Problemas insolúveis são os 7 problemas matemáticos mais interessantes. Cada um deles foi proposto ao mesmo tempo por cientistas conhecidos, como regra, na forma de hipóteses. Por muitas décadas, matemáticos de todo o mundo vêm quebrando a cabeça com suas soluções. Aqueles que tiverem sucesso serão recompensados com um milhão de dólares americanos oferecidos pelo Clay Institute.
História
Em 1900, o grande matemático alemão David Hilbert apresentou uma lista de 23 problemas.
As pesquisas realizadas para resolvê-los tiveram um enorme impacto na ciência do século XX. No momento, a maioria deles deixou de ser mistérios. Entre os não resolvidos ou parcialmente resolvidos estavam:
- problema de consistência de axiomas aritméticos;
- lei geral da reciprocidade no espaço de qualquer campo numérico;
- estudo matemático de axiomas físicos;
- estudo de formas quadráticas para números algébricos arbitráriosprobabilidades;
- o problema da justificação rigorosa da geometria computacional de Fyodor Schubert;
- etc.
Inexplorados são: o problema de estender o conhecido teorema de Kronecker para qualquer região algébrica de racionalidade e a hipótese de Riemann.
The Clay Institute
Este é o nome de uma organização privada sem fins lucrativos com sede em Cambridge, Massachusetts. Foi fundada em 1998 pelo matemático de Harvard A. Jeffey e pelo empresário L. Clay. O objetivo do Instituto é popularizar e desenvolver o conhecimento matemático. Para isso, a organização premia cientistas e patrocina pesquisas promissoras.
No início do século 21, o Clay Institute of Mathematics ofereceu um prêmio para aqueles que resolvem o que é conhecido como os problemas insolúveis mais difíceis, chamando sua lista de Problemas do Prêmio do Milênio. Apenas a hipótese de Riemann foi incluída na Lista de Hilbert.
Desafios do Milênio
A lista do Clay Institute originalmente incluía:
- Hipótese do ciclo de Hodge;
- equações da teoria quântica de Yang-Mills;
- Hipótese de Poincaré;
- o problema da igualdade das classes P e NP;
- Hipótese de Riemann;
- Equações de Navier-Stokes, sobre a existência e suavidade de suas soluções;
- Problema de Birch-Swinnerton-Dyer.
Esses problemas matemáticos abertos são de grande interesse, pois podem ter muitas implementações práticas.
O que Grigory Perelman provou
Em 1900, o famoso filósofo Henri Poincaré sugeriu que qualquer 3-variedade compacta simplesmente conectada sem fronteira é homeomorfa a uma esfera tridimensional. Sua prova no caso geral não foi encontrada por um século. Somente em 2002-2003, o matemático de São Petersburgo G. Perelman publicou uma série de artigos com uma solução para o problema de Poincaré. Eles tiveram o efeito de uma bomba explodindo. Em 2010, a hipótese de Poincaré foi excluída da lista de "Problemas Não Resolvidos" do Clay Institute, e o próprio Perelman foi oferecido a receber uma remuneração considerável que lhe era devida, que este recusou sem explicar os motivos de sua decisão.
A explicação mais compreensível do que o matemático russo conseguiu provar pode ser dada imaginando que um disco de borracha é puxado para um donut (torus), e então eles tentam puxar as bordas de seu círculo em um ponto. Obviamente isso não é possível. Outra coisa, se você fizer esse experimento com uma bola. Nesse caso, uma esfera aparentemente tridimensional, resultante de um disco cuja circunferência fosse puxada a um ponto por uma corda hipotética, seria tridimensional na compreensão de uma pessoa comum, mas bidimensional em termos matemáticos.
Poincaré sugeriu que uma esfera tridimensional é o único "objeto" tridimensional cuja superfície pode ser contraída a um ponto, e Perelman conseguiu provar isso. Assim, a lista de "problemas insolúveis" hoje consiste em 6 problemas.
Teoria de Yang-Mills
Este problema matemático foi proposto por seus autores em 1954. A formulação científica da teoria é a seguinte:para qualquer grupo de calibre compacto simples, a teoria espacial quântica criada por Yang e Mills existe e, ao mesmo tempo, tem um defeito de massa zero.
Falando em uma linguagem compreensível para uma pessoa comum, as interações entre os objetos naturais (partículas, corpos, ondas, etc.) são divididas em 4 tipos: eletromagnéticos, gravitacionais, fracos e fortes. Por muitos anos, os físicos têm tentado criar uma teoria geral de campo. Deve se tornar uma ferramenta para explicar todas essas interações. A teoria de Yang-Mills é uma linguagem matemática com a qual se tornou possível descrever 3 das 4 principais forças da natureza. Não se aplica à gravidade. Portanto, não se pode considerar que Yang e Mills conseguiram criar uma teoria de campo.
