Alguns problemas matemáticos requerem a habilidade de calcular a raiz quadrada. Esses problemas incluem a resolução de equações de segunda ordem. Neste artigo, apresentamos um método eficaz para calcular raízes quadradas e o usamos ao trabalhar com fórmulas para as raízes de uma equação quadrática.
O que é uma raiz quadrada?
Em matemática, este conceito corresponde ao símbolo √. Dados históricos dizem que começou a ser usado pela primeira vez por volta da primeira metade do século 16 na Alemanha (o primeiro trabalho alemão sobre álgebra de Christoph Rudolf). Os cientistas acreditam que este símbolo é uma letra latina transformada r (radix significa "raiz" em latim).
A raiz de qualquer número é igual a tal valor, cujo quadrado corresponde à expressão raiz. Na linguagem da matemática, esta definição ficará assim: √x=y if y2=x.
A raiz de um número positivo (x > 0) também éum número positivo (y > 0), mas se a raiz for tirada de um número negativo (x < 0), seu resultado já será um número complexo, incluindo a unidade imaginária i.
Aqui estão dois exemplos simples:
√9=3 porque 32 =9; √(-9)=3i porque i2=-1.
Fórmula iterativa de Heron para encontrar raízes quadradas
Os exemplos acima são muito simples, e calcular as raízes neles não é difícil. As dificuldades começam a aparecer já na hora de encontrar os valores da raiz para qualquer valor que não possa ser representado como um quadrado de um número natural, por exemplo √10, √11, √12, √13, sem contar o fato de que na prática é necessário encontrar raízes para números não inteiros: por exemplo √(12, 15), √(8, 5) e assim por diante.
Em todos os casos acima, um método especial de cálculo da raiz quadrada deve ser usado. Atualmente, vários desses métodos são conhecidos: por exemplo, expansão em uma série de Taylor, divisão por uma coluna e alguns outros. De todos os métodos conhecidos, talvez o mais simples e eficaz seja o uso da fórmula iterativa de Heron, que também é conhecida como método babilônico para determinar raízes quadradas (há evidências de que os antigos babilônios a usavam em seus cálculos práticos).
Seja necessário determinar o valor de √x. A fórmula para encontrar a raiz quadrada é a seguinte:
an+1=1/2(a+x/a), onde limn->∞(a)=> x.
Decifre esta notação matemática. Para calcular √x, você deve pegar algum número a0 (pode ser arbitrário, mas para um resultado rápido, você deve escolhê-lo de tal forma que (a0) 2 foi o mais próximo possível de x, então substitua na fórmula da raiz quadrada especificada e obtenha um novo número a1, que já será estar mais próximo do valor desejado, é necessário substituir a1 na expressão e obter a2 Este procedimento deve ser repetido até que a precisão necessária seja obtida.
Um exemplo de aplicação da fórmula iterativa de Heron
O algoritmo descrito acima para obter a raiz quadrada de um determinado número pode parecer bastante complicado e confuso para muitos, mas na realidade tudo acaba sendo muito mais simples, pois essa fórmula converge muito rapidamente (principalmente se um número da sorte é escolhido a0).
Vamos dar um exemplo simples: precisamos calcular √11. Escolhemos a0=3, pois 32=9, que é mais próximo de 11 do que 42=16. Substituindo na fórmula, obtemos:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Não adianta continuar os cálculos, pois obtivemos que a2 e a3 começam a diferir apenas na 5ª casa decimal Lugar, colocar. Assim, bastou aplicar apenas 2 vezes a fórmula paracalcule √11 dentro de 0,0001.
Atualmente, calculadoras e computadores são amplamente utilizados para calcular raízes, no entanto, é útil lembrar a fórmula marcada para poder calcular manualmente seu valor exato.
Equações de segunda ordem
Compreender o que é uma raiz quadrada e a capacidade de calculá-la é usada na resolução de equações quadráticas. Essas equações são igualdades com uma incógnita, cuja forma geral é mostrada na figura abaixo.
Aqui c, b e a são alguns números, e a não deve ser igual a zero, e os valores de c e b podem ser completamente arbitrários, inclusive zero.
Quaisquer valores de x que satisfaçam a igualdade indicada na figura são chamados de suas raízes (este conceito não deve ser confundido com a raiz quadrada √). Como a equação em consideração tem a 2ª ordem (x2), então não pode haver mais de dois números para suas raízes. Vamos ver como encontrar essas raízes mais adiante no artigo.
Encontrando as raízes de uma equação quadrática (fórmula)
Este método de resolver o tipo de igualdade considerado também é chamado de universal, ou o método através do discriminante. Pode ser aplicado a qualquer equação quadrática. A fórmula para o discriminante e as raízes da equação quadrática é a seguinte:
Mostra que as raízes dependem do valor de cada um dos três coeficientes da equação. Além disso, o cálculox1 difere do cálculo x2 apenas pelo sinal antes da raiz quadrada. A expressão radical, que é igual a b2 - 4ac, nada mais é do que o discriminante da igualdade considerada. O discriminante na fórmula para as raízes de uma equação quadrática desempenha um papel importante porque determina o número e o tipo de soluções. Então, se for zero, então haverá apenas uma solução, se for positivo, então a equação tem duas raízes reais, finalmente, o discriminante negativo leva a duas raízes complexas x1 e x 2.
Teorema de Vieta ou algumas propriedades das raízes de equações de segunda ordem
No final do século XVI, um dos fundadores da álgebra moderna, o francês François Viet, estudando equações de segunda ordem, conseguiu obter as propriedades de suas raízes. Matematicamente, eles podem ser escritos assim:
x1 + x2=-b / a e x1 x 2=c/a.
As duas igualdades podem ser facilmente obtidas por qualquer pessoa, para isso basta realizar as devidas operações matemáticas com as raízes obtidas pela fórmula com o discriminante.
A combinação dessas duas expressões pode ser corretamente chamada de segunda fórmula das raízes de uma equação quadrática, o que torna possível adivinhar suas soluções sem usar o discriminante. Deve-se notar aqui que, embora ambas as expressões sejam sempre válidas, é conveniente usá-las para resolver uma equação somente se ela puder ser fatorada.
A tarefa de consolidar os conhecimentos adquiridos
Vamos resolver um problema matemático no qual demonstraremos todas as técnicas discutidas no artigo. As condições do problema são as seguintes: você precisa encontrar dois números para os quais o produto é -13 e a soma é 4.
Esta condição lembra imediatamente o teorema de Vieta, aplicando as fórmulas para a soma das raízes quadradas e seu produto, escrevemos:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Assumindo a=1, então b=-4 ec=-13. Esses coeficientes nos permitem escrever uma equação de segunda ordem:
x2 - 4x - 13=0.
Use a fórmula com o discriminante, obtemos as seguintes raízes:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Ou seja, a tarefa foi reduzida a encontrar o número √68. Observe que 68=417, então usando a propriedade de raiz quadrada, obtemos: √68=2√17.
Agora vamos usar a fórmula da raiz quadrada considerada: a0=4, então:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Não há necessidade de calcular a3 porque os valores encontrados diferem por apenas 0,02. Assim, √68=8,246. Substituindo na fórmula para x 1, 2, obtemos:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 e x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Como você pode ver, a soma dos números encontrados é de fato 4, mas se você encontrar o produto deles, será igual a -12,999, que satisfaz a condição do problema com uma precisão de 0,001.
