Conhecer a distância de um ponto a um plano ou a uma linha reta permite calcular o volume e a área da superfície das figuras no espaço. O cálculo desta distância na geometria é realizado usando as equações correspondentes para os objetos geométricos especificados. No artigo mostraremos quais fórmulas podem ser usadas para determiná-lo.
Equações de linhas e planos
Antes de dar fórmulas para determinar a distância de um ponto a um plano e a uma reta, vamos mostrar quais equações descrevem esses objetos.
Para definir um ponto, é usado um conjunto de coordenadas no sistema de eixos de coordenadas fornecido. Aqui vamos considerar apenas o sistema retangular cartesiano em que os eixos têm os mesmos vetores unitários e são mutuamente perpendiculares. Em um plano, um ponto arbitrário é descrito por duas coordenadas, no espaço - por três.
Diferentes tipos de equações são usados para definir uma linha reta. De acordo com o tema do artigo, apresentamosapenas dois deles, que são usados no espaço bidimensional para definir linhas.
Equação vetorial. Tem a seguinte notação:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
O primeiro termo aqui representa as coordenadas de um ponto conhecido sobre a reta. O segundo termo são as coordenadas do vetor de direção multiplicadas por um número arbitrário λ.
Equação geral. Sua notação é a seguinte:
Ax + By + C=0;
onde A, B, C são alguns coeficientes.
A equação geral é mais frequentemente usada para determinar linhas em um plano, no entanto, para encontrar a distância de um ponto a uma linha em um plano, é mais conveniente trabalhar com uma expressão vetorial.
Um plano no espaço tridimensional também pode ser escrito de várias maneiras matemáticas. No entanto, na maioria das vezes em problemas há uma equação geral, que é escrita da seguinte forma:
Ax + By + Cz + D=0.
A vantagem desta notação em relação às demais é que ela contém explicitamente as coordenadas de um vetor perpendicular ao plano. Esse vetor é chamado de guia para ele, coincide com a direção da normal e suas coordenadas são iguais a (A; B; C).
Observe que a expressão acima coincide com a forma de escrever uma equação geral para uma linha reta no espaço bidimensional, portanto, ao resolver problemas, você deve ter cuidado para não confundir esses objetos geométricos.
Distância entre ponto e linha
Vamos mostrar como calcular a distância entre uma linha reta eponto no espaço bidimensional.
Tenha algum ponto Q(x1; y1) e uma reta dada por:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
A distância entre uma linha e um ponto é entendida como o comprimento de um segmento perpendicular a esta linha, baixado sobre ela a partir do ponto Q.
Antes de calcular esta distância, você deve substituir as coordenadas Q nesta equação. Se eles satisfazem, então Q pertence à linha dada e a distância correspondente é igual a zero. Se as coordenadas do ponto não levam à igualdade, então a distância entre os objetos geométricos é diferente de zero. Pode ser calculado usando a fórmula:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Aqui P é um ponto arbitrário da linha reta, que é o início do vetor PQ¯. O vetor u¯ é um segmento guia para uma linha reta, ou seja, suas coordenadas são (a; b).
O uso desta fórmula requer a capacidade de calcular o produto vetorial no numerador.
Problema com ponto e reta
Digamos que você precise encontrar a distância entre Q(-3; 1) e uma linha reta que satisfaça a equação:
y=5x -2.
Substituindo as coordenadas de Q na expressão, podemos ter certeza de que Q não está na linha. Você pode aplicar a fórmula para d dada no parágrafo acima se representar esta equação na forma vetorial. Vamos fazer assim:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Agora vamos pegar qualquer ponto desta reta, por exemplo (0; -2), e construir um vetor começando nele e terminando em Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Agora aplique a fórmula para determinar a distância, temos:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Distância do ponto ao plano
Como no caso de uma linha reta, a distância entre um plano e um ponto no espaço é entendida como o comprimento do segmento, que a partir de um determinado ponto desce perpendicularmente ao plano e o intercepta.
No espaço, um ponto é dado por três coordenadas. Se eles são iguais a (x1; y1; z1), então a distância entre os plano e esse ponto pode ser calculado usando a fórmula:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Observe que usar a fórmula permite encontrar apenas a distância do plano à reta. Para encontrar as coordenadas do ponto em que um segmento perpendicular intercepta um plano, é necessário escrever uma equação para a reta à qual esse segmento pertence e, em seguida, encontrar um ponto comum para essa reta e um determinado plano.
Problema com um plano e um ponto
Encontre a distância de um ponto a um plano se for conhecido que o ponto tem coordenadas (3; -1; 2) e o plano é dado por:
-y + 3z=0.
Para usar a fórmula correspondente, primeiro escrevemos os coeficientes paradado plano. Como a variável x e o termo livre estão ausentes, os coeficientes A e D são iguais a zero. Temos:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
É fácil mostrar que este plano passa pela origem e o eixo x pertence a ela.
Substitua as coordenadas do ponto e os coeficientes do plano na fórmula da distância d, temos:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Observe que se você alterar a coordenada x de um ponto, a distância d não será alterada. Este fato significa que o conjunto de pontos (x; -1; 2) forma uma linha reta paralela ao plano dado.
