Entre todas as leis da teoria da probabilidade, a lei da distribuição normal ocorre com mais frequência, inclusive com mais frequência do que a uniforme. Talvez esse fenômeno tenha uma natureza profundamente fundamental. Afinal, esse tipo de distribuição também é observado quando vários fatores participam da representação de um conjunto de variáveis aleatórias, cada uma afetando à sua maneira. A distribuição normal (ou gaussiana) neste caso é obtida pela adição de diferentes distribuições. É devido à ampla distribuição que a lei da distribuição normal recebeu esse nome.
Sempre que falamos de uma média, seja de precipitação mensal, renda per capita ou desempenho de classe, geralmente utiliza-se a distribuição normal para calcular seu valor. Esse valor médio é chamado de expectativa matemática e corresponde ao máximo no gráfico (geralmente indicado como M). Com uma distribuição correta, a curva é simétrica em relação ao máximo, mas na realidade isso nem sempre é o caso, e issopermitido.
Para descrever a lei normal de distribuição de uma variável aleatória, também é necessário conhecer o desvio padrão (denominado σ - sigma). Ele define a forma da curva no gráfico. Quanto maior σ, mais plana será a curva. Por outro lado, quanto menor σ, mais precisamente é determinado o valor médio da quantidade na amostra. Portanto, com grandes desvios padrão, deve-se dizer que o valor médio está em um determinado intervalo de números e não corresponde a nenhum número.
Como outras leis da estatística, a lei normal da distribuição de probabilidade se mostra melhor, quanto maior a amostra, ou seja, o número de objetos que participam das medições. No entanto, outro efeito se manifesta aqui: com uma amostra grande, a probabilidade de encontrar um determinado valor de uma quantidade, incluindo a média, torna-se muito pequena. Os valores são agrupados apenas em torno da média. Portanto, é mais correto dizer que uma variável aleatória estará próxima de um determinado valor com tal e tal grau de probabilidade.
Determine quão alta é a probabilidade e o desvio padrão ajuda. No intervalo "três sigma", ou seja, M +/- 3σ, se encaixa em 97,3% de todos os valores da amostra, e cerca de 99% se encaixa no intervalo de cinco sigma. Esses intervalos costumam ser usados para determinar, quando necessário, os valores máximos e mínimos dos valores da amostra. A probabilidade de que o valor da quantidade saiaintervalo de cinco sigma é desprezível. Na prática, geralmente são usados intervalos de três sigma.
A lei da distribuição normal pode ser multidimensional. Neste caso, assume-se que um objeto possui vários parâmetros independentes expressos em uma unidade de medida. Por exemplo, o desvio de uma bala do centro do alvo verticalmente e horizontalmente ao disparar será descrito por uma distribuição normal bidimensional. O gráfico de tal distribuição no caso ideal é semelhante à figura de rotação de uma curva plana (Gaussiana), que foi mencionada acima.
