Um dos problemas comuns em estereometria são as tarefas de cruzar retas e planos e calcular os ângulos entre eles. Vamos considerar neste artigo com mais detalhes o chamado método das coordenadas e os ângulos entre a linha e o plano.
Linha e plano na geometria
Antes de considerar o método das coordenadas e o ângulo entre uma linha e um plano, você deve se familiarizar com os objetos geométricos nomeados.
Uma linha é uma coleção de pontos no espaço ou em um plano, cada um dos quais pode ser obtido transferindo linearmente o anterior para um determinado vetor. A seguir, denotamos esse vetor pelo símbolo u¯. Se este vetor for multiplicado por qualquer número que não seja igual a zero, obtemos um vetor paralelo a u¯. Uma linha é um objeto linear infinito.
Um plano também é uma coleção de pontos que estão localizados de tal forma que, se você criar vetores arbitrários a partir deles, todos eles serão perpendiculares a algum vetor n¯. Este último é chamado normal ou simplesmente normal. Um plano, ao contrário de uma linha reta, é um objeto infinito bidimensional.
Método de coordenadas para resolver problemas de geometria
Com base no próprio nome do método, podemos concluir que estamos falando de um método de resolução de problemas, que se baseia na realização de cálculos sequenciais analíticos. Em outras palavras, o método de coordenadas permite que você resolva problemas geométricos usando ferramentas de álgebra universal, sendo as principais as equações.
Deve-se notar que o método em consideração surgiu no início da geometria e álgebra modernas. Uma grande contribuição para o seu desenvolvimento foi feita por René Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton e Leibniz nos séculos XVII-XVIII.
A essência do método é calcular as distâncias, ângulos, áreas e volumes de elementos geométricos com base nas coordenadas de pontos conhecidos. Observe que a forma das equações finais obtidas depende do sistema de coordenadas. Na maioria das vezes, o sistema cartesiano retangular é usado em problemas, pois é mais conveniente trabalhar com ele.
Equação de Linha
Considerando o método das coordenadas e os ângulos entre a linha e o plano, vamos começar com a definição da equação da linha. Existem várias maneiras de representar linhas em forma algébrica. Aqui consideramos apenas a equação vetorial, pois ela pode ser facilmente obtida de qualquer outra forma e é fácil de trabalhar.
Assuma que existem dois pontos: P e Q. Sabe-se que uma linha pode ser traçada através deles, eserá o único. A representação matemática correspondente do elemento se parece com isso:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Onde PQ¯ é um vetor cujas coordenadas são obtidas da seguinte forma:
PQ¯=Q - P.
O símbolo λ denota um parâmetro que pode receber absolutamente qualquer número.
Na expressão escrita, você pode alterar a direção do vetor e também substituir as coordenadas Q em vez do ponto P. Todas essas transformações não levarão a uma mudança na localização geométrica da linha.
Observe que, ao resolver problemas, às vezes é necessário representar a equação vetorial escrita de forma explícita (paramétrica).
Definindo um plano no espaço
Assim como para uma linha reta, também existem várias formas de equações matemáticas para um plano. Entre eles, destacamos o vetor, a equação em segmentos e a forma geral. Neste artigo, daremos atenção especial à última forma.
Uma equação geral para um plano arbitrário pode ser escrita da seguinte forma:
Ax + By + Cz + D=0.
As letras maiúsculas latinas são determinados números que definem um plano.
A conveniência desta notação é que ela contém explicitamente um vetor normal ao plano. É igual a:
n¯=(A, B, C).
Conhecer este vetor torna possível, olhando brevemente para a equação do plano, imaginar a localização deste último no sistema de coordenadas.
Arranjo mútuo emespaço de linha e plano
No próximo parágrafo do artigo passaremos à consideração do método das coordenadas e do ângulo entre a linha e o plano. Aqui responderemos à questão de como os elementos geométricos considerados podem ser localizados no espaço. Existem três maneiras:
- A linha reta intercepta o plano. Usando o método de coordenadas, você pode calcular em que ponto único a linha e o plano se cruzam.
- O plano de uma linha reta é paralelo. Neste caso, o sistema de equações dos elementos geométricos não tem solução. Para provar o paralelismo, geralmente é usada a propriedade do produto escalar do vetor diretor da linha reta e a normal do plano.
- O plano contém uma linha. Resolvendo o sistema de equações neste caso, chegaremos à conclusão de que para qualquer valor do parâmetro λ, a igualdade correta é obtida.
No segundo e terceiro casos, o ângulo entre os objetos geométricos especificados é igual a zero. No primeiro caso, está entre 0 e 90o.
Cálculo de ângulos entre linhas e planos
Agora vamos direto ao tópico do artigo. Qualquer interseção de uma linha e um plano ocorre em algum ângulo. Esse ângulo é formado pela própria reta e sua projeção no plano. Uma projeção pode ser obtida se de qualquer ponto de uma linha reta uma perpendicular é baixada sobre o plano, e então através do ponto de interseção obtido do plano com a perpendicular e o ponto de interseção do plano com a linha original, desenha-se uma linha reta que será uma projeção.
Calcular os ângulos entre linhas e planos não é uma tarefa difícil. Para resolvê-lo, basta conhecer as equações dos objetos geométricos correspondentes. Digamos que essas equações sejam assim:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
O ângulo desejado é facilmente encontrado usando a propriedade do produto dos vetores escalares u¯ e n¯. A fórmula final fica assim:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Esta fórmula diz que o seno do ângulo entre uma linha e um plano é igual à razão do módulo do produto escalar dos vetores marcados pelo produto de seus comprimentos. Para entender por que o seno apareceu em vez do cosseno, vamos para a figura abaixo.
Pode-se ver que se aplicarmos a função cosseno, obteremos o ângulo entre os vetores u¯ e n¯. O ângulo desejado θ (α na figura) é obtido da seguinte forma:
θ=90o- β.
O seno aparece como resultado da aplicação das fórmulas de redução.
Exemplo de problema
Passemos ao uso prático dos conhecimentos adquiridos. Vamos resolver um problema típico sobre o ângulo entre uma linha reta e um plano. As seguintes coordenadas de quatro pontos são dadas:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Sabe-se que através dos pontos PQMum avião passa por ela, e uma linha reta passa por MN. Usando o método de coordenadas, o ângulo entre o plano e a linha deve ser calculado.
Primeiro, vamos escrever as equações da reta e do plano. Para uma linha reta, é fácil compô-la:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Para fazer a equação do plano, primeiro encontramos a normal a ele. Suas coordenadas são iguais ao produto vetorial de dois vetores situados no plano dado. Temos:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Agora vamos substituir as coordenadas de qualquer ponto dele na equação do plano geral para obter o valor do termo livre D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
A equação do plano é:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Resta aplicar a fórmula do ângulo formado na interseção de uma reta e um plano para obter a resposta do problema. Temos:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Usando este problema como exemplo, mostramos como usar o método de coordenadas para resolver problemas geométricos.
