O que é aritmética? Quando a humanidade começou a usar números e a trabalhar com eles? Para onde vão as raízes de conceitos cotidianos como números, frações, subtração, adição e multiplicação, que uma pessoa fez parte inseparável de sua vida e visão de mundo? As mentes gregas antigas admiravam ciências como matemática, aritmética e geometria como as mais belas sinfonias da lógica humana.
Talvez a aritmética não seja tão profunda quanto outras ciências, mas o que aconteceria com elas se uma pessoa esquecesse a tabuada elementar de multiplicação? O pensamento lógico habitual para nós, usando números, frações e outras ferramentas, não era fácil para as pessoas e por muito tempo foi inacessível aos nossos ancestrais. De fato, antes do desenvolvimento da aritmética, nenhuma área do conhecimento humano era verdadeiramente científica.
Aritmética é o ABC da matemática
Aritmética é a ciência dos números, com a qual qualquer pessoa começa a se familiarizar com o fascinante mundo da matemática. Como disse M. V. Lomonosov, a aritmética é a porta do aprendizado, abrindo o caminho para o conhecimento do mundo para nós. Mas ele está certoO conhecimento do mundo pode ser separado do conhecimento dos números e das letras, da matemática e da fala? Talvez nos velhos tempos, mas não no mundo moderno, onde o rápido desenvolvimento da ciência e da tecnologia dita suas próprias leis.
A palavra "aritmética" (do grego "arithmos") de origem grega, significa "número". Ela estuda os números e tudo o que pode estar relacionado com eles. Este é o mundo dos números: várias operações com números, regras numéricas, resolução de problemas relacionados à multiplicação, subtração, etc.
É geralmente aceito que a aritmética é o passo inicial da matemática e uma base sólida para suas seções mais complexas, como álgebra, análise matemática, matemática superior, etc.
Objeto principal da aritmética
A base da aritmética é um número inteiro, cujas propriedades e padrões são considerados na aritmética superior ou na teoria dos números. Na verdade, a força de todo o edifício - matemática - depende de quão correta é a abordagem ao considerar um bloco tão pequeno como um número natural.
Portanto, a questão do que é a aritmética pode ser respondida simplesmente: é a ciência dos números. Sim, sobre os habituais sete, nove e toda essa comunidade diversificada. E assim como você não pode escrever uma boa poesia, ou mesmo a mais medíocre, sem um alfabeto elementar, você não pode resolver nem mesmo um problema elementar sem aritmética. É por isso que todas as ciências avançaram somente após o desenvolvimento da aritmética e da matemática, antes disso sendo apenas um conjunto de suposições.
Aritmética é uma ciência fantasma
O que é aritmética - ciência natural ou fantasma? De fato, como argumentavam os antigos filósofos gregos, nem números nem figuras existem na realidade. Este é apenas um fantasma que é criado no pensamento humano ao considerar o ambiente com seus processos. Aliás, o que é um número? Em nenhum lugar vemos algo assim que possa ser chamado de número, em vez disso, um número é uma maneira da mente humana estudar o mundo. Ou talvez seja o estudo de nós mesmos por dentro? Os filósofos têm discutido sobre isso por muitos séculos seguidos, então não nos comprometemos a dar uma resposta exaustiva. De uma forma ou de outra, a aritmética conseguiu ocupar seu lugar com tanta firmeza que no mundo moderno ninguém pode ser considerado socialmente adaptado sem conhecer seus fundamentos.
Como surgiu o número natural
Claro, o principal objeto sobre o qual a aritmética opera é um número natural, como 1, 2, 3, 4, …, 152… etc. A aritmética dos números naturais é o resultado da contagem de objetos comuns, como vacas em um prado. Ainda assim, a definição de "muito" ou "pouco" uma vez deixou de agradar às pessoas, e elas tiveram que inventar técnicas de contagem mais avançadas.
Mas o verdadeiro avanço aconteceu quando o pensamento humano chegou ao ponto em que é possível designar 2 quilos e 2 tijolos e 2 partes com o mesmo número "dois". O fato é que você precisa abstrair das formas, propriedades e significados dos objetos, então você pode realizar algumas ações com esses objetos na forma de números naturais. Assim nasceu a aritmética dos números, quedesenvolvido e expandido, ocupando posições cada vez maiores na vida da sociedade.
Conceitos tão profundos de número como zero e número negativo, frações, designações de números por números e de outras maneiras, têm uma rica e interessante história de desenvolvimento.
