Aceleração tangencial ou tangencial

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2024-01-02 17:54

Todos os corpos que nos cercam estão em constante movimento. O movimento dos corpos no espaço é observado em todos os níveis de escala, começando com o movimento das partículas elementares nos átomos da matéria e terminando com o movimento acelerado das galáxias no Universo. Em qualquer caso, o processo de movimento ocorre com aceleração. Neste artigo, consideraremos em detalhes o conceito de aceleração tangencial e forneceremos uma fórmula pela qual ela pode ser calculada.

Quantidades cinemáticas

Antes de falar sobre a aceleração tangencial, vamos considerar que grandezas costuma-se caracterizar o movimento mecânico arbitrário dos corpos no espaço.

Primeiro de tudo, este é o caminho L. Ele mostra a distância em metros, centímetros, quilômetros, e assim por diante, que o corpo percorreu por um determinado período de tempo.

A segunda característica importante na cinemática é a velocidade do corpo. Ao contrário do caminho, é uma grandeza vetorial e é direcionada ao longo da trajetóriamovimentos do corpo. A velocidade determina a taxa de mudança das coordenadas espaciais no tempo. A fórmula para calcular é:

v¯=dL/dt

Speed é a derivada do tempo do caminho.

Finalmente, a terceira característica importante do movimento dos corpos é a aceleração. De acordo com a definição da física, a aceleração é uma quantidade que determina a mudança na velocidade com o tempo. A fórmula para isso pode ser escrita como:

a¯=dv¯/dt

A aceleração, como a velocidade, também é uma grandeza vetorial, mas ao contrário dela, é direcionada na direção da mudança de velocidade. A direção da aceleração também coincide com o vetor da força resultante que atua sobre o corpo.

Trajetória e aceleração

Muitos problemas em física são considerados dentro da estrutura do movimento retilíneo. Neste caso, via de regra, eles não falam sobre a aceleração tangencial do ponto, mas trabalham com aceleração linear. No entanto, se o movimento do corpo não for linear, sua aceleração total pode ser decomposta em dois componentes:

tangente;
normal.

No caso de movimento linear, a componente normal é zero, então não falamos sobre a expansão vetorial da aceleração.

Assim, a trajetória do movimento determina em grande parte a natureza e os componentes da aceleração total. A trajetória do movimento é entendida como uma linha imaginária no espaço ao longo da qual o corpo se move. Algumuma trajetória curvilínea leva ao aparecimento de componentes de aceleração diferentes de zero observados acima.

Determinação da aceleração tangencial

Tangential ou, como também é chamada, a aceleração tangencial é uma componente da aceleração total, que é direcionada tangencialmente à trajetória do movimento. Como a velocidade também é direcionada ao longo da trajetória, o vetor de aceleração tangencial coincide com o vetor de velocidade.

O conceito de aceleração como medida da variação da velocidade foi dado acima. Como a velocidade é um vetor, ela pode ser alterada em módulo ou direcionalmente. A aceleração tangencial determina apenas a mudança no módulo de velocidade.

Observe que no caso do movimento retilíneo, o vetor velocidade não muda sua direção, portanto, de acordo com a definição acima, a aceleração tangencial e a aceleração linear são o mesmo valor.

Obtendo a equação da aceleração tangencial

Assuma que o corpo se move ao longo de uma trajetória curva. Então sua velocidade v¯ no ponto escolhido pode ser representada da seguinte forma:

v¯=vu_t¯

Aqui v é o módulo do vetor v¯, u_{t¯ é o vetor de velocidade unitária direcionado tangencialmente à trajetória.}

Usando a definição matemática de aceleração, temos:

a¯=dv¯/dt=d(vu_t¯)/dt=dv/dtu_t ¯ + vd(u_t¯)/dt

Ao encontrar a derivada, foi usada aqui a propriedade do produto de duas funções. Vemos que a aceleração total a¯ no ponto considerado corresponde à soma de dois termos. Eles são a aceleração tangente e normal do ponto, respectivamente.

Vamos dizer algumas palavras sobre aceleração normal. Ele é responsável por mudar o vetor velocidade, ou seja, por mudar a direção do movimento do corpo ao longo da curva. Se calcularmos explicitamente o valor do segundo termo, obtemos a fórmula da aceleração normal:

a=vd(u_t¯)/dt=v^{2/ r}

A aceleração normal é direcionada ao longo da normal restaurada ao ponto dado da curva. No caso do movimento circular, a aceleração normal é centrípeta.

