos desse tipo, o círculo de Euler é dividido em duas partes - o terceiro elo intermediário neste caso não existe. Assim, os conceitos também são antônimos. Ao mesmo tempo, um deles (A) torna-se positivo (afirmando algum recurso), e o segundo (B ou não-A) torna-se negativo (negando o recurso correspondente): “white paper” - “not white paper”, “história nacional” – “história estrangeira”, etc.
Assim, a razão dos volumes dos conceitos entre si é uma característica chave que define os círculos de Euler.
Relações entre conjuntos
Também é necessário distinguir entre os conceitos de elementos e conjuntos, cujo volume é representado por círculos de Euler. O conceito de conjunto é emprestado da ciência matemática e tem um significado bastante amplo. Exemplos em lógica e matemática o exibem como um certo conjunto de objetos. Os próprios objetos sãoelementos deste conjunto. "Muitos são muitos pensados como um" (Georg Kantor, fundador da teoria dos conjuntos).
Conjuntos são designados em letras maiúsculas: A, B, C, D… etc., elementos de conjuntos são designados em letras minúsculas: a, b, c, d… etc. Exemplos de um conjunto podem ser alunos que estão em uma sala de aula, livros em uma determinada estante (ou, por exemplo, todos os livros em uma determinada biblioteca), páginas em um diário, bagas em uma clareira na floresta, etc.
Por sua vez, se um determinado conjunto não contém um único elemento, ele é chamado de vazio e denotado pelo sinal Ø. Por exemplo, o conjunto de pontos de interseção de linhas paralelas, o conjunto de soluções para a equação x2=-5.
Resolução de problemas
Os círculos de Euler são usados ativamente para resolver um grande número de problemas. Exemplos em lógica demonstram claramente a conexão entre operações lógicas e teoria dos conjuntos. Neste caso, são utilizadas tabelas-verdade de conceitos. Por exemplo, o círculo rotulado A representa a região de verdade. Portanto, a área fora do círculo representará falso. Para determinar a área do diagrama para uma operação lógica, você deve sombrear as áreas que definem o círculo de Euler, em que seus valores para os elementos A e B serão verdadeiros.
O uso dos círculos de Euler encontrou ampla aplicação prática em várias indústrias. Por exemplo, em uma situação com uma escolha profissional. Se o sujeito está preocupado com a escolha de uma futura profissão, ele pode se orientar pelos seguintes critérios:
W – o que eu gosto de fazer?
D – o que estou fazendo?
P– como posso ganhar um bom dinheiro?
Vamos desenhar isso como um diagrama: Círculos de Euler (exemplos em lógica - relação de interseção):
O resultado serão as profissões que estarão na interseção dos três círculos.
Os círculos de Euler-Venn ocupam um lugar separado na matemática (teoria dos conjuntos) ao calcular combinações e propriedades. Os círculos de Euler do conjunto de elementos estão incluídos na imagem de um retângulo que denota o conjunto universal (U). Em vez de círculos, outras figuras fechadas também podem ser usadas, mas a essência disso não muda. As figuras se cruzam, de acordo com as condições do problema (no caso mais geral). Além disso, esses números devem ser rotulados de acordo. Os elementos dos conjuntos considerados podem ser pontos localizados dentro de diferentes segmentos do diagrama. Com base nele, você pode sombrear áreas específicas, designando assim os conjuntos recém-formados.
Com estes conjuntos é possível realizar operações matemáticas básicas: adição (soma de conjuntos de elementos), subtração (diferença), multiplicação (produto). Além disso, graças aos diagramas de Euler-Venn, é possível comparar conjuntos pelo número de elementos incluídos neles, sem contar.