Aritmética e Egípcios práticos
Os dois companheiros humanos mais antigos na exploração do mundo ao nosso redor e na resolução de problemas cotidianos são aritmética e geometria.
Acredita-se que a história da aritmética tem origem no Oriente Antigo: na Índia, Egito, Babilônia e China. Assim, o papiro Rinda de origem egípcia (assim chamado por pertencer ao proprietário do mesmo nome), remonta ao século XX. BC, além de outros dados valiosos, contém a expansão de uma fração na soma de frações com denominadores diferentes e um numerador igual a um.
Por exemplo: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Mas qual é o objetivo de uma decomposição tão complexa? O fato é que a abordagem egípcia não tolerava pensamentos abstratos sobre números, pelo contrário, os cálculos eram feitos apenas para fins práticos. Ou seja, o egípcio se envolverá em cálculos, apenas para construir uma tumba, por exemplo. Foi necessário calcular o comprimento da borda da estrutura, e isso forçou uma pessoa a se sentar atrás do papiro. Como você pode ver, o progresso egípcio nos cálculos foi causado mais pela construção em massa do que pelo amor pela ciência.
Por esta razão, os cálculos encontrados nos papiros não podem ser chamados de reflexões sobre o tema das frações. Muito provavelmente, esta é uma preparação prática que ajudou no futuro.resolver problemas com frações. Os antigos egípcios, que não conheciam as tabelas de multiplicação, faziam cálculos bastante longos, decompostos em muitas subtarefas. Talvez esta seja uma dessas subtarefas. É fácil ver que os cálculos com essas peças são muito trabalhosos e pouco promissores. Talvez por isso não vejamos a grande contribuição do Egito Antigo para o desenvolvimento da matemática.
Grécia Antiga e aritmética filosófica
Muitos conhecimentos do Antigo Oriente foram dominados com sucesso pelos antigos gregos, famosos amantes das reflexões abstratas, abstratas e filosóficas. Eles não estavam menos interessados na prática, mas é difícil encontrar os melhores teóricos e pensadores. Isso beneficiou a ciência, pois é impossível mergulhar na aritmética sem rompê-la da realidade. Claro, você pode multiplicar 10 vacas e 100 litros de leite, mas não vai muito longe.
Os gregos de pensamento profundo deixaram uma marca significativa na história, e seus escritos chegaram até nós:
- Euclides e os Elementos.
- Pitágoras.
- Arquimedes.
- Eratóstenes.
- Zeno.
- Anaxágoras.
E, claro, os gregos, que transformaram tudo em filosofia, e especialmente os sucessores da obra de Pitágoras, eram tão fascinados pelos números que os consideravam o mistério da harmonia do mundo. Os números foram estudados e pesquisados de tal forma que alguns deles e seus pares receberam propriedades especiais. Por exemplo:
- Números perfeitos são aqueles que são iguais à soma de todos os seus divisores, exceto o próprio número (6=1+2+3).
- Números amigáveis são aqueles números, um dos quaisé igual à soma de todos os divisores da segunda e vice-versa (os pitagóricos conheciam apenas um desses pares: 220 e 284).
Os gregos, que acreditavam que a ciência deveria ser amada, e não estar com ela por causa do lucro, obtiveram grande sucesso explorando, jogando e somando números. Deve-se notar que nem todas as suas pesquisas foram amplamente utilizadas, algumas delas permaneceram apenas "pela beleza".
Pensadores orientais da Idade Média
Da mesma forma, na Idade Média, a aritmética deve seu desenvolvimento aos contemporâneos orientais. Os índios nos deram os números que usamos ativamente, um conceito como "zero", e a versão posicional do cálculo, familiar à percepção moderna. De Al-Kashi, que trabalhou em Samarcanda no século XV, herdamos frações decimais, sem as quais é difícil imaginar a aritmética moderna.
De muitas maneiras, o conhecimento da Europa com as conquistas do Oriente tornou-se possível graças ao trabalho do cientista italiano Leonardo Fibonacci, que escreveu a obra "O Livro do Ábaco", introduzindo inovações orientais. Tornou-se a pedra angular do desenvolvimento da álgebra e aritmética, pesquisa e atividades científicas na Europa.
Aritmética Russa
E, finalmente, a aritmética, que encontrou seu lugar e se enraizou na Europa, começou a se espalhar para as terras russas. A primeira aritmética russa foi publicada em 1703 - era um livro sobre aritmética de Leonty Magnitsky. Por muito tempo, permaneceu o único livro de matemática. Ele contém os momentos iniciais de álgebra e geometria. Os números usados nos exemplos do primeiro livro de aritmética na Rússia são árabes. Embora algarismos arábicos já tenham sido vistos antes, em gravuras que datam do século XVII.
