Raiz quadrada aritmética e suas propriedades

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2023-12-17 05:39

Todos nós estudamos raízes quadradas aritméticas na aula de álgebra na escola. Acontece que, se o conhecimento não é atualizado, é rapidamente esquecido, o mesmo com as raízes. Este artigo será útil para alunos do oitavo ano que desejam atualizar seus conhecimentos nesta área, e outros escolares, pois trabalhamos com raízes no 9º, 10º e 11º anos.

Histórico de raiz e grau

Mesmo nos tempos antigos, e especificamente no antigo Egito, as pessoas precisavam de diplomas para realizar operações em números. Quando não havia tal conceito, os egípcios escreveram o produto do mesmo número vinte vezes. Mas logo uma solução para o problema foi inventada - o número de vezes que o número deve ser multiplicado por si mesmo começou a ser escrito no canto superior direito acima dele, e essa forma de registro sobreviveu até hoje.

E a história da raiz quadrada começou há cerca de 500 anos. Foi designado de diferentes maneiras, e somente no século XVII René Descartes introduziu tal sinal, que usamos até hoje.

O que é raiz quadrada

Vamos começar explicando o que é uma raiz quadrada. A raiz quadrada de algum número c é um número não negativo que, quando elevado ao quadrado, será igual a c. Neste caso, c é maior ou igual a zero.

Para trazer um número abaixo da raiz, elevamos ao quadrado e colocamos o sinal da raiz sobre ele:

32=9, 3=√9

Além disso, não podemos obter o valor da raiz quadrada de um número negativo, pois qualquer número em um quadrado é positivo, ou seja:

c² ≧ 0, se √c for um número negativo, então c^{2 < 0 - contrário à regra.}

Para calcular rapidamente raízes quadradas, você precisa conhecer a tabela de quadrados de números.

Propriedades

Vamos considerar as propriedades algébricas da raiz quadrada.

1) Para extrair a raiz quadrada do produto, você precisa tirar a raiz de cada fator. Ou seja, pode ser escrito como o produto das raízes dos fatores:

√ac=√a × √c, por exemplo:

√36=√4 × √9

2) Ao extrair uma raiz de uma fração, é necessário extrair a raiz separadamente do numerador e do denominador, ou seja, escrevê-la como um quociente de suas raízes.

3) O valor obtido pela raiz quadrada de um número é sempre igual ao módulo desse número, pois o módulo só pode ser positivo:

√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.

4) Para elevar uma raiz a qualquer potência, elevamos a elaexpressão radical:

(√с)⁴=√с^{4, por exemplo:}

(√2)⁶ =√2^6=√64=8

5) O quadrado da raiz aritmética de c é igual a este próprio número:

(√s)2=s.

Raízes de números irracionais

Digamos que a raiz de dezesseis seja fácil, mas como tirar a raiz de números como 7, 10, 11?

Um número cuja raiz é uma fração não periódica infinita é chamado de irracional. Não podemos extrair a raiz dele por conta própria. Só podemos compará-lo com outros números. Por exemplo, tire a raiz de 5 e compare com √4 e √9. É claro que √4 < √5 < √9, então 2 < √5 < 3. Isso significa que o valor da raiz de cinco está entre dois e três, mas há muitas frações decimais entre elas, e escolher cada uma é uma maneira duvidosa de encontrar a raiz.

Você pode fazer esta operação em uma calculadora - esta é a maneira mais fácil e rápida, mas na 8ª série você nunca precisará extrair números irracionais da raiz quadrada aritmética. Você só precisa se lembrar dos valores aproximadosda raiz de dois e da raiz de três:

√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.

Exemplos

Agora, com base nas propriedades da raiz quadrada, vamos resolver vários exemplos:

1) √17² - 8²

Lembre-se da fórmula para a diferença de quadrados:

√(17-8) (17+8)=√9 ×25

Conhecemos a propriedade da raiz aritmética quadrada - para extrair a raiz do produto, você precisa extraí-la de cada fator:

√9 × √25=3 × 5=15

2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36

Aplica outra propriedade da raiz - o quadrado da raiz aritmética de um número é igual a este próprio número:

2 × 3 + 6=12

Importante! Muitas vezes, ao começar a trabalhar e resolver exemplos com raízes quadradas aritméticas, os alunos cometem o seguinte erro:

√12 + 3=√12 + √3 - você não pode fazer isso!

Não podemos extrair a raiz de todos os termos. Não existe tal regra, mas se confunde com tirar a raiz de cada fator. Se tivéssemos esta entrada:

√12 × 3, então seria justo escrever √12 × 3=√12 × √3.

Então só podemos escrever:

√12 + 3=√15