Em 1900, um dos maiores cientistas do século passado, David Hilbert, compilou uma lista de 23 problemas não resolvidos em matemática. O trabalho sobre eles teve um tremendo impacto no desenvolvimento dessa área do conhecimento humano. 100 anos depois, o Clay Mathematical Institute apresentou uma lista de 7 problemas conhecidos como os Problemas do Milênio. A cada um deles foi oferecido um prêmio de US$ 1 milhão.
O único problema que apareceu entre as duas listas de quebra-cabeças que assombram os cientistas há mais de um século foi a hipótese de Riemann. Ela ainda está esperando por sua decisão.
Pequena nota biográfica
Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em 1826 em Hannover, em uma grande família de um pastor pobre, e viveu apenas 39 anos. Ele conseguiu publicar 10 obras. No entanto, já em vida, Riemann foi considerado o sucessor de seu professor Johann Gauss. Aos 25 anos, o jovem cientista defendeu sua dissertação "Fundamentos da teoria das funções de uma variável complexa". Mais tarde formulousua famosa hipótese.
Números primos
A matemática surgiu quando o homem aprendeu a contar. Ao mesmo tempo, surgiram as primeiras ideias sobre os números, que mais tarde tentaram classificar. Alguns deles foram observados como tendo propriedades comuns. Em particular, entre os números naturais, ou seja, aqueles que eram usados para contar (numerar) ou designar o número de objetos, distinguia-se um grupo que era divisível apenas por um e por eles mesmos. Eles são chamados de simples. Uma prova elegante do teorema do infinito do conjunto de tais números foi dada por Euclides em seus Elementos. No momento, sua busca continua. Em particular, o maior número já conhecido é 274 207 281 – 1.
Fórmula de Euler
Junto com o conceito do infinito do conjunto dos primos, Euclides também determinou o segundo teorema sobre a única decomposição possível em fatores primos. De acordo com ele, qualquer número inteiro positivo é o produto de apenas um conjunto de números primos. Em 1737, o grande matemático alemão Leonhard Euler expressou o primeiro teorema do infinito de Euclides como a fórmula abaixo.
É chamada de função zeta, onde s é uma constante e p recebe todos os valores primos. A declaração de Euclides sobre a singularidade da expansão veio diretamente dela.
Função Zeta de Riemann
A fórmula de Euler, em uma inspeção mais detalhada, é completamentesurpreendente porque define a relação entre primos e inteiros. Afinal, infinitas expressões que dependem apenas de números primos são multiplicadas em seu lado esquerdo, e a soma associada a todos os inteiros positivos está localizada à direita.
Riemann foi mais longe que Euler. A fim de encontrar a chave para o problema da distribuição de números, ele propôs definir uma fórmula para variáveis reais e complexas. Foi ela quem posteriormente recebeu o nome da função zeta de Riemann. Em 1859, o cientista publicou um artigo intitulado "Sobre o número de números primos que não excedem um determinado valor", onde resumia todas as suas ideias.
Riemann sugeriu usar a série de Euler, que converge para qualquer s>1 real. Se a mesma fórmula for usada para s complexo, a série convergirá para qualquer valor dessa variável com parte real maior que 1. Riemann aplicou o procedimento de continuação analítica, estendendo a definição de zeta(s) para todos os números complexos, mas "jogou fora" a unidade. Foi excluído porque em s=1 a função zeta aumenta até o infinito.
Senso prático
Surge uma questão lógica: por que a função zeta, que é fundamental no trabalho de Riemann sobre a hipótese nula, é interessante e importante? Como você sabe, até o momento não foi identificado nenhum padrão simples que descreva a distribuição dos números primos entre os números naturais. Riemann foi capaz de descobrir que o número pi(x) de primos que não excedem x é expresso em termos da distribuição de zeros não triviais da função zeta. Além disso, a hipótese de Riemann éuma condição necessária para provar estimativas de tempo para a operação de alguns algoritmos criptográficos.
Hipótese de Riemann
Uma das primeiras formulações deste problema matemático, que não foi provada até hoje, soa assim: funções não triviais 0 zeta são números complexos com parte real igual a ½. Em outras palavras, eles estão localizados na linha Re s=½.
Há também uma hipótese de Riemann generalizada, que é a mesma afirmação, mas para generalizações de funções zeta, que são comumente chamadas de funções L de Dirichlet (veja a foto abaixo).
Na fórmula χ(n) - algum caractere numérico (módulo k).
A afirmação riemanniana é considerada a chamada hipótese nula, pois foi testada quanto à consistência com dados de amostra existentes.
Como Riemann argumentou
A observação do matemático alemão foi originalmente formulada de forma bastante casual. O fato é que naquela época o cientista ia provar o teorema sobre a distribuição dos números primos e, nesse contexto, essa hipótese não tinha importância particular. No entanto, seu papel na solução de muitos outros problemas é enorme. É por isso que a suposição de Riemann é agora reconhecida por muitos cientistas como o mais importante dos problemas matemáticos não comprovados.
Como já mencionado, a hipótese completa de Riemann não é necessária para provar o teorema da distribuição, e é suficiente para justificar logicamente que a parte real de qualquer zero não trivial da função zeta está ementre 0 e 1. Segue-se desta propriedade que a soma sobre todos os 0's da função zeta que aparece na fórmula exata acima é uma constante finita. Para valores grandes de x, pode ser perdido completamente. O único membro da fórmula que permanece o mesmo mesmo para x muito grande é o próprio x. Os restantes termos complexos desaparecem assintoticamente em comparação com ele. Assim, a soma ponderada tende a x. Esta circunstância pode ser considerada uma confirmação da verdade do teorema sobre a distribuição dos números primos. Assim, os zeros da função zeta de Riemann têm um papel especial. Consiste em provar que tais valores não podem contribuir significativamente para a fórmula de decomposição.
Seguidores de Riemann
A morte trágica por tuberculose não permitiu que esse cientista levasse seu programa ao fim lógico. No entanto, Sh-Zh assumiu o lugar dele. de la Vallée Poussin e Jacques Hadamard. Independentemente um do outro, eles deduziram um teorema sobre a distribuição de números primos. Hadamard e Poussin conseguiram provar que todas as funções 0 zeta não triviais estão dentro da banda crítica.
Graças ao trabalho desses cientistas, surgiu uma nova direção na matemática - a teoria analítica dos números. Mais tarde, várias provas mais primitivas do teorema em que Riemann estava trabalhando foram obtidas por outros pesquisadores. Em particular, Pal Erdős e Atle Selberg até descobriram uma cadeia lógica muito complexa confirmando isso, que não exigia o uso de análises complexas. No entanto, a esta altura, váriosteoremas, incluindo aproximações de muitas funções da teoria dos números. Nesse sentido, o novo trabalho de Erdős e Atle Selberg praticamente não afetou nada.
Uma das mais simples e belas provas do problema foi encontrada em 1980 por Donald Newman. Foi baseado no famoso teorema de Cauchy.
A hipótese Riemanniana ameaça os fundamentos da criptografia moderna
A criptografia de dados surgiu junto com o surgimento dos hieróglifos, mais precisamente, eles mesmos podem ser considerados os primeiros códigos. No momento, existe toda uma área de criptografia digital, que está desenvolvendo algoritmos de criptografia.
Números primos e "semi-primos", ou seja, aqueles que são divisíveis apenas por 2 outros números da mesma classe, formam a base do sistema de chave pública conhecido como RSA. Tem a aplicação mais ampla. Em particular, é usado ao gerar uma assinatura eletrônica. Falando em termos acessíveis a dummies, a hipótese de Riemann afirma a existência de um sistema na distribuição de números primos. Assim, a força das chaves criptográficas, das quais depende a segurança das transações online no campo do comércio eletrônico, é significativamente reduzida.
Outros problemas matemáticos não resolvidos
Vale a pena terminar o artigo dedicando algumas palavras a outras metas do milênio. Estes incluem:
- Igualdade das classes P e NP. O problema é formulado da seguinte forma: se uma resposta positiva a uma pergunta em particular é verificada em tempo polinomial, então é verdade que a resposta a esta pergunta em sipode ser encontrado rapidamente?
- Conjectura de Hodge. Em palavras simples, pode ser formulado da seguinte forma: para alguns tipos de variedades algébricas projetivas (espaços), os ciclos de Hodge são combinações de objetos que possuem uma interpretação geométrica, ou seja, ciclos algébricos.
- Conjectura de Poincaré. Este é o único Desafio do Milênio comprovado até agora. Segundo ele, qualquer objeto tridimensional que tenha as propriedades específicas de uma esfera tridimensional deve ser uma esfera, até a deformação.
- Afirmação da teoria quântica de Yang - Mills. É necessário provar que a teoria quântica apresentada por esses cientistas para o espaço R 4 existe e tem um defeito de massa 0 para qualquer grupo de calibre compacto simples G.
- Hipótese de Birch-Swinnerton-Dyer. Esta é outra questão relacionada à criptografia. Toca curvas elípticas.
- O problema da existência e suavidade de soluções para as equações de Navier-Stokes.
Agora você conhece a hipótese de Riemann. Em termos simples, formulamos alguns dos outros Desafios do Milênio. Que se resolvam ou se prove que não têm solução é uma questão de tempo. Além disso, é improvável que isso tenha que esperar muito tempo, já que a matemática está usando cada vez mais as capacidades de computação dos computadores. No entanto, nem tudo está sujeito à tecnologia e, antes de tudo, intuição e criatividade são necessárias para resolver problemas científicos.