Além disso, a não linearidade das equações propostas as torna extremamente difíceis de resolver. Para pequenas constantes de acoplamento, elas podem ser resolvidas aproximadamente na forma de uma série de teoria de perturbação. No entanto, ainda não está claro como essas equações podem ser resolvidas com forte acoplamento.
Equações de Navier-Stokes
Estas expressões descrevem processos como correntes de ar, fluxo de fluido e turbulência. Para alguns casos especiais, soluções analíticas da equação de Navier-Stokes já foram encontradas, mas até agora ninguém conseguiu fazer isso para a geral. Ao mesmo tempo, simulações numéricas para valores específicos de velocidade, densidade, pressão, tempo e assim por diante podem alcançar excelentes resultados. Resta esperar que alguém seja capaz de aplicar as equações de Navier-Stokes no sentido inversodireção, ou seja, calcule os parâmetros usando-os, ou prove que não existe um método de solução.
Problema de Birch-Swinnerton-Dyer
A categoria "Problemas Não Resolvidos" também inclui a hipótese proposta por cientistas britânicos da Universidade de Cambridge. Mesmo 2.300 anos atrás, o antigo cientista grego Euclides deu uma descrição completa das soluções para a equação x2 + y2=z2.
Se para cada número primo contarmos o número de pontos da curva modulo, obtemos um conjunto infinito de inteiros. Se você "colar" especificamente em 1 função de uma variável complexa, obterá a função zeta de Hasse-Weil para uma curva de terceira ordem, denotada pela letra L. Ela contém informações sobre o módulo de comportamento de todos os números primos de uma só vez.
Brian Birch e Peter Swinnerton-Dyer conjecturaram sobre curvas elípticas. Segundo ele, a estrutura e o número do conjunto de suas soluções racionais estão relacionados ao comportamento da função L na identidade. A conjectura de Birch-Swinnerton-Dyer, atualmente não comprovada, depende da descrição de equações algébricas de 3º grau e é a única maneira geral relativamente simples de calcular o posto de curvas elípticas.
Para entender a importância prática desta tarefa, basta dizer que na criptografia moderna toda uma classe de sistemas assimétricos é baseada em curvas elípticas, e os padrões nacionais de assinatura digital são baseados em sua aplicação.
Igualdade das classes p e np
Se o resto dos Desafios do Milênio são puramente matemáticos, então este temrelação com a teoria real dos algoritmos. O problema relativo à igualdade das classes p e np, também conhecido como o problema de Cooke-Levin, pode ser formulado em linguagem compreensível como segue. Suponha que uma resposta positiva para uma determinada questão possa ser verificada com bastante rapidez, ou seja, em tempo polinomial (PT). Então está correta a afirmação de que a resposta pode ser encontrada rapidamente? Ainda mais simples, esse problema soa assim: não é realmente mais difícil verificar a solução do problema do que encontrá-la? Se a igualdade das classes p e np for provada, então todos os problemas de seleção podem ser resolvidos para PV. No momento, muitos especialistas duvidam da veracidade dessa afirmação, embora não possam provar o contrário.
Hipótese de Riemann
Até 1859, nenhum padrão foi encontrado que descrevesse como os números primos são distribuídos entre os números naturais. Talvez isso se deva ao fato de a ciência lidar com outras questões. No entanto, em meados do século 19, a situação mudou, e eles se tornaram um dos mais relevantes que a matemática começou a lidar.
A Hipótese de Riemann, que surgiu nesse período, é a suposição de que existe um certo padrão na distribuição dos números primos.
Hoje, muitos cientistas modernos acreditam que, se for comprovado, será necessário revisar muitos dos princípios fundamentais da criptografia moderna, que formam a base de uma parte significativa dos mecanismos do comércio eletrônico.
Segundo a hipótese de Riemann, o personagema distribuição de primos pode ser significativamente diferente do que se supõe atualmente. O fato é que até agora nenhum sistema foi descoberto na distribuição de números primos. Por exemplo, há o problema dos "gêmeos", cuja diferença é 2. Esses números são 11 e 13, 29. Outros números primos formam grupos. Estes são 101, 103, 107, etc. Os cientistas há muito suspeitam que tais aglomerados existem entre números primos muito grandes. Se eles forem encontrados, a força das chaves criptográficas modernas estará em questão.
Hipótese do ciclo de Hodge
Este problema ainda sem solução foi formulado em 1941. A hipótese de Hodge sugere a possibilidade de aproximar a forma de qualquer objeto "colando" corpos simples de dimensões superiores. Este método é conhecido e utilizado com sucesso há muito tempo. No entanto, não se sabe até que ponto a simplificação pode ser feita.
Agora você sabe quais problemas insolúveis existem no momento. Eles são objeto de pesquisa por milhares de cientistas em todo o mundo. Resta esperar que sejam resolvidos em um futuro próximo, e sua aplicação prática ajudará a humanidade a entrar em uma nova rodada de desenvolvimento tecnológico.
