Avião no espaço. Localização de aviões no espaço

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2024-01-02 17:54

Um plano é um objeto geométrico cujas propriedades são utilizadas na construção de projeções de pontos e linhas, bem como no cálculo de distâncias e ângulos diedros entre elementos de figuras tridimensionais. Vamos considerar neste artigo quais equações podem ser usadas para estudar a localização de planos no espaço.

Definição de avião

Todo mundo imagina intuitivamente qual objeto será discutido. Do ponto de vista geométrico, um plano é uma coleção de pontos, quaisquer vetores entre os quais devem ser perpendiculares a algum vetor. Por exemplo, se houver m pontos diferentes no espaço, então m(m-1) / 2 vetores diferentes podem ser feitos a partir deles, conectando os pontos em pares. Se todos os vetores são perpendiculares a alguma direção, então esta é uma condição suficiente para que todos os pontos m pertençam ao mesmo plano.

Equação geral

Na geometria espacial, um plano é descrito usando equações que geralmente contêm três coordenadas desconhecidas correspondentes aos eixos x, y e z. Paraobter a equação geral em coordenadas planas no espaço, suponha que existe um vetor n¯(A; B; C) e um ponto M(x₀; y₀; z_{0). Usando esses dois objetos, o plano pode ser definido exclusivamente.}

De fato, suponha que haja algum segundo ponto P(x; y; z) cujas coordenadas são desconhecidas. De acordo com a definição dada acima, o vetor MP¯ deve ser perpendicular a n¯, ou seja, o produto escalar para eles é igual a zero. Então podemos escrever a seguinte expressão:

(n¯MP¯)=0 ou

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Abrindo os colchetes e introduzindo um novo coeficiente D, obtemos a expressão:

Ax + By + Cz + D=0 onde D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Esta expressão é chamada de equação geral do plano. É importante lembrar que os coeficientes na frente de x, y e z formam as coordenadas do vetor n¯(A; B; C) perpendicular ao plano. Coincide com a normal e serve de guia para o plano. Para determinar a equação geral, não importa para onde esse vetor é direcionado. Ou seja, os planos construídos nos vetores n¯ e -n¯ serão os mesmos.

A figura acima mostra um plano, um vetor normal a ele e uma reta perpendicular ao plano.

Segmentos cortados pelo plano nos eixos e a equação correspondente

A equação geral permite usar operações matemáticas simples para determinar, emem quais pontos o plano cruzará os eixos coordenados. É importante conhecer esta informação para se ter uma ideia da posição no espaço do plano, bem como ao representá-lo nos desenhos.

Para determinar os pontos de interseção nomeados, é usada uma equação em segmentos. É assim chamado porque contém explicitamente os valores dos comprimentos dos segmentos cortados pelo plano nos eixos coordenados, ao contar a partir do ponto (0; 0; 0). Vamos pegar essa equação.

Escreva a expressão geral para o plano da seguinte forma:

Ax + By + Cz=-D

As partes esquerda e direita podem ser divididas por -D sem violar a igualdade. Temos:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 ou

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Desenhe os denominadores de cada termo com um novo símbolo, temos:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C então

x/p + y/q + z/r=1

Esta é a equação mencionada acima em segmentos. Segue-se que o valor do denominador de cada termo indica a coordenada da intersecção com o eixo correspondente do plano. Por exemplo, ele intercepta o eixo y no ponto (0; q; 0). Isso é fácil de entender se você substituir as coordenadas zero xez na equação.

Observe que se não houver variável na equação nos segmentos, isso significa que o plano não intercepta o eixo correspondente. Por exemplo, dada a expressão:

x/p + y/q=1

Isso significa que o plano cortará os segmentos p e q nos eixos xey, respectivamente, mas será paralelo ao eixo z.

Conclusão sobre o comportamento do avião quandoa ausência de alguma variável em sua equação também é verdadeira para uma expressão de tipo geral, conforme mostrado na figura abaixo.