Equação de aceleração tangencial a_{t¯ is:}

a_t¯=dv/dtu_t¯

Esta expressão diz que a aceleração tangencial não corresponde a uma mudança de direção, mas a uma mudança no módulo de velocidade v¯ em um momento de tempo. Como a aceleração tangencial é direcionada tangencialmente ao ponto considerado da trajetória, ela é sempre perpendicular à componente normal.

Aceleração tangencial e módulo de aceleração total

Foi apresentada toda a informação acima que permite calcular a aceleração total pela tangente e pela normal. De fato, como ambos os componentes são mutuamente perpendiculares, seus vetores formam os catetos de um triângulo retângulo,cuja hipotenusa é o vetor aceleração total. Este fato nos permite escrever a fórmula para o módulo de aceleração total na seguinte forma:

a=√(a² + a_t²⁾

O ângulo θ entre a aceleração total e a aceleração tangencial pode ser definido da seguinte forma:

θ=arccos(a_t/a)

Quanto maior a aceleração tangencial, mais próximas são as direções da aceleração tangencial e total.

Relação entre aceleração tangencial e angular

Uma típica trajetória curvilínea ao longo da qual os corpos se movem na tecnologia e na natureza é um círculo. De fato, o movimento de engrenagens, lâminas e planetas em torno de seu próprio eixo ou em torno de suas luminárias ocorre precisamente em círculo. O movimento correspondente a esta trajetória é chamado de rotação.

A cinemática da rotação é caracterizada pelos mesmos valores que a cinemática do movimento ao longo de uma linha reta, porém, possuem um caráter angular. Assim, para descrever a rotação, são utilizados o ângulo de rotação central θ, a velocidade angular ω e a aceleração α. As seguintes fórmulas são válidas para essas quantidades:

ω=dθ/dt;

α=dω/dt

Assuma que o corpo fez uma revolução em torno do eixo de rotação no tempo t, então para a velocidade angular podemos escrever:

ω=2pi/t

Velocidade linear neste caso será igual a:

v=2pir/t

Onde r é o raio da trajetória. As duas últimas expressões nos permitem escrevera fórmula para a conexão de duas velocidades:

v=ωr

Agora calculamos a derivada temporal dos lados esquerdo e direito da equação, obtemos:

dv/dt=rdω/dt

O lado direito da igualdade é o produto da aceleração angular pelo raio do círculo. O lado esquerdo da equação é a mudança no módulo de velocidade, ou seja, a aceleração tangencial.

Assim, a aceleração tangencial e um valor angular semelhante estão relacionados por igualdade:

a_t=αr

Se assumirmos que o disco está girando, então a aceleração tangencial de um ponto em um valor constante de α aumentará linearmente com o aumento da distância deste ponto ao eixo de rotação r.

A seguir, vamos resolver dois problemas usando as fórmulas acima.

Determinação da aceleração tangencial a partir de uma função de velocidade conhecida

Sabe-se que a velocidade de um corpo que se move ao longo de uma certa trajetória curva é descrita pela seguinte função do tempo:

v=2t2+ 3t + 5

É necessário determinar a fórmula da aceleração tangencial e encontrar seu valor no tempo t=5 segundos.

Primeiro, vamos escrever a fórmula para o módulo de aceleração tangencial:

a_t=dv/dt

Ou seja, para calcular a função a_{t(t), você deve determinar a derivada da velocidade em relação ao tempo. Temos:}

a_t=d(2t^{2+ 3t + 5)/dt=4t + 3}

Substituindo o tempo t=5 segundos na expressão resultante, chegamos à resposta: a_t=23 m/s^2.

Observe que o gráfico da velocidade versus tempo neste problema é uma parábola, enquanto o gráfico da aceleração tangencial é uma linha reta.

Tarefa de aceleração tangencial

Sabe-se que o ponto material iniciou uma rotação uniformemente acelerada a partir do momento zero do tempo. 10 segundos após o início da rotação, sua aceleração centrípeta tornou-se igual a 20 m/s2. É necessário determinar a aceleração tangencial de um ponto após 10 segundos, se for conhecido que o raio de rotação é de 1 metro.

Primeiro, escreva a fórmula da aceleração centrípeta ou normal a_c: