Planimetria é um ramo da geometria que estuda as propriedades das figuras planas. Estes incluem não apenas triângulos, quadrados, retângulos bem conhecidos, mas também linhas retas e ângulos. Na planimetria, também existem conceitos como ângulos em um círculo: central e inscrito. Mas o que eles significam?
Qual é o ângulo central?
Para entender o que é um ângulo central, você precisa definir um círculo. Um círculo é uma coleção de todos os pontos equidistantes de um determinado ponto (o centro do círculo).
É muito importante distingui-lo de um círculo. Deve ser lembrado que um círculo é uma linha fechada, e um círculo é uma parte de um plano limitado por ela. Um polígono ou um ângulo pode ser inscrito em um círculo.
Um ângulo central é um ângulo cujo vértice coincide com o centro do círculo e cujos lados interceptam o círculo em dois pontos. O arco, que o ângulo limita por pontos de interseção, é chamado de arco sobre o qual o ângulo dado repousa.
Considere o exemplo 1.
Na figura, o ângulo AOB é central, pois o vértice do ângulo e o centro do círculo são um ponto O. Ele repousa sobre o arco AB, que não contém o ponto C.
Como um ângulo inscrito difere de um ângulo central?
No entanto, além dos centrais, também existem ângulos inscritos. Qual é a diferença deles? Assim como o central, o ângulo inscrito em um círculo repousa sobre um certo arco. Mas seu vértice não coincide com o centro do círculo, mas sim sobre ele.
Vamos usar o seguinte exemplo.
Ângulo ACB é chamado de ângulo inscrito em um círculo centrado no ponto O. O ponto C pertence ao círculo, ou seja, está sobre ele. O ângulo repousa sobre o arco AB.
Qual é o ângulo central
Para lidar com sucesso com problemas de geometria, não é suficiente ser capaz de distinguir entre ângulos inscritos e ângulos centrais. Como regra, para resolvê-los, você precisa saber exatamente como encontrar o ângulo central em um círculo e ser capaz de calcular seu valor em graus.
Então, o ângulo central é igual à medida em graus do arco sobre o qual ele repousa.
Na figura, o ângulo AOB repousa sobre o arco AB igual a 66°. Então o ângulo AOB também é igual a 66°.
Assim, os ângulos centrais baseados em arcos iguais são iguais.
Na figura, o arco DC é igual ao arco AB. Então o ângulo AOB é igual ao ângulo DOC.
Como encontrar um ângulo inscrito
Pode parecer que o ângulo inscrito no círculo é igual ao ângulo central,que depende do mesmo arco. No entanto, isso é um erro grosseiro. De fato, mesmo olhando o desenho e comparando esses ângulos entre si, você pode ver que suas medidas de graus terão valores diferentes. Então, qual é o ângulo inscrito no círculo?
A medida em graus de um ângulo inscrito é a metade do arco sobre o qual ele se apoia, ou metade do ângulo central se eles se basearem no mesmo arco.
Vamos considerar um exemplo. O ângulo ACB é baseado em um arco igual a 66°.
Então o ângulo DIA=66°: 2=33°
Vamos considerar algumas consequências deste teorema.
- Ângulos inscritos, se forem baseados no mesmo arco, corda ou arcos iguais, são iguais.
- Se os ângulos inscritos são baseados na mesma corda, mas seus vértices estão em lados opostos dela, a soma das medidas em graus de tais ângulos é 180°, pois neste caso ambos os ângulos são baseados em arcos, cuja medida de grau total é 360° (círculo inteiro), 360°: 2=180°
- Se o ângulo inscrito for baseado no diâmetro do círculo dado, sua medida em grau é 90°, pois o diâmetro subtende um arco igual a 180°, 180°: 2=90°
- Se os ângulos central e inscrito em um círculo são baseados no mesmo arco ou corda, então o ângulo inscrito é igual à metade do ângulo central.
Onde podem ser encontrados problemas neste tópico? Seus tipos e soluções
Como o círculo e suas propriedades são uma das seções mais importantes da geometria, a planimetria em particular, os ângulos inscritos e centrais no círculo são um tópico amplo e detalhadoestudado no currículo escolar. As tarefas dedicadas às suas propriedades são encontradas no exame estadual principal (OGE) e no exame estadual unificado (USE). Como regra, para resolver esses problemas, você deve encontrar os ângulos do círculo em graus.
Ângulos baseados no mesmo arco
Esse tipo de problema é talvez um dos mais fáceis, pois para resolvê-lo você precisa conhecer apenas duas propriedades simples: se ambos os ângulos estão inscritos e se apoiam na mesma corda, eles são iguais, se um deles é central, então o ângulo inscrito correspondente é igual à metade dele. No entanto, ao resolvê-los, é preciso ter muito cuidado: às vezes é difícil perceber essa propriedade, e os alunos, ao resolver problemas tão simples, chegam a um beco sem saída. Considere um exemplo.
Problema 1
Dado um círculo centrado no ponto O. O ângulo AOB é 54°. Encontre a medida em graus do ângulo DIA.
Esta tarefa é resolvida em uma etapa. A única coisa que você precisa para encontrar a resposta rapidamente é perceber que o arco em que ambos os cantos repousam é comum. Vendo isso, você pode aplicar a propriedade já familiar. O ângulo ACB é metade do ângulo AOB. Então
1) AOB=54°: 2=27°.
Resposta: 54°.
Ângulos baseados em diferentes arcos do mesmo círculo
Às vezes o tamanho do arco no qual o ângulo requerido repousa não é especificado diretamente nas condições do problema. Para calculá-lo, você precisa analisar a magnitude desses ângulos e compará-los com as propriedades conhecidas do círculo.
Problema 2
Em um círculo centrado em O, ângulo AOCé 120°, e o ângulo AOB é 30°. Encontre o canto VOCÊ.
Para começar, vale dizer que é possível resolver esse problema usando as propriedades dos triângulos isósceles, mas isso exigirá mais operações matemáticas. Portanto, aqui vamos analisar a solução usando as propriedades dos ângulos centrais e inscritos em um círculo.
Então, o ângulo AOC repousa sobre o arco AC e é central, o que significa que o arco AC é igual ao ângulo AOC.
AC=120°
Da mesma forma, o ângulo AOB repousa sobre o arco AB.
AB=30°.
Conhecendo isso e a medida em graus do círculo inteiro (360°), você pode facilmente encontrar a magnitude do arco BC.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
O vértice do ângulo CAB, ponto A, está na circunferência. Assim, o ângulo CAB está inscrito e é igual à metade do arco CB.
ângulo CAB=210°: 2=110°
Resposta: 110°
Problemas baseados em relações de arco
Alguns problemas não contêm dados sobre ângulos, então eles precisam ser pesquisados com base apenas em teoremas conhecidos e propriedades de um círculo.
Problema 1
Encontre o ângulo inscrito em um círculo que é suportado por uma corda igual ao raio do círculo dado.
Se você desenhar mentalmente linhas conectando as extremidades do segmento com o centro do círculo, você obtém um triângulo. Depois de examiná-lo, você pode ver que essas linhas são os raios do círculo, o que significa que todos os lados do triângulo são iguais. Sabemos que todos os ângulos de um triângulo equiláterosão iguais a 60°. Portanto, o arco AB que contém o vértice do triângulo é igual a 60°. A partir daqui encontramos o arco AB, no qual se baseia o ângulo desejado.
AB=360° - 60°=300°
Ângulo ABC=300°: 2=150°
Resposta: 150°
Problema 2
Em um círculo centrado no ponto O, os arcos são relacionados como 3:7. Encontre o menor ângulo inscrito.
Para a solução, denotamos uma parte como X, então um arco é igual a 3X, e o segundo, respectivamente, 7X. Sabendo que a medida em graus de um círculo é 360°, podemos escrever uma equação.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
De acordo com a condição, você precisa encontrar um ângulo menor. Obviamente, se o valor do ângulo é diretamente proporcional ao arco sobre o qual se apoia, então o ângulo requerido (menor) corresponde a um arco igual a 3X.
Então o menor ângulo é (36°3): 2=108°: 2=54°
Resposta: 54°
Problema 3
Em um círculo centrado no ponto O, o ângulo AOB é 60° e o comprimento do arco menor é 50. Calcule o comprimento do arco maior.
Para calcular o comprimento de um arco maior, você precisa fazer uma proporção - como o arco menor se relaciona com o maior. Para fazer isso, calculamos a magnitude de ambos os arcos em graus. O arco menor é igual ao ângulo que repousa sobre ele. Sua medida de grau é 60°. O arco maior é igual à diferença entre a medida de grau do círculo (é igual a 360° independente de outros dados) e o arco menor.
O grande arco é 360° - 60°=300°.
Como 300°: 60°=5, o arco maior é 5 vezes o menor.
Arco grande=505=250
Resposta: 250
Então, claro, existem outrosabordagens para resolver problemas semelhantes, mas todas elas são de alguma forma baseadas nas propriedades de ângulos, triângulos e círculos centrais e inscritos. Para resolvê-los com sucesso, você precisa estudar cuidadosamente o desenho e compará-lo com os dados do problema, além de poder aplicar seus conhecimentos teóricos na prática.
