É impossível afirmar que você sabe matemática se você não sabe como traçar gráficos, desenhar desigualdades em uma linha coordenada e trabalhar com eixos coordenados. O componente visual na ciência é vital, porque sem exemplos visuais em fórmulas e cálculos, às vezes você pode ficar muito confuso. Neste artigo, veremos como trabalhar com eixos coordenados e aprenderemos a construir gráficos de funções simples.
Aplicativo
A linha de coordenadas é a base dos tipos mais simples de gráficos que um aluno encontra em seu caminho educacional. É usado em quase todos os tópicos matemáticos: ao calcular velocidade e tempo, projetar o tamanho de objetos e calcular sua área, em trigonometria ao trabalhar com senos e cossenos.
O principal valor dessa linha direta é a visibilidade. Como a matemática é uma ciência que requer um alto nível de pensamento abstrato, os gráficos ajudam a representar um objeto no mundo real. Como ele se comporta? Em que ponto do espaço oalguns segundos, minutos, horas? O que se pode dizer sobre isso em comparação com outros objetos? Qual é a sua velocidade em um momento selecionado aleatoriamente? Como caracterizar seu movimento?
E estamos falando de velocidade por uma razão - ela geralmente é exibida por gráficos de funções. E eles também podem exibir mudanças de temperatura ou pressão dentro do objeto, seu tamanho, orientação em relação ao horizonte. Assim, a construção de uma linha de coordenadas também é necessária em física.
Gráfico unidimensional
Existe um conceito de multidimensionalidade. No espaço unidimensional, apenas um número é suficiente para determinar a localização de um ponto. Este é exatamente o caso com o uso da linha de coordenadas. Se o espaço é bidimensional, então são necessários dois números. Gráficos desse tipo são usados com muito mais frequência e definitivamente os consideraremos um pouco mais adiante no artigo.
O que pode ser visto com a ajuda de pontos no eixo, se houver apenas um eixo? Você pode ver o tamanho do objeto, sua posição no espaço em relação a algum "zero", ou seja, o ponto escolhido como ponto de referência.
A mudança de parâmetros ao longo do tempo não será visível, pois todas as leituras serão exibidas em um determinado momento. No entanto, você tem que começar em algum lugar! Então vamos começar.
Como construir um eixo de coordenadas
Primeiro, você precisa desenhar uma linha horizontal - este será o nosso eixo. No lado direito, “afie” para que pareça uma flecha. Assim, indicaremos a direção em que os números serãoaumentar. Na direção para baixo, a seta geralmente não é colocada. Tradicionalmente, o eixo aponta para a direita, então vamos apenas seguir esta regra.
Vamos definir uma marca zero, que exibirá a origem das coordenadas. Este é o lugar de onde a contagem regressiva é feita, seja tamanho, peso, velocidade ou qualquer outra coisa. Além de zero, devemos necessariamente designar o chamado preço de divisão, ou seja, introduzir um padrão unitário, de acordo com o qual traçaremos certas quantidades no eixo. Isso deve ser feito para poder encontrar o comprimento do segmento na linha de coordenadas.
A uma distância igual um do outro, coloque pontos ou "entalhes" na linha, e abaixo deles escreva 1, 2, 3, respectivamente, e assim por diante. E agora, tudo está pronto. Mas com o cronograma resultante, você ainda precisa aprender a trabalhar.
Tipos de pontos na linha de coordenadas
À primeira vista dos desenhos propostos nos livros didáticos, fica claro: os pontos do eixo podem ser preenchidos ou não. Você acha que é uma coincidência? De jeito nenhum! Um ponto "sólido" é usado para uma desigualdade não estrita - uma que é lida como "maior ou igual a". Se precisarmos limitar estritamente o intervalo (por exemplo, "x" pode levar valores de zero a um, mas não o inclui), usaremos um ponto "oco", ou seja, um pequeno círculo no eixo. Deve-se notar que os alunos não gostam muito de desigualdades estritas, porque são mais difíceis de trabalhar.
Dependendo de quais pontos vocêusar no gráfico, os intervalos construídos também serão chamados. Se a desigualdade em ambos os lados não for estrita, obtemos um segmento. Se, por um lado, for "aberto", será chamado de meio intervalo. Finalmente, se uma parte de uma linha for limitada em ambos os lados por pontos vazios, ela será chamada de intervalo.
Avião
Ao construir duas retas no plano coordenado, já podemos considerar os gráficos das funções. Digamos que a linha horizontal é o eixo do tempo e a linha vertical é a distância. E agora somos capazes de determinar a distância que o objeto percorrerá em um minuto ou uma hora de viagem. Assim, trabalhar com um plano permite monitorar a mudança no estado de um objeto. Isso é muito mais interessante do que explorar um estado estático.
O gráfico mais simples em tal plano é uma linha reta, ela reflete a função Y(X)=aX + b. A linha dobra? Isso significa que o objeto muda suas características durante o estudo.
Imagine que você está no telhado de um prédio segurando uma pedra na mão estendida. Ao soltá-lo, ele voará para baixo, iniciando seu movimento a partir da velocidade zero. Mas em um segundo ele vai superar 36 quilômetros por hora. A pedra continuará a acelerar ainda mais e, para desenhar seu movimento no gráfico, você precisará medir sua velocidade em vários pontos no tempo, definindo pontos no eixo nos locais apropriados.
As marcas na linha de coordenada horizontal por padrão são denominadas X1, X2, X3 e na vertical - Y1, Y2, Y3, respectivamente. projetandoao plano e encontrando interseções, encontramos fragmentos do padrão resultante. Conectando-os com uma linha, obtemos um gráfico da função. No caso de uma pedra caindo, a função quadrática ficará assim: Y(X)=aXX + bX + c.
Escala
Claro que não é necessário colocar valores inteiros ao lado das divisões por uma linha reta. Se você está considerando o movimento de um caracol que rasteja a uma velocidade de 0,03 metros por minuto, defina como valores na fração coordenada. Neste caso, defina o intervalo de escala para 0,01 metros.
É especialmente conveniente realizar esses desenhos em um caderno em uma gaiola - aqui você pode ver imediatamente se há espaço suficiente na folha para o seu gráfico, se você for além das margens. Não é difícil calcular sua força, porque a largura da célula em tal notebook é de 0,5 centímetros. Demorou - reduziu a imagem. Alterações na escala do gráfico não farão com que ele perca ou altere suas propriedades.
Coordenadas de ponto e segmento
Quando um problema de matemática é dado em uma aula, ele pode conter os parâmetros de várias formas geométricas, tanto na forma de comprimentos laterais, perímetro, área, quanto na forma de coordenadas. Nesse caso, pode ser necessário criar uma forma e obter alguns dados associados a ela. Surge a pergunta: como encontrar as informações necessárias na linha de coordenadas? E como construir uma forma?
Por exemplo, estamos falando de um ponto. Em seguida, uma letra maiúscula aparecerá na condição do problema e vários números aparecerão entre colchetes, na maioria das vezes dois (isso significa que contaremos no espaço bidimensional). Se houver três números entre parênteses, separados por ponto e vírgula ou vírgula, então este é um espaço tridimensional. Cada um dos valores é uma coordenada no eixo correspondente: primeiro ao longo da horizontal (X), depois ao longo da vertical (Y).
Lembra como desenhar um segmento? Você passou na geometria. Se houver dois pontos, uma linha pode ser traçada entre eles. Suas coordenadas são indicadas entre colchetes se um segmento aparecer no problema. Por exemplo: A(15, 13) - B(1, 4). Para construir essa linha, você precisa encontrar e marcar pontos no plano de coordenadas e conectá-los. É isso!
E quaisquer polígonos, como você sabe, podem ser desenhados usando segmentos. Problema resolvido.
Cálculos
Digamos que existe algum objeto cuja posição ao longo do eixo X é caracterizada por dois números: começa no ponto com coordenada (-3) e termina em (+2). Se quisermos saber o comprimento desse objeto, devemos subtrair o número menor do número maior. Observe que um número negativo absorve o sinal da subtração, porque "um menos vezes um menos é igual a um mais". Então somamos (2+3) e obtemos 5. Este é o resultado necessário.
Outro exemplo: recebemos o ponto final e o comprimento do objeto, mas não o ponto inicial (e precisamos encontrá-lo). Seja a posição do ponto conhecido (6), e o tamanho do objeto em estudo seja (4). Subtraindo o comprimento da coordenada final, obtemos a resposta. Total: (6 - 4)=2.
Números negativos
Na prática, muitas vezes é necessário trabalhar com valores negativos. Neste caso vamosmover para a esquerda ao longo do eixo de coordenadas. Por exemplo, um objeto de 3 centímetros de altura flutua na água. Um terço dele está imerso em líquido, dois terços está no ar. Então, escolhendo a superfície da água como eixo, obtemos dois números usando os cálculos aritméticos mais simples: o ponto superior do objeto tem a coordenada (+2) e o inferior - (-1) centímetro.
É fácil ver que no caso de um plano, temos quatro quartos da linha de coordenadas. Cada um deles tem seu próprio número. Na primeira parte (superior direita), haverá pontos com duas coordenadas positivas, na segunda - no canto superior esquerdo - os valores do eixo X serão negativos e ao longo do eixo Y - positivos. O terceiro e o quarto são contados no sentido anti-horário.
Propriedade importante
Você sabe que uma linha pode ser representada como um número infinito de pontos. Podemos ver com tanto cuidado quanto quisermos qualquer número de valores em cada direção do eixo, mas não encontraremos repetitivos. Parece ingênuo e compreensível, mas essa afirmação decorre de um fato importante: cada número corresponde a um e apenas um ponto na linha de coordenadas.
Conclusão
Lembre-se que quaisquer eixos, figuras e, se possível, gráficos devem ser construídos em uma régua. As unidades de medida não foram inventadas pelo homem por acaso - se você errar ao desenhar, corre o risco de ver uma imagem diferente do que deveria.
Seja cuidadoso e preciso na plotagem e nos cálculos. Como qualquer ciência estudada na escola, a matemática adora precisão. Coloque um pouco de esforço e bomas avaliações não tardarão a chegar.