Equação paramétrica vetorial

Existe um terceiro tipo de equação que permite descrever um plano no espaço. É chamado de vetor paramétrico porque é dado por dois vetores situados no plano e dois parâmetros que podem assumir valores independentes arbitrários. Vamos mostrar como esta equação pode ser obtida.

Suponha que existam alguns vetores conhecidos u ¯(a₁; b₁; c₁) e v¯(a₂; b₂; c₂). Se eles não forem paralelos, então eles podem ser usados para definir um plano específico fixando o início de um desses vetores em um ponto conhecido M(x₀; y₀; z_{0). Se um vetor arbitrário MP¯ pode ser representado como uma combinação de vetores lineares u¯ e v¯, então isso significa que o ponto P(x; y; z) pertence ao mesmo plano que u¯, v¯. Assim, podemos escrever a igualdade:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Ou escrevendo esta igualdade em termos de coordenadas, obtemos:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

A igualdade apresentada é uma equação vetorial paramétrica para o plano. NOespaço vetorial no plano u¯ e v¯ são chamados de geradores.

A seguir, ao resolver o problema, será mostrado como esta equação pode ser reduzida a uma forma geral para um plano.

Ângulo entre planos no espaço

Intuitivamente, os planos no espaço 3D podem se cruzar ou não. No primeiro caso, é interessante encontrar o ângulo entre eles. O cálculo desse ângulo é mais difícil do que o ângulo entre linhas, pois estamos falando de um objeto geométrico diedro. No entanto, o vetor de guia já mencionado para o avião vem em socorro.

Está geometricamente estabelecido que o ângulo diedro entre dois planos que se cruzam é exatamente igual ao ângulo entre seus vetores guia. Vamos denotar esses vetores como n₁¯(a₁; b₁; c_{1) e n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2 _{). O cosseno do ângulo entre eles é determinado a partir do produto escalar. Ou seja, o próprio ângulo no espaço entre os planos pode ser calculado pela fórmula:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Aqui o módulo no denominador é usado para descartar o valor do ângulo obtuso (entre planos de interseção é sempre menor ou igual a 90o).

Em forma de coordenadas, esta expressão pode ser reescrita da seguinte forma:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Planos perpendiculares e paralelos

Se os planos se cruzam e o ângulo diedro formado por eles é 90o, então eles serão perpendiculares. Um exemplo de tais planos é um prisma retangular ou um cubo. Essas figuras são formadas por seis planos. Em cada vértice das figuras nomeadas existem três planos perpendiculares entre si.

Para saber se os planos considerados são perpendiculares, basta calcular o produto escalar de seus vetores normais. Uma condição suficiente para a perpendicularidade no espaço dos planos é o valor zero deste produto.

Paralelos são chamados de planos sem interseção. Às vezes também se diz que os planos paralelos se cruzam no infinito. A condição de paralelismo no espaço de planos coincide com aquela condição para os vetores de direção n₁¯ e n_{2¯. Você pode verificar de duas maneiras:}

Calcule o cosseno do ângulo diedro (cos(φ)) usando o produto escalar. Se os planos forem paralelos, o valor será 1.

Tente representar um vetor através de outro multiplicando por algum número, ou seja, n₁¯=kn_{2¯. Se isso puder ser feito, então os planos correspondentes sãoparalelo.}

A figura mostra dois planos paralelos.

Agora vamos dar exemplos de como resolver dois problemas interessantes usando o conhecimento matemático obtido.

Como obter uma forma geral de uma equação vetorial?

Esta é uma expressão vetorial paramétrica para um plano. Para facilitar o entendimento do fluxo de operações e os truques matemáticos usados, considere um exemplo específico:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Expanda esta expressão e expressa os parâmetros desconhecidos:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Então:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Abrindo os colchetes na última expressão, obtemos:

z=2x-2 + 3y - 6 ou

2x + 3y - z - 8=0

Obtivemos a forma geral da equação para o plano especificado no enunciado do problema na forma vetorial

Como construir um avião por três pontos?

É possível traçar um único plano através de três pontos se esses pontos não pertencerem a uma única linha reta. O algoritmo para resolver este problema consiste na seguinte sequência de ações: