Quando você tem que resolver problemas de física sobre o movimento de objetos, muitas vezes é útil aplicar a lei da conservação do momento. Qual é o momento para o movimento linear e circular do corpo, e qual é a essência da lei de conservação desse valor, é discutido no artigo.
O conceito de momento linear
Dados históricos mostram que pela primeira vez esse valor foi considerado em seus trabalhos científicos por Galileu Galilei no início do século XVII. Posteriormente, Isaac Newton foi capaz de integrar harmoniosamente o conceito de momento (um nome mais correto para momento) na teoria clássica do movimento de objetos no espaço.
Denote o momento como p¯, então a fórmula para seu cálculo será escrita como:
p¯=mv¯.
Aqui m é a massa, v¯ é a velocidade (valor vetorial) do movimento. Essa igualdade mostra que a quantidade de movimento é a velocidade característica de um objeto, onde a massa desempenha o papel de um fator de multiplicação. Número de movimentoé uma quantidade vetorial apontando na mesma direção da velocidade.
Intuitivamente, quanto maior a velocidade do movimento e a massa do corpo, mais difícil é pará-lo, ou seja, maior a energia cinética que ele possui.
A quantidade de movimento e sua mudança
Você pode adivinhar que para alterar o valor p¯ do corpo, você precisa aplicar alguma força. Deixe a força F¯ agir durante o intervalo de tempo Δt, então a lei de Newton nos permite escrever a igualdade:
F¯Δt=ma¯Δt; portanto F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.
O valor igual ao produto do intervalo de tempo Δt pela força F¯ é chamado de impulso desta força. Uma vez que é igual à mudança no momento, o último é frequentemente chamado simplesmente de momento, sugerindo que alguma força externa F¯ o criou.
Assim, a razão para a mudança no momento é o momento da força externa. O valor de Δp¯ pode levar tanto a um aumento no valor de p¯ se o ângulo entre F¯ e p¯ for agudo, quanto a uma diminuição no módulo de p¯ se esse ângulo for obtuso. Os casos mais simples são a aceleração do corpo (o ângulo entre F¯ e p¯ é zero) e sua desaceleração (o ângulo entre os vetores F¯ e p¯ é 180o).
Quando o momento é conservado: lei
Se o sistema do corpo não estiverforças externas atuam, e todos os processos nele são limitados apenas pela interação mecânica de seus componentes, então cada componente do momento permanece in alterado por um tempo arbitrariamente longo. Esta é a lei da conservação da quantidade de movimento dos corpos, que é matematicamente escrita da seguinte forma:
p¯=∑ipi¯=const ou
∑ipix=const; ∑ipiy=const; ∑ipiz=const.
O subscrito i é um inteiro que enumera o objeto do sistema, e os índices x, y, z descrevem os componentes do momento para cada um dos eixos coordenados no sistema retangular cartesiano.
Na prática, muitas vezes é necessário resolver problemas unidimensionais para a colisão de corpos, quando as condições iniciais são conhecidas, e é necessário determinar o estado do sistema após o impacto. Nesse caso, o momento é sempre conservado, o que não pode ser dito sobre a energia cinética. Este último antes e depois do impacto será in alterado apenas em um único caso: quando houver uma interação absolutamente elástica. Para este caso de colisão de dois corpos movendo-se com velocidades v1 ev2, a fórmula de conservação do momento terá a forma:
m1 v1 + m2 v 2=m1 u1 + m2 u 2.
Aqui, as velocidades u1 e u2 caracterizam o movimento dos corpos após o impacto. Observe que nesta forma da lei de conservação, é necessário levar em conta o sinal das velocidades: se elas são direcionadas uma para a outra, deve-se levar umapositivo e o outro negativo.
Para uma colisão perfeitamente inelástica (dois corpos se unem após o impacto), a lei da conservação do momento tem a forma:
m1 v1 + m2 v 2=(m1+ m2)u.
Solução do problema da lei de conservação de p¯
Vamos resolver o seguinte problema: duas bolas rolam uma em direção à outra. As massas das bolas são as mesmas e suas velocidades são 5 m/s e 3 m/s. Supondo que haja uma colisão absolutamente elástica, é necessário encontrar as velocidades das bolas depois dela.
Usando a lei de conservação do momento para o caso unidimensional, e levando em conta que a energia cinética é conservada após o impacto, escrevemos:
v1 - v2=u1 + u 2;
v12 + v22=u12 + u22.
Aqui reduzimos imediatamente as massas das bolas devido à sua igualdade, e também levamos em consideração o fato de que os corpos se movem um em direção ao outro.
É mais fácil continuar resolvendo o sistema se você substituir os dados conhecidos. Obtemos:
5 - 3 - u2=u1;
52+ 32=u12+ u22.
Substituindo u1 na segunda equação, temos:
2 - u2=u1;
34=(2 - u2)2+u2 2=4 - 4u2 + 2u22; conseqüentemente,u22- 2u2 - 15=0.
Temos a equação quadrática clássica. Resolvemos através do discriminante, obtemos:
D=4 - 4(-15)=64.
u2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.
Temos duas soluções. Se os substituirmos na primeira expressão e definirmos u1, obteremos o seguinte valor: u1=-3 m/s, u 2=5 m/s; u1=5 m/s, u2=-3 m/s. O segundo par de números é dado na condição do problema, portanto não corresponde à distribuição real das velocidades após o impacto.
Assim, resta apenas uma solução: u1=-3 m/s, u2=5 m/s. Esse resultado curioso significa que em uma colisão elástica central, duas bolas de igual massa simplesmente trocam suas velocidades.
Momento de impulso
Tudo o que foi dito acima se refere ao tipo linear de movimento. No entanto, verifica-se que quantidades semelhantes também podem ser introduzidas no caso de deslocamento circular de corpos em torno de um determinado eixo. O momento angular, que também é chamado de momento angular, é calculado como o produto do vetor que conecta o ponto material com o eixo de rotação e o momento desse ponto. Ou seja, a fórmula ocorre:
L¯=r¯p¯, onde p¯=mv¯.
Momentum, como p¯, é um vetor que é direcionado perpendicularmente ao plano construído sobre os vetores r¯ e p¯.
O valor de L¯ é uma característica importante de um sistema rotativo, pois determina a energia que é armazenada nele.
Momento do momento e lei de conservação
O momento angular é conservado se nenhuma força externa atua sobre o sistema (geralmente dizem que não há momento de forças). A expressão do parágrafo anterior, através de transformações simples, pode ser escrita de uma forma mais conveniente para a prática:
L¯=Iω¯, onde I=mr2 é o momento de inércia do ponto material, ω¯ é a velocidade angular.
O momento de inércia I, que apareceu na expressão, tem exatamente o mesmo significado para rotação que a massa usual para movimento linear.
Se houver algum rearranjo interno do sistema, no qual I muda, então ω¯ também não permanece constante. Além disso, a mudança em ambas as quantidades físicas ocorre de tal forma que a igualdade abaixo permanece válida:
I1 ω1¯=I2 ω 2¯.
Esta é a lei de conservação do momento angular L¯. Sua manifestação foi observada por todas as pessoas que pelo menos uma vez participaram de balé ou patinação artística, onde os atletas realizam piruetas com rotação.
