Qualquer quantidade física que é proposta em equações matemáticas no estudo de um determinado fenômeno natural tem algum significado. O momento de inércia não é exceção a esta regra. O significado físico desta quantidade é discutido em detalhes neste artigo.
Momento de inércia: formulação matemática
Em primeiro lugar, deve-se dizer que a grandeza física em consideração é usada para descrever sistemas de rotação, ou seja, tais movimentos de um objeto que são caracterizados por trajetórias circulares em torno de algum eixo ou ponto.
Vamos dar a fórmula matemática para o momento de inércia de um ponto material:
I=mr2.
Aqui m e r são a massa da partícula e o raio de rotação (distância ao eixo), respectivamente. Qualquer corpo sólido, por mais complexo que seja, pode ser dividido mentalmente em pontos materiais. Então a fórmula para o momento de inércia na forma geral ficará assim:
I=∫mr2dm.
Esta expressão é sempre verdadeira, e não apenas para tridimensional,mas também para corpos bidimensionais (unidimensionais), isto é, para planos e barras.
A partir dessas fórmulas é difícil entender o significado do momento físico de inércia, mas uma conclusão importante pode ser tirada: depende da distribuição da massa no corpo que gira, bem como da distância até o eixo de rotação. Além disso, a dependência de r é mais acentuada do que de m (veja o sinal quadrado nas fórmulas).
Movimento Circular
Entenda qual é o significado físico do momento de inércia, é impossível se você não considerar o movimento circular dos corpos. Sem entrar em detalhes, aqui estão duas expressões matemáticas que descrevem a rotação:
I1ω1=I2ω 2;
M=I dω/dt.
A equação superior é chamada de lei de conservação da quantidade L (momento). Isso significa que não importa quais mudanças ocorram dentro do sistema (no início houve um momento de inércia I1, e então se tornou igual a I2), o produto I pela velocidade angular ω, ou seja, o momento angular, permanecerá in alterado.
A expressão inferior demonstra a mudança na velocidade de rotação do sistema (dω/dt) quando lhe é aplicado um determinado momento de força M, que tem caráter externo, ou seja, é gerado por forças não relacionados a processos internos no sistema em consideração.
Ambas as igualdades superior e inferior contêm I, e quanto maior seu valor, menor a velocidade angular ω ou aceleração angular dω/dt. Este é o significado físico do momento.inércia do corpo: reflete a capacidade do sistema de manter sua velocidade angular. Quanto mais eu, mais forte essa habilidade se manifesta.
Analogia do momento linear
Agora vamos passar para a mesma conclusão que foi expressa no final do parágrafo anterior, traçando uma analogia entre movimento rotacional e translacional na física. Como você sabe, este último é descrito pela seguinte fórmula:
p=mv.
Esta expressão simples determina o momento do sistema. Vamos comparar sua forma com a do momento angular (veja a expressão superior no parágrafo anterior). Vemos que os valores v e ω têm o mesmo significado: o primeiro caracteriza a taxa de variação das coordenadas lineares do objeto, o segundo caracteriza as coordenadas angulares. Como ambas as fórmulas descrevem o processo de movimento uniforme (equiangular), os valores m e I também devem ter o mesmo significado.
Agora considere a 2ª lei de Newton, que é expressa pela fórmula:
F=ma.
Atentando para a forma da igualdade inferior no parágrafo anterior, temos uma situação semelhante à considerada. O momento da força M em sua representação linear é a força F, e a aceleração linear a é completamente análoga à angular dω/dt. E novamente chegamos à equivalência de massa e momento de inércia.
Qual é o significado da massa na mecânica clássica? É uma medida de inércia: quanto maior m, mais difícil é mover o objeto de seu lugar, e mais ainda dar-lhe aceleração. O mesmo pode ser dito sobre o momento de inércia em relação ao movimento de rotação.
Significado físico do momento de inércia em um exemplo doméstico
Vamos fazer uma pergunta simples sobre como é mais fácil girar uma barra de metal, por exemplo, um vergalhão - quando o eixo de rotação é direcionado ao longo de seu comprimento ou quando é transversal? Claro, é mais fácil girar a haste no primeiro caso, porque seu momento de inércia para tal posição do eixo será muito pequeno (para uma haste fina, é igual a zero). Portanto, basta segurar um objeto entre as palmas das mãos e com um leve movimento girá-lo.
Aliás, o fato descrito foi comprovado experimentalmente por nossos ancestrais na antiguidade, quando aprenderam a fazer fogo. Eles giraram o bastão com enormes acelerações angulares, o que levou à criação de grandes forças de atrito e, como resultado, à liberação de uma quantidade significativa de calor.
Um volante de carro é um excelente exemplo de uso de um grande momento de inércia
Para concluir, gostaria de dar talvez o exemplo mais importante para a tecnologia moderna de usar o significado físico do momento de inércia. O volante de um carro é um disco de aço sólido com raio e massa relativamente grandes. Esses dois valores determinam a existência de um valor significativo I que o caracteriza. O volante é projetado para "suavizar" quaisquer efeitos de força no virabrequim do carro. A natureza impulsiva dos momentos atuantes das forças dos cilindros do motor para o virabrequim é suavizada e suavizada graças ao volante pesado.
A propósito, quanto maior o momento angular, maismais energia está em um sistema rotativo (analogia com massa). Os engenheiros querem usar esse fato, armazenando a energia de frenagem de um carro no volante, para posteriormente direcioná-lo para acelerar o veículo.