O livro em si é decorado com imagens de Arquimedes e Pitágoras, e na primeira folha - a imagem da aritmética na forma de uma mulher. Ela está sentada em um trono, sob ela está escrita em hebraico uma palavra que denota o nome de Deus, e nos degraus que levam ao trono estão inscritas as palavras “divisão”, “multiplicação”, “adição”, etc. que agora são considerados comuns.
Um livro didático de 600 páginas abrange os fundamentos básicos, como as tabelas de adição e multiplicação e aplicações em ciências da navegação.
Não é de estranhar que o autor tenha escolhido imagens de pensadores gregos para o seu livro, pois ele próprio foi cativado pela beleza da aritmética, dizendo: "A aritmética é o numerador, há arte honesta, nada invejável…". Essa abordagem da aritmética é bastante justificada, porque é sua ampla introdução que pode ser considerada o início do rápido desenvolvimento do pensamento científico na Rússia e na educação geral.
Primos primos
Um número primo é um número natural que tem apenas 2 divisores positivos: 1 e ele mesmo. Todos os outros números, exceto 1, são chamados compostos. Exemplos de números primos: 2, 3, 5, 7, 11 e todos os outros que não tenham divisores além de 1 e ele mesmo.
Quanto ao número 1, está em uma conta especial - há um acordo de que não deve ser considerado nem simples nem composto. Simples à primeira vista, um simples número esconde muitos mistérios não resolvidos dentro de si.
O teorema de Euclides diz que há um número infinito de números primos, e Eratóstenes inventou uma "peneira" aritmética especial que elimina os números não primos, deixando apenas os simples.
Sua essência é sublinhar o primeiro número não riscado e, posteriormente, riscar aqueles que são múltiplos dele. Repetimos esse procedimento muitas vezes - e obtemos uma tabela de números primos.
Teorema Fundamental da Aritmética
Entre as observações sobre números primos, o teorema fundamental da aritmética deve ser mencionado de forma especial.
O teorema fundamental da aritmética diz que qualquer inteiro maior que 1 é primo ou pode ser decomposto em um produto de números primos até a ordem dos fatores, e de forma única.
O principal teorema da aritmética é bastante complicado, e entendê-lo não parece mais o básico mais simples.
À primeira vista, os números primos são um conceito elementar, mas não são. A física também já considerou o átomo elementar, até encontrar todo o universo dentro dele. Uma história maravilhosa do matemático Don Tzagir "Os primeiros cinquenta milhões de primos" é dedicada aos números primos.
De "três maçãs" para leis dedutivas
O que realmente pode ser chamado de fundamento reforçado de toda ciência são as leis da aritmética. Mesmo na infância, todos se deparam com aritmética, estudando o número de pernas e braços de bonecas,o número de cubos, maçãs, etc. É assim que estudamos aritmética, que então entra em regras mais complexas.
Toda a nossa vida nos familiariza com as regras da aritmética, que se tornaram para o homem comum o mais útil de tudo que a ciência oferece. O estudo dos números é "bebê aritmético", que introduz uma pessoa ao mundo dos números na forma de números na primeira infância.
A aritmética superior é uma ciência dedutiva que estuda as leis da aritmética. Conhecemos a maioria deles, embora talvez não saibamos suas palavras exatas.
A lei da adição e multiplicação
Dois quaisquer números naturais a e b podem ser expressos como uma soma a+b, que também será um número natural. As seguintes leis se aplicam à adição:
- Commutative, que diz que a soma não muda com o rearranjo dos termos, ou a+b=b+a.
- Associative, que diz que a soma não depende da forma como os termos são agrupados em lugares, ou a+(b+c)=(a+ b)+ c.
As regras da aritmética, como a adição, estão entre as mais elementares, mas são usadas por todas as ciências, sem falar na vida cotidiana.
Dois quaisquer números naturais a e b podem ser expressos como um produto ab ou ab, que também é um número natural. As mesmas leis comutativas e associativas se aplicam ao produto quanto à adição:
- ab=ba;
- a(bc)=(a b) c.
Eu me perguntoque existe uma lei que une adição e multiplicação, também chamada de lei distributiva ou distributiva:
a(b+c)=ab+ac
Esta lei realmente nos ensina a trabalhar com colchetes expandindo-os, assim podemos trabalhar com fórmulas mais complexas. Estas são as leis que nos guiarão pelo mundo bizarro e complexo da álgebra.
A lei da ordem aritmética
A lei da ordem é usada pela lógica humana todos os dias, comparando relógios e contando notas. E, no entanto, precisa ser formalizado na forma de formulações específicas.
Se temos dois números naturais a e b, então as seguintes opções são possíveis:
- a é igual a b, ou a=b;
- a é menor que b, ou a < b;
- a é maior que b, ou a > b.
De três opções, apenas uma pode ser justa. A lei básica que rege a ordem diz: se a < b e b < c, então a< c.
Há também leis que relacionam ordem à multiplicação e adição: se a< é b, então a + c < b+ce ac< bc.
As leis da aritmética nos ensinam a trabalhar com números, sinais e colchetes, transformando tudo em uma harmoniosa sinfonia de números.
Cálculo posicional e não posicional
Pode-se dizer que os números são uma linguagem matemática, de cuja conveniência depende muito. Existem muitos sistemas numéricos que, como os alfabetos de diferentes idiomas, diferem entre si.
Vamos considerar os sistemas numéricos do ponto de vista da influência da posição no valor quantitativonúmeros nesta posição. Assim, por exemplo, o sistema romano é não posicional, onde cada número é codificado por um determinado conjunto de caracteres especiais: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Eles são iguais, respectivamente, aos números 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. Em tal sistema, o número não muda sua definição quantitativa dependendo da posição em que está: primeiro, segundo, etc. Para obter outros números, você precisa somar os de base. Por exemplo:
- DCC=700.
- CCM=800.
O sistema numérico mais familiar para nós usando algarismos arábicos é o posicional. Nesse sistema, o dígito de um número determina o número de dígitos, por exemplo, números de três dígitos: 333, 567, etc. O peso de qualquer dígito depende da posição em que este ou aquele dígito está localizado, por exemplo, o número 8 na segunda posição tem um valor de 80. Isso é típico para o sistema decimal, existem outros sistemas posicionais, por exemplo, binário.
Aritmética binária
Estamos familiarizados com o sistema decimal, que consiste em números de um dígito e de vários dígitos. O número à esquerda de um número de vários dígitos é dez vezes mais significativo do que o da direita. Então, estamos acostumados a ler 2, 17, 467, etc. A seção chamada "aritmética binária" tem uma lógica e uma abordagem completamente diferentes. Isso não é surpreendente, porque a aritmética binária foi criada não para a lógica humana, mas para a lógica do computador. Se a aritmética dos números se originou da contagem de objetos, que foi abstraída das propriedades do objeto para a aritmética "nua", isso não funcionará com um computador. Para poder compartilharcom seu conhecimento de um computador, uma pessoa teve que inventar tal modelo de cálculo.
A aritmética binária trabalha com o alfabeto binário, que consiste apenas em 0 e 1. E o uso desse alfabeto é chamado de sistema binário.
A diferença entre aritmética binária e aritmética decimal é que o significado da posição à esquerda não é mais 10, mas 2 vezes. Os números binários são da forma 111, 1001, etc. Como entender esses números? Então, considere o número 1100:
- O primeiro algarismo da esquerda é 18=8, lembrando que o quarto algarismo, que significa que precisa ser multiplicado por 2, obtemos a posição 8.
- Segundo dígito 14=4 (posição 4).
- Terceiro dígito 02=0 (posição 2).
- Quarto dígito 01=0 (posição 1).
- Então nosso número é 1100=8+4+0+0=12.
Ou seja, ao passar para um novo dígito à esquerda, seu significado no sistema binário é multiplicado por 2 e em decimal - por 10. Tal sistema tem um menos: é um aumento muito grande em dígitos necessários para escrever números. Exemplos de representação de números decimais como números binários podem ser encontrados na tabela a seguir.
Números decimais em formato binário são mostrados abaixo.
Os sistemas octal e hexadecimal também são usados.
Esta aritmética misteriosa
O que é aritmética, "duas vezes dois" ou mistérios inexplorados dos números? Como você pode ver, a aritmética pode parecer simples à primeira vista, mas sua facilidade não óbvia é enganosa. Também pode ser estudado pelas crianças junto com a Tia Coruja decartoon "Arithmetic-baby", e você pode mergulhar em pesquisas profundamente científicas de uma ordem quase filosófica. Na história, ela passou de contar objetos para adorar a beleza dos números. Apenas uma coisa é conhecida com certeza: com o estabelecimento dos postulados básicos da aritmética, toda a ciência pode contar com seu ombro forte.
